專題75探索平行線的性質(zhì)（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題7.5探索平行線的性質(zhì)（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點一】兩直線平行的判定方法1判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如圖1，幾何語言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）圖1【知識點二】兩直線平行的判定方法2判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.如圖2，幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）圖2【知識點三】兩直線平行的判定方法3判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.如圖3，幾何語言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）圖3特別提醒：平行線的判定是由角相等或互補，得出平行，即由數(shù)推形.【考點目錄】【平行線性質(zhì)求角的等量關(guān)系】【考點1】同位角相等兩直線平行；【考點2】內(nèi)錯角相等兩直線平行【考點3】同旁內(nèi)角互補兩直線平行；【平行線性質(zhì)探究角的關(guān)系】【考點4】平行線判探究角的關(guān)系或求角度；【平行線性質(zhì)性質(zhì)與判定綜合】【考點5】平行線判定與性質(zhì)求角度；【考點6】平行線判定與性質(zhì)證明【平行線間的距離】【考點7】平行線間的距離（應(yīng)用）【平行線性質(zhì)求角的等量關(guān)系】【考點1】同位角相等兩直線平行【例1】（2015·七年級課時練習(xí)）如圖，直線，點在直線上，且，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】先利用，求出，再利用平行線的性質(zhì)求出即可．解：標(biāo)記如下圖所示：

∵，，∴又∵，∴，∵，∴．【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，垂直的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023下·河南開封·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三角形中，平分，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行線的判定定理可得，由平行線的性質(zhì)可得，由平分線的定義可得，即得的度數(shù)．解：∵，∴，∴，∵平分，∴，∴．故選：C．【點撥】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．【變式2】（2022·甘肅嘉峪關(guān)·?？家荒＃┤鐖D，將一把直尺和一塊含角的三角板按如圖所示的位置放置，如果，那么的度數(shù)為．【答案】/14度【分析】由題意可確定，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，然后根據(jù)角的關(guān)系即可解答．解：由題意可知，，由含角的三角板的特點可知：，，故答案為：．【點撥】本題考查平行線的性質(zhì)，含角的三角板中的角度計算，掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【考點2】內(nèi)錯角相等兩直線平行【例2】（2021上·八年級課時練習(xí)）已知：如圖，，．求證：BD平分．【答案】證明見分析．【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到，加上，則利用等量代換得到，于是可判斷BD平分．解：∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．又∵（已知），∴（等量代換）．∴BD平分（角平分線的定義）．【點撥】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，頂點，分別在直線，上．若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由得出的度數(shù)，根據(jù)補角的定義即可得出結(jié)論．解：如圖，

，，，，，，故選A．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式2】（2023上·七年級課時練習(xí)）如圖，已知，請你添加一個條件，使得能利用“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”來判斷，你添加的條件是．

【答案】平分（答案不唯一）【分析】根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，當(dāng)時，，由于，易得要平分．解：當(dāng)時，，而，所以需平分，即添加的條件是平分．故答案為：平分（答案不唯一）．【點撥】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【考點3】同旁內(nèi)角互補兩直線平行【例3】（2023下·云南昆明·七年級?？茧A段練習(xí)）已知，點在直線與之間，連接．

（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，求證∶．【答案】（1）；（2）見分析【分析】（1）過點E作，根據(jù)平行線的判定得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（2）根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．解：（1）如圖1，過點E作，

∴，∵，，∴，∴，∵，∴∵，∴；（2）如圖2，過點E作，

∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點撥】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）如圖，直線，點在直線上，點在直線上，連接，過點作，交直線于點．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出，結(jié)合已知條件即可求出的度數(shù)．解：如圖所示，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．【變式2】（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級校聯(lián)考期中）如圖，，分別與，相交于點和點，平分，且，則．【答案】/80度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)，可得；由角平分線可得，據(jù)此即可求解．解：∵，，∴∵平分，∴∵，∴故答案為：【平行線性質(zhì)探究角的關(guān)系】【考點4】平行線判探究角的關(guān)系或求角度【例4】（2023下·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，已知的平分線交于點F．探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】，見分析【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，過點C作直線，然后證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，同理可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，等量代換可得答案．解：過點C作直線，

