專題274相似三角形的判定與性質(zhì)（二）（舉一反三）（人教版）

專題27.4相似三角形的判定與性質(zhì)（二）【九大題型】【人教版】TOC\o"13"\h\u【題型1尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運(yùn)用】 1【題型2三角板與相似三角形綜合運(yùn)用】 5【題型3裁剪與相似三角形綜合運(yùn)用】 13【題型4折疊與相似三角形綜合運(yùn)用】 21【題型5判斷與相似有關(guān)結(jié)論的正誤】 29【題型6用相似三角形的判定與性質(zhì)證明】 37【題型7用相似三角形的判定與性質(zhì)求線段比值】 44【題型8利用相似三角形的判定與性質(zhì)求最值】 52【題型9利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決幾何動(dòng)點(diǎn)問題】 59【題型1尺規(guī)作圖與相似三角形綜合運(yùn)用】【例1】（2023春·福建福州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知菱形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)．(1)在BC的右側(cè)求作△AEF，使得EF∥BD(2)在（1）的條件下，若∠EAF=1【答案】(1)見解析；(2)見解析.【分析】（1）連接AC交BD于O，在BC右側(cè)作∠CEF=∠CBD，再在射線EF截取EF=OB，連接AE、AF，即可得△AEF；（2）延長EF交AD延長線于點(diǎn)G，先證明四邊形BEGD是平行四邊形，可得EG=BD=2EF，∠G=∠CBD，【詳解】（1）解：如圖，連接AC交BD于O，在BC右側(cè)作∠CEF=∠CBD，再在射線EF截取EF=OB，連接AE、AF，則△AEF即為所要求作的三角形，再證△EAF~△EGA最后證得結(jié)果；（2）證明：延長EF交AD延長線于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD//BC，又∵EF//BD，EF=12BD∴四邊形BEGD是平行四邊形，∴EG=BD=2EF，∠G=∠CBD，又∵在菱形ABCD中，∠CBD=12∠ABC∴∠EAF∴∠EAF又∵∠AEF∴△EAF∴EF∴A∴AE【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖、相似三角形的性質(zhì)與判定、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．【變式11】（2023·陜西·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，請(qǐng)你利用尺規(guī)在BC邊上求一點(diǎn)P，使△PAB∽△ABC（不寫畫法，保留作圖痕跡）【答案】詳見解析【分析】直接作出AB的垂直平分線，進(jìn)而得出P點(diǎn)位置，利用相似三角形的判定方法得出即可.【詳解】解：如圖所示：點(diǎn)P即為所求，∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，∵EP是AB的垂直平分線，∴PA=PB，∴∠B＝∠PAB＝36°，∴△PAB∽△ABC．【點(diǎn)睛】此題主要考查了尺規(guī)作圖和相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【變式12】（2023·陜西西安·西安行知中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AM∥BC．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在射線AM上求作一點(diǎn)D

【答案】見詳解【分析】作∠ACD=∠B，交AM于點(diǎn)D【詳解】如圖所示，作∠ACD=∠B，交AM于點(diǎn)D

∵AM∥∴∠DAC∵∠ACD∴△DCA【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，作一個(gè)角等于已知角，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2023春·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點(diǎn)D，使△A．

B．

C．

