第26節(jié) 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（原卷版）

第26節(jié)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用基礎(chǔ)知識要夯實平行垂直問題基礎(chǔ)知識直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)線面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)線面垂直：l⊥α?a∥u?a＝ku?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β?u∥v?u＝kv?a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0利用空間向量求空間角基礎(chǔ)知識(1)向量法求異面直線所成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝.(2)向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，a〉|＝.(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的兩個半平面α與β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝；若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.基本技能要落實考點一通過空間向量判斷位置關(guān)系【例1】如圖所示，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求證：EF∥平面PAB；(2)求證：平面PAD⊥平面PDC.【解析】以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F(xiàn)，＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．(1)因為＝－，所以∥，即EF∥AB.又AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因為·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因為DC?平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.【方法技巧】使用空間向量方法證明線面平行時，既可以證明直線的方向向量和平面內(nèi)一條直線的方向向量平行，然后根據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，也可以證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明面面垂直既可以證明線線垂直，然后使用判定定理進(jìn)行判定，也可以證明兩個平面的法向量垂直.【跟蹤訓(xùn)練】1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點．求證：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.證明：(1)以B為坐標(biāo)原點，BA、BC、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，設(shè)BA＝a，則A(a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(xiàn)(0,1,4)，則＝，＝(0,1,1)，·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.結(jié)合(1)可知平面EGF∥平面ABD.考點二空間中的角【例2】如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．因為cos〈，〉＝＝所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，因為＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一個法向量．取平面ABA1的一個法向量為n2＝(0,1,0)．設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為θ.由|cosθ|＝＝，得sinθ＝.因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.【方法技巧】(1)運用空間向量坐標(biāo)運算求空間角的一般步驟：①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求出相關(guān)點的坐標(biāo)；③寫出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算；⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．(2)求空間角應(yīng)注意：①兩條異面直線所成的角α不一定是直線的方向向量的夾角β，即cosα＝|cosβ|.②兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補角為所求．【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是線段AD上一點，AE＝ED＝，SE⊥AD.(1)證明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求直線CE與平面SBC所成角的正弦值．【解析】(1)證明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SE?平面SAD，SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD.∵BE?平面ABCD，∴SE⊥BE.∵AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，AE＝ED＝，∴∠AEB＝30°，∠CED＝60°.∴∠BEC＝90°，即BE⊥CE.又SE∩CE＝E，∴BE⊥平面SEC.∵BE?平面SBE，∴平面SBE⊥平面SEC.(2)由(1)知，直線ES，EB，EC兩兩垂直．如圖，以E為原點，EB為x軸，EC為y軸，ES為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則E(0,0,0)，C(0,2，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以＝(0，－2，0)，＝(2，－2，0)，＝(0，－2，1)．設(shè)平面SBC的法向量為n＝(x，y，z)，則即令y＝1，得x＝，z＝2，則平面SBC的一個法向量為n＝(，1,2)．設(shè)直線CE與平面SBC所成角的大小為θ，則sinθ＝||＝，故直線CE與平面SBC所成角的正弦值為.考點三利用空間向量解決探索性問題【例3】如圖1，正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如圖2)．(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求二面角E-DF-C的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．【解析】(1)在△ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點，得EF∥AB.又AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以點D為坐標(biāo)原點，以直線DB，DC，DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，，1)，F(xiàn)(1，，0)，＝(1，，0)，＝(0，，1)，＝(0,0,2)．平面CDF的法向量為＝(0,0,2)．設(shè)平面EDF的法向量為n＝(x，y，z)，則即取n＝(3，－，3)，cos〈，n〉＝＝，所以二面角E-DF-C的余弦值為.(3)存在．設(shè)P(s，t,0)，有＝(s，t，－2)，則·＝t－2＝0，∴t＝，又＝(s－2，t,0)，＝(－s,2－t,0)，∵∥，∴(s－2)(2－t)＝－st，∴s＋t＝2.把t＝代入上式得s＝，∴＝，∴在線段BC上存在點P，使AP⊥DE.此時，＝.【方法技巧】1空間向量法最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運算進(jìn)行判斷.2解題時，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運用這一方法.【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.(1)若D為AA1中點，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一點D，使得二面角B1-CD-C1的大小為60°？【解析】(1)證明：如圖所示，以點C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即＝(0,2,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,0,1)．由·＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得⊥，即C1B1⊥CD.由·＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得⊥，即DC1⊥CD.又DC1∩C1B1＝C1，∴CD⊥平面B1C1D.又CD?平面B1CD，∴平面B1CD⊥平面B1C1D.(2)存在．當(dāng)AD＝AA1時，二面角B1-CD-C1的大小為60°.理由如下：設(shè)AD＝a，則D點坐標(biāo)為(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，設(shè)平面B1CD的法向量為m＝(x，y，z)，則=?令z＝－1，得m＝(a,1，－1)．又∵＝(0,2,0)為平面C1CD的一個法向量，則cos60°＝＝＝，解得a＝(負(fù)值舍去)，故AD＝＝AA1.∴在AA1上存在一點D滿足題意．達(dá)標(biāo)檢測要扎實一、單選題1．已知向量，向量，則與的夾角大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【解析】向量，向量，，，且，的夾角為.故選：D.2．設(shè)為單位向量，且＝1，則|+2|＝（

