專題45角中的四種常見思想方法（滬科版）

專題4.5角中的四種常見思想方法【滬科版】考卷信息：本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對角中的四種常見思想方法的理解！【題型1數(shù)形結(jié)合思想】1．（2023下·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期中）入射光線和平面鏡的夾角為40°，轉(zhuǎn)動平面鏡，使入射角減小20°，反射光線與入射光線的夾角和原來相比較將（）A．減小40° B．增大40° C．減小20° D．不變【答案】A【分析】分別求出平面鏡轉(zhuǎn)動前后反射光線與入射光線的夾角，再對兩者進行比較即可得到解答．【詳解】解：入射光線與平面鏡的夾角是40°，所以入射角為90°?40°=50°．根據(jù)光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也為50°，所以入射光線與反射光線的夾角是100°．入射角減小20°，變?yōu)?0°?20°=30°，所以反射角也變?yōu)?0°，此時入射光線與反射光線的夾角為60°．則反射光線與入射光線間的夾角和原來比較將減小40°．故選：A．【點睛】本題考查角度與光反射的綜合應用，熟練掌握光的反射規(guī)律及角度的計算方法是解題關(guān)鍵．2．（2023上·吉林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，OA表示北偏東41°方向，OB表示南偏東54°方向，則∠AOB＝度．【答案】85【分析】利用方位角、角度和差的性質(zhì)計算，即可完成求解．【詳解】∵OA表示北偏東41°方向，OB表示南偏東54°方向∴∠AOB＝180°41°54°＝85°故答案是：85．【點睛】本題考查了角度的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握方位角、角度和差的性質(zhì)，從而完成求解．3．（2023·江蘇泰州·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學校考期末）七年級上冊《數(shù)學實驗手冊》中有“三角尺拼角”的問題．將一副三角尺如圖這樣放置，就可畫出∠AOB=75°(1)請你借助三角尺完成以下操作，并在所畫圖形上標注所使用三角尺的相應角度；①設計用一副三角尺畫出105°角的畫圖方案，并畫出相應的幾何圖形；②用一副三角尺能畫出145°的角嗎？__________．（填“能”或“不能”）．(2)利用一副三角尺在圖中畫出∠MON的角平分線OP(3)如圖，現(xiàn)有19°、23°、29°角的三種模板，∠ABC=19°，小冬想出了一個方案，利用19°角模板畫出1°角，動手操作：如圖，M、O、N三點在一條直線上，將∠ABC的頂點B與點O重合，BC邊與射線ON重合，如圖所示，將∠ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)19°，得∠A1B1C1，再將∠A1B1C1繞點請從23°或29°角模板中選一個你認為能畫出1°角的模板，設計一個方案，并說明理由．(4)對于任意一個n°（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板是否一定能畫出1°【答案】(1)①見解析；②不能(2)見解析(3)選用23°，理由見解析(4)不一定能，理由見解析【分析】（1）①用一副三角尺畫出105°角的畫圖方案，用含60°，45°②根據(jù)用一副三角板可以直接畫出角的度數(shù)是15的倍數(shù)可解答；（2）根據(jù)題意設計一個15°，一邊與射線ON重合，另一邊即為角平分線OP，（3）根據(jù)題目所給的方案，進行設計即可求解；（4）根據(jù)角度的四則運算進行判斷即可求解．【詳解】（1）解：①用一副三角尺畫出105°角，如圖所示，∠②用一副三角板可以直接畫出角的度數(shù)是15的倍數(shù)，∴用一副三角尺能不能畫出145°的角，故答案為：不能．（2）解：如圖所示，（3）選用23°，用23°的角旋轉(zhuǎn)15次，則23°×15=345°，與360°差再旋轉(zhuǎn)16次，得到23°×15+16=713°再旋轉(zhuǎn)16次，得到23°×15+16+16=∴∠ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)23°，得∠再將∠A1B1C得∠A2B2C2可得1°的角，即：23°×47-360°×3=1081°-1080°=1°．（4）對于任意一個n°（n為正整數(shù)）角的模板，只用此模板不一定能畫出1°例如，n=2°，此時無論如何旋轉(zhuǎn)，都不能得到1°【點睛】本題考查了三角板中的角度計算，角平分線的定義，角度的計算，理解題意是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·江蘇鹽城·七年級階段練習）探究實驗：《鐘面上的數(shù)字》實驗目的：了解鐘面上時針與分針在轉(zhuǎn)動時的內(nèi)在聯(lián)系，學會用一元一次方程解決鐘面上的有關(guān)數(shù)學問題，體會數(shù)學建模思想．