D．【答案】C【分析】根據(jù)△ACD∽△ABC，可得∠CDA=∠【詳解】解：當(dāng)CD是AB的垂線時(shí)，△ACD∵CD∴∠CDA∵∠CAD∴△ACD根據(jù)作圖痕跡可知，A選項(xiàng)中，CD是∠ACBB選項(xiàng)中，∠CADC選項(xiàng)中，CD是AB的垂線，符合題意；D選項(xiàng)中，CD不與AB垂直，∠ADC故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【題型2三角板與相似三角形綜合運(yùn)用】【例2】（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）等邊△ABC邊長為6，P為BC上一點(diǎn)，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當(dāng)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時(shí)，判斷△EPF的形狀；(2)在（1）問的條件下，F(xiàn)E、PB的延長線交于點(diǎn)G，如圖2，求△EGB的面積；(3)在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如圖3，求PE的長．【答案】(1)等邊三角形(2)3(3)4【分析】（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再證得PE＝PF即可，可通過證三角形PBE和PFC全等來得出結(jié)論，再證明全等過程中，可通過證明FP⊥BC和BE＝PC來實(shí)現(xiàn)；（2）由（1）不難得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度數(shù)，可以根據(jù)CF的長求出GC的長，從而求出GB的長，下面的關(guān)鍵就是求GB邊上的高，過E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的長，有∠ABC的度數(shù)，可以求出BE、EP的長，再根據(jù)三角形面積的不同表示方法求出EH的長，這樣有了底和高就能求出△GBE的面積；（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出PE的值即可．【詳解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，BE=∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，在△BEP和△CPF中，∠B∴△BEP≌△CPF，∴EP＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等邊三角形．（2）過E作EH⊥BC于H，由（1）可知：FP⊥BC，F(xiàn)C=在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，∵∠PFE＝60°，∴∠GFC＝90°，直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，∴GC＝2CF＝8，∴GB＝GC﹣BC＝2，直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，∴PE＝23，BE＝2，∴EH＝BE?PE÷BP＝3，∴S△GBE＝=1（3）∵在BPE中，∠B＝60°，∴∠BEP+∠BPE＝120°，∵∠EPF＝60°，∴∠BPE+∠FPC＝120°，∴∠BEP＝∠FPC，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP，∴BPCF設(shè)BP＝x，則CP＝6﹣x．∴x2＝4解得：x＝2或4．當(dāng)x＝2時(shí)，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，過E作EH⊥BC于H，則EH＝23，BH＝2，∴PH＝0，即P與H重合，與CF≠BP矛盾，故x＝2不合題意，舍去；當(dāng)x＝4時(shí)，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，則△BEP是等邊三角形，∴PE＝4．故PE＝4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意對(duì)全等三角形和等邊三角形的應(yīng)用．【變式21】（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=23，AD=10，直角三角板的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)，(點(diǎn)P與A，D不重合)，一直角邊經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與射線AB(1)求證：△AEP∽△(2)當(dāng)∠CPD=30°時(shí)，求(3)是否存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出【答案】(1)詳見解析(2)8(3)5-【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性質(zhì)，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得結(jié)論；（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)AP=x，則DP=10-x，由△CDP∽△【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D∴∠PCD又∵∠C∴∠EPA∴∠PCD∴△AEP∽△（2）解：在Rt△PCD中，∠DPC∴CP∴PD∵AD∴AP∵∠CPE∴∠APERt△APE中，∴PE（3）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)AP=x，則∵△CDP∽△根據(jù)△CDP的周長等于△PAE周長的2倍，得到兩三角形的相似比為∴CDAP=解得x=∴AE∴BE【點(diǎn)睛】此題是相似三角形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，根據(jù)△CDP的周長等于△PAE周長的2倍，得到兩三角形的相似比為【變式22】（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q．則DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．①如圖2，若PQ＝5，求AP長．②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長為．【答案】（1）＝；（2）①1，②2【分析】（1）先證明△ADP≌△CDQ，即可求解；（2）①先證明△ADP∽△CDQ，可得APCQ＝ADCD＝24＝12，設(shè)AP＝x，則CQ再由勾股定理，即可求解；②過點(diǎn)B作BE⊥DP交DP延長線于點(diǎn)E，BF⊥DQ于點(diǎn)F，根據(jù)△ADP∽△CDQ，可得∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24＝12，從而得到∠BPE=∠Q，再由角平分線的性質(zhì)定理可得BE=BF，進(jìn)而證得△BEP≌△BFQ，得到BP=【詳解】解∶（1）在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，∵∠PDQ=90°，∴∠PDQ=∠ADC=90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP=∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ；故答案為∶=（2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．∵∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．又∵∠A＝∠DCQ＝90°．∴△ADP∽△CDQ，∴APCQ＝ADCD＝24＝設(shè)AP＝x，則CQ＝2x，∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x．由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2＋BQ2＝PQ2，代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52，解得x＝1，即AP＝1．∴AP的長為1．②如圖，過點(diǎn)B作BE⊥DP交DP延長線于點(diǎn)E，BF⊥DQ于點(diǎn)F，由①得：△ADP∽△CDQ，∴∠APD=∠Q，APCQ＝ADCD＝24＝∴CQ=2AP，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠Q，∵BD平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ，∴BE=BF，∵∠E=∠BFQ=90°，∴△BEP≌△BFQ，∴BP=BQ，設(shè)AP=m，則BQ=BP=4m，CQ=2m，∴2+2m=4m，解得：m=即AP=∴DP【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2023春·廣東廣州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，D為AB中點(diǎn)，E、F分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊AC、BC的交點(diǎn)，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點(diǎn)，且滿足∠CME=2∠ADE，EM=．【答案】29【分析】由CE=5，AE=2，得AC=7，利用勾股定理，得到AD的長度，過E作EN⊥AD于N，求出EN和DN的長度，由于∠CME=2∠ADE，延長MB至P，是MP=ME，可以證明△DNE～△PCE，MP=x【詳解】解：如圖，過E作EN⊥AD于N，∴∠∴∠∴NE=NA，∵∴同理，AD∴DN延長MB至P，使MP=ME，連接PE，∴可設(shè)∠∴∠∵∠∴∠又∠∴△∴∴設(shè)MP=ME在Rt△MCE∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，二倍角的輔助線的構(gòu)造，方程思想求線段，熟練掌握二倍角輔助線是解決問題的關(guān)鍵．【題型3裁剪與相似三角形綜合運(yùn)用】【例3】（2023春·全國·九年級(jí)期中）如圖1所示，一個(gè)木板余料由一個(gè)邊長為6的正方形和一個(gè)邊長為2的正方形組成，甲、乙兩人打算采用剪拼的辦法，把余料拼成一個(gè)與它等積的正方形木板．