∵，∴，∴，，∴，∴，同理，∵的平分線交于點F，∴，∴．【變式1】（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，，則下列各式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】略【變式2】（2023下·七年級課時練習(xí)）如圖，，，，表示圖中三個角的角度，則，，三者之間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】【解析】略【平行線性質(zhì)性質(zhì)與判定綜合】【考點5】平行線判定與性質(zhì)求角度【例5】（2019下·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，分別在的三條邊上，，．（1）試說明：；（2）若，平分，求的度數(shù)．【答案】（1）證明見分析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線定義和平行線的判定與性質(zhì)即可求出結(jié)果．（1）解：，，，，；（2）解：，平分，．【點撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．【變式1】（2022下·河北唐山·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，于點，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，過點H作，過點F作，根據(jù)平行線的性質(zhì)定理進(jìn)行解答即可．解：如圖，過點H作，過點F作，∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021下·上海浦東新·七年級期中）如圖，已知AD∥CE，∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，若∠AFC的余角等于2∠ABC的補角，則∠BAH的度數(shù)是．【答案】60°/60度【分析】首先設(shè)∠BAF＝x°，∠BCF＝y(tǒng)°，過點B作BMAD，過點F作FNAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F的余角等于2∠ABC的補角，可得方程：90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），繼而求得答案．解：設(shè)∠BAF＝x°，∠BCF＝y(tǒng)°，∵∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的平分線交于點F，∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝x°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，過點B作BMAD，過點F作FNAD，如圖所示：∵ADCE，∴ADFNBMCE，∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y(tǒng)°，∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，∵∠F的余角等于2∠ABC的補角，∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），解得：x＝30，∴∠BAH＝60°．故答案為：60°【點撥】此題考查了平行線的性質(zhì)與判定以及余角、補角的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．【考點6】平行線判定與性質(zhì)證明【例6】（2012上·廣西·七年級階段練習(xí)）看圖填空：已知：如圖，為上的點，為上的點，，求證：．證明：______，______________________________又__________________【答案】已知；對頂角相等；等量代換；；；兩直線平行，同位角相等；已知；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)已知條件及對頂角相等求得同位角，從而推知兩直線，所以同位角；然后由已知條件推知內(nèi)錯角，所以兩直線．解：已知，，對頂角相等，等量代換，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，兩直線平行，同位角相等，已知，等量代換，內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是注意平行線的性質(zhì)和判定定理的綜合運用．【變式1】（2023上·黑龍江綏化·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在三角形中，已知，．對于下列五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤與互余．其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，互余的概念，解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確區(qū)分平行線的判定與性質(zhì)，并熟練運用．根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可進(jìn)行逐一判斷．解：①，；所以①正確；②，，，，；所以②正確；③，；所以③正確；④，，，；所以④正確；⑤．，與互余．所以⑤正確．其中正確的有①②③④⑤5個．故選：D．【變式2】（2012下·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期中）完成下面推理過程：如圖，已知，，可推得．理由如下：∵（

），且（___________），∴（等量代換），∴（__________），又∵（已知），∴__________（__________），∴（__________）．【答案】已知，對頂角相等，同位角相等兩直線平行，，等量代換，兩直線平行內(nèi)錯角相等．【分析】利用兩直線平行，同位角相等，對頂角相等，內(nèi)錯角相等兩直線平行等進(jìn)行等量代換和判定．解：∵（已知），且（對頂角相等），∴（等量代換），∴（同位角相等，兩直線平行），∴（兩直線平行內(nèi)錯角相等）又∵（已知），∴（等量代換），∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：已知，對頂角相等，同位角相等兩直線平行，，等量代換，兩直線平行內(nèi)錯角相等．【點撥】．本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定定理并靈活運用．【平行線間的距離】【考點7】平行線間的距離（應(yīng)用）【例7】（2020下·湖南益陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線m//n，A，B為直線m上的兩點，C，P為直線n上的兩點．（1）請寫出圖中面積相等的各對三角形：；（2）如果A，B，C為三個定點，點P在直線n上移動，那么，無論P點移動到任何位置，總有．理由是：．【答案】（1）與、與、與；（2）題（1）中三對面積相等的三角形，理由見分析．【分析】（1）根據(jù)兩平行線之間的距離處處相等、三角形的面積公式即可得；（2）根據(jù)兩平行線之間的距離處處相等即可得．解：（1）設(shè)平行線m與n之間的距離為h則和的邊CP上高均為h，和的邊AB上高均為h由同底等高得：與的面積相等，與的面積相等又，即與的面積相等故答案為：與、與、與；（2）總有題（1）中三對面積相等的三角形理由：兩平行線之間的距離相等、同底等高的三角形的面積相等、面積相等兩個三角形都減去公共部分得到的兩個三角形的面積也相等．【點撥】本題考查了平行線之間的距離，掌握平行線之間的距離是解題關(guān)鍵．【變式1】（2022下·河北石家莊·七年級?？计谀┤鐖D，點、為平面內(nèi)兩個定點，定直線，是直線上一動點，對下列各值：①的周長；②的面積；③點到的距離；④的大小.其中會隨點的移動而變化的是（

）

A．②③ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【分析】根據(jù)平行線間的距離不變即可判斷③；根據(jù)三角形的周長和點M的運動變化可判斷①④；根據(jù)同底等高的三角形的面積相等可判斷②；進(jìn)而可得答案．解：∵直線，∴點M到直線的距離不會隨點M的移動而變化，故③正確；∵，的長隨點M的移動而變化，∴的周長會隨點M的移動而變化，的大小會隨點M的移動而變化，故①④錯誤；∵點M到直線的距離不變，的長度不變，∴的面積不會隨點M的移動而變化，故②正確；綜上，不會隨點M的移動而變化的是①④．故選：C．【點撥】本題