實驗準備：機械鐘（手表）一只實驗內(nèi)容與步驟：觀察與思考：（1）時針每分鐘轉(zhuǎn)動__°，分針每分鐘轉(zhuǎn)動__°．（2）若時間為8：30，則鐘面角為__°，（鐘面角是時針與分針所成的角）操作與探究：（1）轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，使時針與分針重合在12點處．再次轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，算一算，什么時刻時針與分針再次重合？一天24小時中，時針與分針重合多少次？（一天中起始時刻和結(jié)束時刻時針與分針重合次數(shù)只算一次，下同）（2）轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，使時針與分針重合在12點處，再次轉(zhuǎn)動鐘面上的時針與分針，算一算，什么時刻鐘面角第一次為90°？一天24小時中，鐘面角為90°多少次？拓展延伸：一天24小時中，鐘面角為180°__次，鐘面角為n°（0＜n＜180）____次．（直接寫出結(jié)果）【答案】觀察與思考：（1）0.5，6，（2）75；操作與探究：（1）1211，22；（2）311，44；拓展延伸：22，【詳解】解析:試題分析：觀察與思考：(1)鐘表12個數(shù)字,每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°即可得出答案;(2)鐘表上8:30,時針指向8和9的中間,分針指向6,即可得出答案,時針和分針相隔2.5個格;操作與探究：(1)①設經(jīng)過x小時時針與分針再次重合，根據(jù)分針轉(zhuǎn)過的角度=時針轉(zhuǎn)過的角度+360°列出方程即可得出答案；②設經(jīng)過x小時時針與分針再次重合，根據(jù)分針轉(zhuǎn)過的角度=時針轉(zhuǎn)過的角度+90°列出方程即可得出答案；拓展延伸：根據(jù)一天時針與分針重合的次數(shù)，結(jié)合每重合一次都會出此案兩次n的角可得到答案.解：觀察與思考：（1）30°÷60=0.5；30°÷5=6°；（2）30°×2.5=75°操作與探究：（1）設經(jīng)過x小時時針與分針再次重合．360x=30x+360解得：x=1211∵時針與分針每經(jīng)過x=1211∴24÷1211=22答：1211時時針與分針再次重合．一天24小時中，時針與分針重合22（2）設經(jīng)過y小時鐘面角第一次為90°．360y=30y+90，解得：y=311∵每經(jīng)過x=1211時針與分針重合一次，而鐘面角為90°∴24÷1211×2=44答：12311時鐘面角第一次為90°．一天24小時中，鐘面角為90°44拓展延伸：由2可得：一天24小時中，鐘面角為180°有22次，鐘面角為n°（0＜n＜180）44次．故答案為22；44．點睛：本題考查了鐘面角的計算及一元一次方程的應用，根據(jù)時針與分針每小時轉(zhuǎn)動的角度和時針與分針所形成的夾角列方程求解.5．（2023上·寧夏銀川·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，點O是彈力墻MN上一點，魔法棒從OM的位置開始繞點O向ON的位置順時針旋轉(zhuǎn)，當轉(zhuǎn)到ON位置時，則從ON位置彈回，繼續(xù)向OM位置旋轉(zhuǎn)；當轉(zhuǎn)到OM位置時，再從OM的位置彈回，繼續(xù)轉(zhuǎn)向ON位置，…，如此反復．按照這種方式將魔法棒進行如下步驟的旋轉(zhuǎn)：第1步，從OA0（OA0在OM上）開始旋轉(zhuǎn)α至OA1；第2步，從OA1開始繼續(xù)旋轉(zhuǎn)2α至OA2；第3例如：當α=30°時，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如圖2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；當α=20°時，OA1，(1)若α=35°，在圖4中借助量角器畫出，OA2，OA3，其中(2)若α＜30°，且OA4所在的射線平分∠A2OA3，在如圖5中畫出O(3)若α＜36°，且∠A2OA【答案】(1)45°(2)α＝（72029）(3)（207）°或（34013）°或（380【分析】（1）根據(jù)題意，明確每次旋轉(zhuǎn)的角度，計算即可，并畫圖；（2）根據(jù)各角的度數(shù)，找出等量關(guān)系式，列出方程，求出α的度數(shù)即可；（3）分三種情況討論，根據(jù)各角的度數(shù)，找出等量關(guān)系式，列出方程，求出α的度數(shù)即可．【詳解】（1）解：如圖1，當α=35°，則∠∴∠A∴∠A∴∠A（2）解：如圖5所示．