甲：如圖2，沿虛線剪開可以拼接成所需正方形，并求得AM＝2．乙：如圖3，沿虛線剪開可以拼接成所需正方形，并求得AM＝3下列說法正確的是（）A．甲的分割方式不正確B．甲的分割方式正確，AM的值求解不正確C．乙的分割方式與所求AM的值都正確D．乙的分割方式正確，AM的值求解不正確【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，再逐個(gè)驗(yàn)證拼圖是否符合題意，再利用全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖所示，將△FAM平移至△NDC，將△MBC平移至△FEN，由此可得AM＝DC＝2，F(xiàn)A＝ND＝6，NE＝BC＝2，∴DE＝ND－NE＝4（符合題意），∴甲的分割方式正確，AM的值求解也正確，故選項(xiàng)A、選項(xiàng)B的說法都是錯(cuò)誤的，不符合題意；如下圖所示，將△FEG平移至△NBH，連接GH，交AB于點(diǎn)M，將△GAM平移至△EDP，將△PCB平移至△MNH，由此可得GA＝ED＝6－2＝4，AM＝DP，MN＝PC，NB＝EF，∵DP＋PC＋EF＝2＋6＝8＝AB，∴當(dāng)FG＝NH＝BC＝2時(shí)，GA＝ED＝4（符合題意），∵∠A＝∠HNM＝90°，∠AMG＝∠NMH，∴△AMG∽△NMH，∴AMMN∴AM2-解得：AM=∴乙的分割方式正確，AM的值求解不正確，故選項(xiàng)C的說法是錯(cuò)誤的，不符合題意，選項(xiàng)D的說法是正確的，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式31】（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）如圖為三角形紙片ABC，其中D點(diǎn)和E點(diǎn)將AB三等分，F(xiàn)點(diǎn)為DE中點(diǎn)．若小慕從AB上的一點(diǎn)P，沿著與直線BC平行的方向?qū)⒓埰糸_后，剪下的小三角形紙片面積為△ABC的13，則下列關(guān)于P點(diǎn)位置的敘述正確的是（

A．在FE上，但不與F點(diǎn)也不與E點(diǎn)重合 B．在DF上，但不與D點(diǎn)也不與F點(diǎn)重合C．與E點(diǎn)重合 D．與D點(diǎn)重合【答案】A【分析】根據(jù)題意確定出剪下來的三角形與三角形ABC相似，面積比為13，得到相似比3【詳解】解：由題意得，剪下來的三角形與三角形ABC相似，面積比為13故相似比為13即APAB選項(xiàng)A：12AB<選項(xiàng)B：13AB<選項(xiàng)C：23AB=選項(xiàng)D：13AB=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，對(duì)于操作類題目，要對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的面積比等于相似比的平方．【變式32】（2023·福建泉州·中考真題）（1）如圖1是某個(gè)多面體的表面展開圖．①請(qǐng)你寫出這個(gè)多面體的名稱，并指出圖中哪三個(gè)字母表示多面體的同一點(diǎn)；②如果沿BC、GH將展開圖剪成三塊，恰好拼成一個(gè)矩形，那么△BMC應(yīng)滿足什么條件？（不必說理）（2）如果將一個(gè)三棱柱的表面展開圖剪成四塊，恰好拼成一個(gè)三角形，如圖2，那么該三棱柱的側(cè)面積與表面積的比值是多少？為什么？（注：以上剪拼中所有接縫均忽略不計(jì)）【答案】（1）①直三棱柱，點(diǎn)A、M、D三個(gè)字母表示多面體的同一點(diǎn)．②△BMC應(yīng)滿足的條件是：a、∠BMC=90°，且BM=DH，或CM=DH；b、∠MBC=90°，且BM=DH，或BC=DH；c、∠BCM=90°，且BC=DH，或CM=DH；（2）1【分析】（1）①根據(jù)多面體的側(cè)面展開圖可以判斷，且A、M、D是一點(diǎn)；②要使最后的圖形為矩形，必須使△BMC是直角三角形，且△BMC≌△HGN；（2）連接AB、BC、CA，可知矩形ACKL、BIJC、AGHB為棱柱的三個(gè)側(cè)面，且四邊形DGAL、EIBH、FKCJ須拼成與底面△ABC全等的另一個(gè)底面的三角形，然后根據(jù)三角形相似的判定和相似比可確定結(jié)果．【詳解】解：（1）①根據(jù)這個(gè)多面體的表面展開圖，可得這個(gè)多面體是直三棱柱，點(diǎn)A、M、D三個(gè)字母表示多面體的同一點(diǎn)．②△BMC應(yīng)滿足的條件是：a、∠BMC=90°，且BM=DH，或CM=DH；b、∠MBC=90°，且BM=DH，或BC=DH；c、∠BCM=90°，且BC=DH，或CM=DH；（2）如圖2，連接AB、BC、CA，，∵△DEF是由一個(gè)三棱柱表面展開圖剪拼而成，∴矩形ACKL、BIJC、AGHB為棱柱的三個(gè)側(cè)面，且四邊形DGAL、EIBH、FKCJ須拼成與底面△ABC全等的另一個(gè)底面的三角形，∴AC=LK，且AC=DL+FK，∴ACDF同理，可得ABDE∴△ABC∽△DEF，∴S△即S△∴S側(cè)面積即該三棱柱的側(cè)面積與表面積的比值是12【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，要熟練掌握．