）A． B． C．3 D．7【答案】B【解析】為單位向量，且＝1可得，可得，.故選：B．3．在平行四邊形中，，則（

）A．-5 B．-4 C．-3 D．-2【答案】A【解析】，，，，，，故選：A4．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，點P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以為原點建系，，，即，故圓的半徑為，∴圓，設(shè)中點為，，，∴，故選：D.5．在邊長為1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則∴E點坐標(biāo)為，.故選：D6．如圖，在菱形中，，為的中點，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)菱形的邊長為，為的中點，則，又，則，因，則，由得：，解得，所以.故選：A7．在中，已知，，且滿足，，若線段和線段的交點為，則（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，由知，∴，∵，，三點共線，∴①，由知，∴，∵，，三點共線，∴②，由①②得：.，∴，而，∴故選：B8．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，，所以，解得.故選:A9．已知平面向量滿足，則向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，即，．．故選：D．10．已知向量，，若，則實數(shù)（

）A．0 B． C．1 D．3【答案】B【解析】因為向量，，且，所以，即，所以有，解得，故選：B.11．在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別滿足，．若，則實數(shù)＋的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，設(shè)，則在平行四邊形ABCD中，因為，，所以點E為BC的中點，點F在線段DC上，且，所以，又因為，且，所以，所以，解得，所以。故選：B.12．設(shè)，是兩個非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（

）A．且 B． C． D．【答案】D【解析】對于選項A：且則，兩個為相等向量或相反向量，當(dāng)時，不成立，所以且不是成立的充分條件，故選項A不正確；對于選項B：時，，所以得不出，不是成立的充分條件，故選項B不正確；對于選項C：，若，兩個向量方向相反時，得不出，所以不是成立的充分條件，故選項C不正確；對于選項D：滿足，同向共線，所以的單位向量與的單位向量相等即，所以是成立的充分條件，故選項D正確；故選：D.二、填空題13．，為不共線的向量，設(shè)條件；條件對一切，不等式恒成立．則是的__________條件．【答案】充要【解析】由條件，可得；不等式化為，∵對一切，不等式恒成立，∴，化為，∴，所以．故答案為：充要．14．已知，，、的夾角為，則在方向上的數(shù)量投影為________．【答案】【解析】由已知得，在方向上的數(shù)量投影為因為，，、的夾角為，所以所以在方向上的數(shù)量投影為故答案為：215．有下列命題：①單位向量一定相等；②起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；③相等的非零向量，若起點不同，則終點一定不同；④方向相反的兩個單位向量互為相反向量；⑤起點相同且模相等的向量的終點的軌跡是圓．其中正確的命題的個數(shù)為______．【答案】【解析】對于①，兩個單位向量方向不同時不相等，①錯誤；對于②，方向相同且模長相等的向量為相等向量，與起點無關(guān)，②正確；對于③，相等的非零向量方向相同且模長相等，若起點不同，則終點不同，③正確；對于④，單位向量模長相等，又方向相反，則這兩個向量為相反向量，④正確；對于⑤，若兩個向量起點相同，且模長相等且不為零，則終點的軌跡為球面，⑤錯誤；則正確的命題個數(shù)為個.故答案為：.16．設(shè)，是兩個不共線的非零向量，若向量與的方向相反，則k＝________.【答案】【解析】由題意知，．，又不共線，∴.故答案為：三、解答題17．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．(1)若∥，求的值；(2)若⊥（＋2），求實數(shù)k的值；(3)若與的夾角是鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．【解析】(1)因為向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，所以＝＝3．(2)因為＋2＝，且⊥，所以1×＋2×＝0，解