∵α∴∠A0O∵OA4∴2(180°-6α解得：α=（3）解：分三種情況：①OA4和OA3都不從3αα=②OA4在OA根據(jù)題意得：4αα=③OA4在OA根據(jù)題意得：4αα=綜上，對應的α值是207°或34013故答案為：207°或34013【點睛】本題主要考查角度的計算和旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識，可結(jié)合平角的性質(zhì)及角度的加減進行計算分析．6．（2023上·湖南長沙·七年級長沙麓山國際實驗學校?？计谀┤鐖D1，大課間的廣播操展讓我們充分體會到了一種整體的圖形之美，歡歡和樂樂想從數(shù)學角度分析下如何能讓班級同學們的廣播操做得更好，他們搜集了標準廣播操圖片進行討論，如圖2，為了方便研究，定義兩手手心位置分別為A，B兩點，兩腳腳跟位置分別為C，D兩點，定義A，B，C，D平面內(nèi)O為定點，將手腳運動看作繞點O進行旋轉(zhuǎn)：(1)填空：如圖2，A，O，B三點共線，且∠AOC=∠BOC(2)第三節(jié)腿部運動中，如圖3，歡歡發(fā)現(xiàn)，雖然A，O，B三點共線，卻不在水平方向上，且∠AOD:∠BOC(3)第四節(jié)體側(cè)運動中，樂樂發(fā)現(xiàn)，兩腿左右等距張開且∠COD=30°，開始運動前A、O、B三點在同一水平線上，OA、OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，OA旋轉(zhuǎn)速度為50°/s，OB旋轉(zhuǎn)速度為25°/s，當①運動停止時，直接寫出∠AOD=②請幫助樂樂求解運動過程中∠AOC與∠【答案】(1)90(2)正確，代數(shù)式的值為56(3)①105°；②當0≤t≤2.1時，∠AOC+2∠BOE【分析】（1）由A，O，B三點共線，可得出∠AOC+∠BOD（2）由∠AOD:∠BOC=6:5，設∠AOD（3）①算出運動停止時的時間，求出OA運動的角度，進而求出∠AOD的度數(shù)；②由OA的運動過程可知，需要分類討論，在點C，O，A共線前，和共線后【詳解】（1）解：∵A，O，B三點共線，∴∠AOC∵∠AOC∴∠AOC故答案為：90；（2）∵∠AOD設∠AOD=6α∴∠AOC=180°-∠BOC∴∠AOC∴歡歡的發(fā)現(xiàn)是正確的，代數(shù)式的值為56（3）解：∵∠COD∴∠COE=∠EOD設運動時間為ts，則t=75°÷25°=3，則①運動停止時，即t=3時，OA旋轉(zhuǎn)的角度為50°×3=150°∴∠AOD故答案為：105°；②當點C，O，A三點共線時，t=∴當0≤t≤2.1時，∠AOC∴∠AOC當2.1<t≤3時，∠BOE∴∠AOC綜上，當0≤t≤2.1時，∠AOC+2∠BOE【點睛】本題主要考查角的和差的相關(guān)計算，發(fā)現(xiàn)圖形中角之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．7．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，點O為直線AB上一點，點C是位于直線AB上方的一點，且∠BOC=20°，將一個含60°三角板（∠POQ=60°）頂點放在點O處，一邊OP與射線OA重合，點Q在直線AB的上方．（1）∠QOC=°（2）如圖2，現(xiàn)將圖1位置中三角板△OPQ繞點O沿順時針方向每秒轉(zhuǎn)動8°，射線OC繞點O沿逆時針方向每秒轉(zhuǎn)動12°，設轉(zhuǎn)動的時間為t秒，當點Q、點C有一點位于直線AB上時，轉(zhuǎn)動停止．①當線段OQ與射線OC重合時，求t的值；②當t=時，OP⊥OC．【答案】（1）100；（2）①t=5；②3.5或12.5【分析】（1）根據(jù)角的和差關(guān)系，直接求出∠QOC的度數(shù)，即可；（2）①根據(jù)題意，列出關(guān)于t的一元一次方程，即可求解；②分兩種情況：第一次OP⊥OC時，第二次OP⊥OC時，分別列出關(guān)于t的一元一次方程，即可求解．【詳解】（1）∵∠BOC=20°，∠POQ=60°，∴∠QOC=180°20°60°=100°，故答案是：100；（2）①設過t秒，線段OQ與射線OC重合，則12t+8t=100，解得：t=5，②第一次OP⊥OC時，∠QOC=90°60°=30°，則12t+8t=10030，解得：t=3.5；第二次OP⊥OC時，∠QOC=90°+60°=150°，則12t+8t=100+150，解得：t=12.5，綜上所述：t=3.5或12.5秒，OP⊥OC，故答案是：3.5或12.5【點睛】本題主要考查一元一次方程與角的和差的綜合應用，根據(jù)角的和差關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵．【題型2分類討論思想】1．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠AOC

(1)試說明：∠AOB(2)若OC平分∠BOE，∠AOB=16°，∠(3)在（2）的條件下，作射線OF，OG，當∠BOF=∠DOF，∠【答案】(1)見解析(2)40°(3)圖見解析，∠AOG的度數(shù)是83°或122°或128°或【分析】（1）觀察圖形，可知已知的兩等角存在公共部分，同時減去，即可得解；（2）觀察圖形中角之間的位置關(guān)系，得∠COE=∠COD（3）由∠BOF=∠DOF，分情況：①OF在∠BOD內(nèi)部：由∠FOG=3∠EOG，進一步分情況討論，OG在∠EOF內(nèi)部或OG在∠EOF外部，②OF在∠【詳解】（1）解：∵∠AOC∠AOB∠COD∴∠AOB（2）由（1）可知，∠AOB∵∠DOE∴∠COE∵OC平分∠∴∠BOC∴∠BOC的度數(shù)是40°（3）∠AOG的度數(shù)是83°或122°或128°或38°理由如下：如圖1，∵∠AOE∵∠BOD∴∠BOF

∵∠EOF又∵∠FOG∴∠EOG∴∠AOG如圖2，∵∠FOG

即∠EOF又∵∠EOF∴∠EOG∠AOG

如圖3，∵∠BOF∴∠EOF又∴∠FOG∠EOG∠AOG如圖4:∵∠FOG∴3∠EOG

∠EOG∠AOG綜上所述，∠AOG的大小為83°或122°或128°或38°【點睛】本題考查角的數(shù)量關(guān)系和計算，角平分線的定義；根據(jù)圖形得出角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·湖南永州·七年級統(tǒng)考期末）點O為直線AB上一點，在直線AB同側(cè)任作射線OC,OD，使得

(1)如圖一，過點O作射線OE，使OE為∠AOD的角平分線，若∠COE=25°時，則∠DOE=________°(2)如圖二，過點O作射線OE，當OE恰好為∠AOC的角平分線時，另作射線OF，使得OF平分∠①若∠AOC=50°，求②若∠AOC=α0°<α(3)過點O作射線OE，當OC恰好為∠AOE的角平分線時，另作射線OF，使得OF平分∠COD，當∠EOF=10°時，則【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°【分析】（1）根據(jù)∠DOE=∠COD-∠COE求出∠（2）①由平角的定義，角平分線的定義求出∠COE，∠②同①法，進行計算即可；（3）分OF在∠EOD內(nèi)部和OF在∠【詳解】（1）解：∵∠COD=90°，∴∠DOE∵OE為∠AOD∴∠AOE∴∠AOC故答案為：65°，（2）①解：∵∠AOC=50°，∴∠BOD又∵OE為∠AOC的角平分線，OF為∠∴∠COE=1∴∠EOF②∵∠AOC=α∴∠BOD又∵OE為∠AOC的角平分線，OF為∠∴∠COE=1∴∠EOF故答案為：135°；（3）①當OF在∠EOD

∵∠COD=90°，OF平分∴∠COF∵∠EOF∴∠COE∵OC平分∠AOE∴∠AOC②當OF在∠EOD

∵∠COD=90°，OF平分∴∠COF∵∠EOF∴∠COE∵OC平分∠AOE∴∠AOC綜上：∠AOC的度數(shù)是35°或55°故答案為：35°或55°．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算，角平分線的相關(guān)計算．解題的關(guān)鍵是正確的識圖，理清角之間的和差關(guān)系．3．（2023下·上海長寧·七年級校聯(lián)考期末）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角，如圖1，若∠COD=12∠

