廣西重點高中2023-2024學年高二下學期5月聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學

廣西重點高中高二5月聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學試卷本試卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B. C. D.2.已知向量滿足，則與夾角為（）A. B. C. D.3.設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，是兩條不同的異面直線，，，，則 D.若，，則與所成的角和與所成的角互余4.已知為遞增等比數(shù)列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為8，則等于（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)，則不等式解集是（）A. B.C. D.6.某校選派一支代表隊參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預備隊．選“初心”隊的概率為，且“初心”隊獲勝的概率為；選“使命”隊的概率為，且“使命”隊獲勝的概率為獲勝的概率為，則該校在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊參加比賽的概率為（）A. B. C. D.7.在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，，的平分線AD的長為，則BC邊上的高AH的長為（）A. B. C. D.8.已知點，是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線C的右支上，y軸上一點A，使，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知一組數(shù)據(jù)8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，則這組數(shù)據(jù)的（）A.眾數(shù)為12 B.平均數(shù)為14 C.中位數(shù)為14.5 D.第25百分位數(shù)為1210.將函數(shù)向右平移個單位，得到函數(shù)，下列關于的說法一定正確的是（）A.當時，關于對稱B.關于對稱C.當時，在上單調(diào)遞增D.若在上有3個零點，則的取值范圍為11.已知定義域為的函數(shù)，滿足，且，，則（）A. B.是奇函數(shù)C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.文娛晚會中，學生的節(jié)目有4個，教師的節(jié)目有2個，如果教師的節(jié)目不排在第一個，也不排在最后一個，并且不相鄰，則不同排法種數(shù)為________（用數(shù)字作答）．13.已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，若一個正方體在該圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則該正方體棱長的最大值為________．14.已知點M在直線上，點P在圓上，過點M引圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則的最大值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為正項數(shù)列的前n項和，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前n項和為，證明：．16.2023年秋季，支原體肺炎在我國各地流行，該疾病主要感染群體為青少年和老年人．某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽查了200人，并調(diào)查其患病情況，將調(diào)查結果整理如下：有慢性疾病沒有慢性疾病合計未感染支原體肺炎4080感染支原體肺炎40合計120200（1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關？（2）用樣本估計總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽取3人，設抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為X，求X的分布列，數(shù)學期望和方差．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82817.四棱錐中，平面平面，，，，，，，M為PC的中點，N為PD靠近D的三等分點．（1）證明：A、B、M、N四點共面；（2）求二面角的余弦值；（3）求平面ABMN截四棱錐所得的上、下幾何體的體積比．18.已知函數(shù)，其中．（1）若，求在處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個極值點．（i）求實數(shù)a的取值范圍；（ii）當時，求的取值范圍．19.已知定點，動點N在直線上，過點N作l的垂線，該垂線與NF的垂直平分線交于點T，記點T的軌跡為曲線C．（1）求曲線C方程；（2）已知點P、A、B是曲線C上的點，且．（i）若點P的坐標為，則動直線AB是否過定點？如果過定點，請求出定點坐標，反之，請說明理由；（ii）若，求面積的最小值．廣西重點高中高二5月聯(lián)合調(diào)研測試數(shù)學試卷本試卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意列出含有參數(shù)的不等式組求解即可.【詳解】根據(jù)題意,要使方程表示焦點在軸上的橢圓,需滿足，解得.故選：B.2.已知向量滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對兩邊同時平方可求出.設與的夾角為，由向量的夾角公式代入即可得出答案.【詳解】因為，以.又，所以.設與的夾角為.則，所以，即與的夾角為.故選：C.3.設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，，則 B.若，，，則C.若，是兩條不同的異面直線，，，，則 D.若，，則與所成的角和與所成的角互余【答案】C【解析】【分析】利用空間點線面的位置關系，點線面垂直平行的性質(zhì)依次判斷即可．【詳解】A．，，則，又，則，所以不正確，A不正確；B．，，，則或，故B不正確；C．若，是兩條不同的異面直線，，，，則，C正確．