此題還考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．同時(shí)此題還考查了直三棱柱的表面展開圖的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．【變式33】（2023·吉林長春·一模）綜合與實(shí)踐折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)．折一折：把邊長為2的正方形紙片ABCD對(duì)折，使邊AB與CD重合，展開后得到折痕EF.如圖①；點(diǎn)M為CF上一點(diǎn)，將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)N處，展開后連接DN，MN，AN，如圖②(1)圖②中，∠CMD=______；線段NF(2)圖②中，試判斷△AND剪一剪、折一折：將圖②中的△AND剪下來，將其沿直線GH折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，分別得到圖③、圖(3)圖③中，陰影部分的周長為______．(4)圖③中，若∠A'GN=80°(5)圖③中，相似三角形(包括全等三角形)共有______對(duì)．(6)如圖④，點(diǎn)A'落在邊ND上，若A'N=2【答案】(1)75°，2-3(2)ΔAND是等邊三角形，理由見解析；(3)6；(4)40；(5)4對(duì)；(6)5【分析】（1）由折疊知DE=AE=12AD，則（2）由折疊知EF是AD的垂直平分線，得AN=DN，由（1）得（3）由折疊知A'G=AG，A'H=（4）由折疊知∠AGH=50°，則（5）根據(jù)兩組角相等可說明ΔNMG～ΔA（6）設(shè)A'N=2x，A'D=x，說明ΔA'GN～ΔHA'D，則【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)得，四邊形CDEF是矩形，∴EF=CD，∠∵將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)N處，∴DN=CD∴∠EDN∴∠CDM=∠NDM∴∠CMD=75°，故答案為：75°；2-3（2）解：ΔADN是等邊三角形，理由如下：由第一次折疊知，EF是AD的垂直平分線，∴AN∵∠EDN∴ΔADN（3）解：∵將圖②中的ΔAND剪下來，將其沿直線GH折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'∴A'G∴圖③中陰影部分的周長=ΔADN的周長=3×2=6故答案為：6；（4）解：將圖②中的ΔAND剪下來，將其沿直線GH折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'∴∠AGH=∠A'∵∠A∴∠AGH∴∠AHG∴∠A故答案為：40；（5）解：如圖③，∵∠NMG=∠A∴ΔNMG由折疊知，ΔAGH?∴圖③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4對(duì)，故答案為：4對(duì)；（6）解：∵A'N=2A∵ND∴2=2x∴x∵∠N∴∠N∴∠A∴Δ∴A'設(shè)A'G=∴GN=2-m∴m解得：m=∴AG故答案為：54【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的周長比等于相似比是解決問題的關(guān)鍵．【題型4折疊與相似三角形綜合運(yùn)用】【例4】（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接DE，將△DCE沿DE所在直線翻折得到△DC'E，C'E與AD交于F，點(diǎn)N為DE中點(diǎn)，射線AN交CD邊于點(diǎn)G，連接AE，若∠FAE【答案】6【分析】過點(diǎn)E作EH⊥AD，延長AG交BC延長線于T，由垂直證明四邊形ABEH為矩形，設(shè)BE=AH=x，由角相等推出EA=EF，因?yàn)镋H⊥AF，AH=HF=x，即可表示出DF=6-2x，用HL證明△ABE≌△D【詳解】解：過點(diǎn)E作EH⊥AD，延長AG交BC延長線于∵∠B∴四邊形ABEH為矩形，∴BE設(shè)BE=∵AD∴∠FEC∵∠FAE∴∠AFE∴EA∵EH∴AH∴AF∴DF∵AD∴∠ADE由折疊可知：∠FED∴∠ADE∴EF∴EA∵AB∵∠ABE∴△ABE∴F在Rt△FD6-2x解得：x=1或x∴BE∵N為DE∴DN∵AD∴∠DAN又∵∠ADE∴△DAN≌△∴AD∵AD∴BE∵AD∴∠ADG∵∠DAG∴△DAG∴AD解得：DG=故答案為：615【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的知識(shí)，相似三角形判定和性質(zhì)，正確做出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．【變式41】2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，點(diǎn)E在邊AB上，