(1)如圖1，∠AOB=70°，∠AOC=15°，∠COD是(2)如圖2，已知∠AOB=120°，將∠AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度α0°<α<60°得∠COD(3)已知∠AOB=30°，把一塊含有30°角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點O以5度/秒的速度按順時針旋轉(zhuǎn)（如圖4），問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線OA、OB、OC、【答案】(1)20°(2)當旋轉(zhuǎn)角度α為40°時∠COB是∠(3)能，分別為2秒，18秒，54秒，70秒【分析】（1）根據(jù)“內(nèi)半角”的定義，可求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)∠（2）由旋轉(zhuǎn)可分別求出∠BOC和∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)“內(nèi)半角”的定義，可列出等式120°-（3）由旋轉(zhuǎn)可知，分四種情況，分別進行討論，根據(jù)“內(nèi)半角”的定義，可求出對應的時間．【詳解】（1）解：如圖1，∵∠AOB=70°，∠COD

∴∠COD∵∠AOC∴∠BOD故答案為：20°．（2）解：如圖2，由旋轉(zhuǎn)可知，∠AOC

∴∠BOC=120°-α∵∠COB是∠∴∠COB=1解得，α=40°（3）解：能，理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知，∠AOC①當射線OC在∠AOB內(nèi)，如圖4

此時，∠BOC=30°-5°t則∠COB是∠∴∠COB=1解得t=2（秒)②當射線OC在∠AOB外部，有以下兩種情況，如圖5，圖6如圖5，此時，∠BOC=5°t

則∠COB是∠∴∠COB=1解得t=18（秒)如圖6，此時，∠BOC=360°-5°t

則∠AOD是∠∴∠AOD=1解得t=54（秒)③當射線OD在∠AOB內(nèi)，如圖7

此時，∠BOC=360°-5°t則∠AOD是∠∴∠AOD=1解得t=70（秒)綜上，在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線OA、OB、OC、OD構(gòu)成內(nèi)半角時，旋轉(zhuǎn)的時間分別為：2秒；18秒；54秒；70秒．【點睛】本題屬于新定義類問題，主要考查旋轉(zhuǎn)中角度的表示，及角度的和差運算；由旋轉(zhuǎn)正確表達對應的角是本題解題關(guān)鍵．4．（2023上·湖北十堰·七年級統(tǒng)考期末）已知∠AOB與∠COD互補，將∠COD(1)若∠①如圖1，當∠COB=30°時，∠AOD②將∠COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至∠AOC=3∠BOD，求(2)將∠COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α°(0<α【答案】(1)①150；②∠COB=20°，∠AOD=130°(2)不改變，其度數(shù)為180°【分析】（1）①先根據(jù)∠AOB=110°,∠COD=70°求出②設∠AOC=x°，分兩種情況：(Ⅰ)OB在∠COD內(nèi)部，（2）設∠AOB【詳解】（1）①∵∠AOB∴∠AOB∵∠AOB+∠COD∴∠AOD故答案為150；②(Ⅰ)當OB在∠COD內(nèi)部時（如圖1設∠AOC=x∠BOD由∠AOC=3∠BOD解得x=60∴∠COB∴∠AOD(Ⅱ)當∠COD在∠AOB內(nèi)部時（如圖設∠AOC=x由∠AOC=3∠BOD解得x=30∠BOD∠COB∴∠AOD（2）不改變，其度數(shù)為180°．設∠AOB=β分四種情況：ⅰ)當OB在∠COD內(nèi)部時（如圖3∠COB∠BOD∠AOD∴∠AODⅱ)當∠COD在∠AOB內(nèi)部時（如圖∠COB∠AOD∴∠AODⅲ)當OA在∠COD內(nèi)部時（如圖5∠COB∠AOD∴∠AODⅳ)當∠COD在∠AOB外部時（如圖∠=360°-180°=180°；綜上所述，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOD+∠COB【點睛】本題考查了角的和差，關(guān)鍵是運用角的和差正確表示所需要的角．5．（2023上·江蘇南通·七年級校聯(lián)考期末）定義：從∠MPN的頂點P引一條射線PQ（不與PM重合），若∠QPN+∠MPN=180°，則稱射線PQ

(1)下列說法：①一個角關(guān)于某邊的補線一定在這個角的外部；②一個角關(guān)于某邊的補線一定有2條；③一個角關(guān)于某邊的補線有1條或2條，其中正確的是；（填序號）(2)如圖，O是直線AB上一點，射線OC，OD在AB同側(cè)，OD是∠BOC的平分線，則OC是∠AOD關(guān)于邊(3)已知射線OC為∠AOB關(guān)于邊OB的補線，OP是∠BOC的平分線．若∠AOB=α【答案】(1)