D．由時，與所成的角沒有關系，時，由面面平行的性質(zhì)知與所成的角相等，與所成的角相等，因此與所成的角和與所成的角不一定互余，D不正確.故選：C．4.已知為遞增的等比數(shù)列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為8，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到，結合，利用等比數(shù)列的基本量求得和公比，再由等比數(shù)列的求和公式即可得到.【詳解】因為與的等差中項為，所以，設等比數(shù)列的公比為，又，得：，解得：，或，又因為為遞增的等比數(shù)列，則，則，故選：D.5.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】探討函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，再利用單調(diào)性脫去法則，解不等式即得.【詳解】函數(shù)定義域為R，，即函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式，即，解得，所以原不等式的解集為.故選：B6.某校選派一支代表隊參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有“初心”“使命”兩支預備隊．選“初心”隊的概率為，且“初心”隊獲勝的概率為；選“使命”隊的概率為，且“使命”隊獲勝的概率為獲勝的概率為，則該校在比賽中獲勝的條件下，選“使命”隊參加比賽的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用條件概率公式、全概率公式列式計算得解.【詳解】依題意，記選“初心”隊為事件，選“使命”隊為事件，該單位獲勝為事件，則,因此，所以選“使命”隊參加比賽的概率.故選：A7.在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，，的平分線AD的長為，則BC邊上的高AH的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，利用面積法得，結合二倍角的正弦公式求出，從而計算出，再利用余弦定理求出，最后利用三角形面積公式和等面積法即可得到答案.【詳解】由題意知，設，則，如圖所示，由可得，整理得，即，又因為，所以，所以，因為，所以，在中，由余弦定理得，所以，則的面積為，邊上的高.故選：D.8.已知點，是雙曲線的左、右焦點，點P在雙曲線C的右支上，y軸上一點A，使，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線定義及對稱性可得，再利用余弦定理建立等式求出離心率.【詳解】令，由，得，而在y軸上，則，由雙曲線定義得，由，得，即，則有，于是，，令雙曲線的半焦距為c，在中，由余弦定理得，整理得，所以雙曲線C的離心率.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知一組數(shù)據(jù)8，9，12，12，13，16，16，16，18，20，則這組數(shù)據(jù)的（）A.眾數(shù)為12 B.平均數(shù)為14 C.中位數(shù)為14.5 D.第25百分位數(shù)為12【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、百分位數(shù)的定義和計算公式一一計算即可.【詳解】對A，由題意可知，16出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)應為16，故A錯誤；對B，平均數(shù)為，故B正確；對C，中間兩個數(shù)為13和16，則中位數(shù)為:，故C正確；對D，，所以第25百分位數(shù)是從小到大排列后第三個數(shù)字，即為12，故D正確.故選：BCD.10.將函數(shù)向右平移個單位，得到函數(shù)，下列關于的說法一定正確的是（）A.當時，關于對稱B.關于對稱C.當時，在上單調(diào)遞增D.若在上有3個零點，則的取值范圍為【答案】AC【解析】【分析】首先得到，代入驗證即可判斷AB；利用整體法得到，即可判斷C；求出，得到相關不等式即可判斷D.【詳解】對A，，當時，，是函數(shù)的最大值，所以關于對稱，故選項A正確；對B，當時，得，而不一定等于0，故選項B錯誤；對C，當時，，得，所以在上單調(diào)遞增，故選項C正確；對D，由，得，由于在上有3個零點，所以，所以，故選項D錯誤.故選：AC．11.已知定義域為的函數(shù)，滿足，且，，則（）A. B.是奇函數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，對抽象等式中的自變量進行賦值求值，依次判斷函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性，再利用周期性求函數(shù)值即可得解.【詳解】定義域為的函數(shù)，滿足，對于A，令，則，A正確；對于B，令，則，而，則，令，則，即，令，則，令，則，因此，函數(shù)是上偶函數(shù)，B錯誤；對于C，令，則，而，，，則，C正確；對于D，由，得，函數(shù)的一個周期為8．令，則，即有，因函數(shù)是偶函數(shù)，故有，由函數(shù)的一個周期為8，則，而，因此，所以，D正確．故選：ACD【點睛】結論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結論：（1）關于對稱：若函數(shù)關于直線軸對稱，則，若函數(shù)關于點中心對稱，則，反之也成立；（2）關于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.文娛晚會中，學生的節(jié)目有4個，教師的節(jié)目有2個，如果教師的節(jié)目不排在第一個，也不排在最后一個，并且不相鄰，則不同排法種數(shù)為________（用數(shù)字作答）．【答案】144【解析】【分析】先將學生的節(jié)目全排列，然后對教師節(jié)目進行插空即可得解.【詳解】由題意可知，先將學生的節(jié)目全排列有種排法，然后對教師節(jié)目進行插空有種排法，所以滿足題意的排法種數(shù)為種.故答案為：144.13.已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，若一個正方體在該圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則該正方體棱長的最大值為________．【答案】##【解析】【分析】理解題意，先求出圓錐的內(nèi)切球半徑，題中棱長最大的正方體的外接球即圓錐的內(nèi)切球，由此求得正方體棱長最大值.【詳解】設圓錐的母線長為，依題意，，解得，故圓錐的軸截面為正三角形.因正方體在該圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，故棱長最大的正方體的外接球是圓錐的內(nèi)切球.如圖,作出圓錐和內(nèi)切球的軸截面圖，設內(nèi)切球的半徑為,球的內(nèi)接正方體的棱長為.由三角形面積相等可得，，解得，又因，解得，即該正方體棱長的最大值為.故答案為：.14.已知點M在直線上，點P在圓上，過點M引圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出切點弦所過的定點，再利用數(shù)量積的運算律，借助圓上的點到定點距離的最值特征求出最大值即可.【詳解】設點，圓圓心，半徑，顯然切點在以線段為直徑的圓上，此圓方程為，整理得，與圓的方程相減得直線的方程，直線的方程為，即，由，解得，即直線恒過定點，連接交于，由切線長定理得，且是線段的中點，，顯然，當且僅當與重合，且是延長線與圓的交點，即點共線，且圓心在線段上時取等號，此時，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知為正項數(shù)列的前n項和，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，結合變形，再利用等差數(shù)列定義求出通項.（2）由（1）的結論，利用裂項相消法求和，再借助單調(diào)性及有界性推理即得.【小問1詳解】正項數(shù)列的前n項和為，，當時，，兩式相減得，顯然，則，當時，，即，又，則，而，解得，即，從而，，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）知，，則，因此，，，即，又數(shù)列單調(diào)遞增，，所以.16.2023年秋季，支原體肺炎在我國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人．某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽查了200人，并調(diào)查其患病情況，將調(diào)查結果整理如下：有慢性疾病沒有慢性疾病合計未感染支原體肺炎4080感染支原體肺炎40合計120200（1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關？（2）用樣本估計總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機抽取3人，設抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為X，求X的分布列，數(shù)學期望和方差．附：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有關.（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算卡方值并與臨界值比較即可；（2）根據(jù)二項分布概率公式寫出分布列，再計算其期望和方差即可.【小問1詳解】（1）列聯(lián)表，如圖所示：

有慢性疾病沒有慢性疾病合計未感染支原體肺炎404080感染支原體肺炎8040120合計12080200假設歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病無關.則，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.【小問2詳解】70歲以上的老年人中隨機抽查了200人，感染支原體肺炎的老年人為120人，則感染支原體肺炎的頻率為，由已知得，，，所以隨機變量的分布列為：0123所以,.17.四棱錐中，平面平面，，，，，，，M為PC的中點，N為PD靠近D的三等分點．（1）證明：A、B、M、N四點共面；（2）求二面角的余弦值；（3）求平面ABMN截四棱錐所得的上、下幾何體的體積比．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）作輔助線，證明點為的重心，即可證明A、B、M、N四點共面；（2）建系，寫出相關點的坐標，求出兩個平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計算即得；（3）利用割補法，先求和，相減得，再用減去得,即得結果.【小問1詳解】如圖，延長交于點，因且，故，連接，中，分別是中點，故的交點為的重心，設為點，則,又N為PD靠近D的三等分點，故點重合，因點都在平面內(nèi)，故A、B、M、N四點共面；【小問2詳解】如圖，取中點，連接，因，則,又平面平面,平面平面，平面，故平面,過點在平面內(nèi)作，分別取為軸的正方向建立空間直角坐標系.因，故,則,設平面的法向量為，則，故可取；又,設平面的法向量為，則，故可取.于是，，因二面角是銳二面角，故二面角的余弦值為；【小問3詳解】如圖，設平面ABMN截四棱錐所得的上、下幾何體的體積分別為,依題，,而,則，又,故，于是，.18.已知函數(shù)，其中．（1）若，求在處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個極值點．（i）求實數(shù)a的取值范圍；（ii）當時，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）（i）求出函數(shù)的導數(shù)，按，分類探討單調(diào)性，再結合零點存在性定理求解即得；（ii）由（i）可得，再由零點的意義列式，令，用表示，構造函數(shù)并由單調(diào)性求解即得.【小問1詳解】當時,，求導得，則，而，所以在處的切線方程為，即.【小問2詳解】（i）函數(shù)的定義域為R，求導得，依題意，有兩個變號零點，令，求導得，若，則，在R上單調(diào)遞增，函數(shù)最多一個零點，不符合題意，若，則當時，，當，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要有兩個變號零點，必有，解得，此時，即函數(shù)在上有唯一零點，令，求出得，令，求導得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，因此當時，，取，函數(shù)在上有唯一零點，所以當時,函數(shù)存在兩個極值點.（ii）由（i）知，，，兩式相除得，令，則，，于是，即，因此，令，求導得，令，求導得，函數(shù)在上遞增，則，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則當時，，所以的取值范圍是.【點睛】思路點睛：涉及含參的