專題313直線與橢圓的位置關(guān)系-原卷版

專題3.1.3直線與橢圓的位置關(guān)系【基本知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：直線與橢圓的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的三種位置關(guān)系

類比直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關(guān)系，如圖所示.(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關(guān)系：>0直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn);

=0直線與橢圓相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn);

<0直線與橢圓相離無(wú)公共點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)2：弦長(zhǎng)問(wèn)題(1)定義：直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫作橢圓的弦.

(2)弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線l:y=kx+m交橢圓+=1(a>b>0)于，兩點(diǎn)，則或.知識(shí)點(diǎn)3：“中點(diǎn)弦問(wèn)題”(1)解決橢圓中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種方法

①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.②點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.設(shè)，，代入橢圓方程+=1(a>b>0)，得，②可得+=0，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，有+=0.

因?yàn)闉橄褹B的中點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)與直線AB的斜率之間的關(guān)系，這就是處理弦中點(diǎn)軌跡問(wèn)題的常用方法.(2)弦的中點(diǎn)與直線的斜率的關(guān)系

線段AB是橢圓+=1(a>b>0)的一條弦，當(dāng)弦AB所在直線的斜率存在時(shí)，弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則弦AB所在直線的斜率為，即.【題型1直線與橢圓的位置關(guān)系的判定】【例1】（20232024?高二上?遼寧大連?期中）已知橢圓，直線，則與的位置關(guān)系為（A.相交 B.相切 C.相離 D.以上選項(xiàng)都不對(duì)【變式11】（20232024·全國(guó)·高二上·階段練習(xí)）已知直線l：kx+y+1=0，曲線C：x216+y24=1A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【變式12】（20232024?高二下?重慶?階段測(cè)試）若直線與圓相離，則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（A.0或1 B.0 C.1 D.2【變式13】（20232024?高二上?山東濟(jì)寧?月考(1)證明：直線l與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)已知點(diǎn)，若P是橢圓C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.【題型2根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍】【例2】（20222023?高二上?山東濟(jì)南?期末）若直線與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則nA. B. C. D.【變式21】（20232024?高二上?遼寧遼陽(yáng)?期末）（多選）已知橢圓C：，直線與C交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值可以為（）A． B． C．3 D．4【變式22】（20242025?高三上?湖南?開(kāi)學(xué)考）已知橢圓（1）求的離心率；（2）若直線與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的一般式方程.【變式23】（20242025?高二下?陜西咸陽(yáng)?期末）已知橢圓（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）若直線與橢圓相切，且直線與直線：平行，求直線的斜截式方程.【題型3橢圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題】【例3】（20232024?高二上?浙江紹興?期末）已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（A. B. C. D.【變式31】（20232024?高二上?山東濟(jì)寧?期中）（多選）已知過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)可能是（A.1 B. C. D.【變式32】（20232024?高二上?四川南充?期末）通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且垂直于xA. B.3 C. D.6【變式33】（20232024?高二上?山東臨沂(1)求的長(zhǎng)軸長(zhǎng)：(2)若斜率為的直線交于A，B兩點(diǎn)，求的最大值．【題型4橢圓的斜率積問(wèn)題】【例4】（20232024?高二上?河南南陽(yáng)?月考）已知曲線與y軸交于A，B兩點(diǎn)，P是曲線C上異于A，B的點(diǎn)，若直線AP，BP斜率之積等于，則A. B. C. D.【變式41】（20232024?高二上?山東威海?期末）已知，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上異于，的點(diǎn)，若直線，與直線交于，兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.【變式42】（20232024?高二上?福建南平?期中）（多選）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則（A.的周長(zhǎng)為4B.的取值范圍是C.的最小值是3D.若點(diǎn)在拋物線上，且線段中點(diǎn)為，則直線的斜率為【變式43】（20232024?高二上?四川南充?期末）已知的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設(shè)點(diǎn)P（1）求曲線H的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.【題型5橢圓的“中點(diǎn)弦”問(wèn)題】【例5】（20232024?高二上?重慶?月考）過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線交該橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則橢圓E【變式51】（20232024?高二上?重慶?期末）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),且點(diǎn)為線段的中點(diǎn),則直線的方程為（）A. B.C. D.【變式52】（20232024?高二上?山東臨沂?期末）已知橢圓的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，則的斜率為_(kāi)___________.【變式53】（20232024?高二上?浙江杭州?期中）（多選）設(shè)橢圓的方程為，斜率為k的直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，MA.B.若，則直線l的方程為C.若直線l的方程為，則D.若直線l的方程為，則【變式54】（20232024?高二上?山東濟(jì)寧?月考）已知橢圓的焦距為，短軸長(zhǎng)為2，直線l過(guò)點(diǎn)且與橢圓C交于A(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l的斜率為1，求弦的長(zhǎng)；(3)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于E、G兩點(diǎn)，且Q是弦的中點(diǎn)，求直線的方程．【題型6橢圓中的面積問(wèn)題】【例6】（20232024?高二上?四川南充?期末）已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，且，則的面積為（）A.6 B.12 C. D.【變式61】（20232024?高二上?天津?月考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，且，則的面積為（）A． B． C． D．【變式62】（20232024?高二上?天津?月考）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，其中，為原點(diǎn).橢圓上任意一點(diǎn)到，距離之和為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；(2)過(guò)點(diǎn)的斜率為2的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).求面積.【變式63】（20232024?高三下?天津?開(kāi)學(xué)測(cè)試）已知橢圓（1）求C的方程；（2）經(jīng)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)A且斜率為的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為H，過(guò)點(diǎn)E作OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直的直線交直線AH于點(diǎn)M，且△APM面積為，求k的值．【題型7橢圓中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題】【例7】（20232024?高二上?山東青島?期中）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)D．且,設(shè)直線QA，QD，QB的斜率分別為，，，若，證明：為定值．【變式71】（20232024?高二上?山東菏澤?月考）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足條件：直線與直線的斜率之積等于，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)（與不重合），直線與的交點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，求出這條定直線的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式72】（20232024?高二上?湖南衡陽(yáng)?期中）已知點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由.【變式73】（20232024?高二上?山東普高?步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一定點(diǎn)，記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過(guò)點(diǎn)（即折疊后圖中的點(diǎn)與點(diǎn)重合）；步驟3：把紙片展開(kāi)，并留下一道折痕，記折痕與的交點(diǎn)為；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來(lái)越多的折痕.現(xiàn)取半徑為4的圓形紙片，設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為，按上述方法折紙.以線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，線段所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）設(shè)軌跡與軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)，，點(diǎn)為軌跡上異于，，的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)交直線于點(diǎn)，連結(jié)交軌跡于點(diǎn).直線、的斜率分別為、.（i）求證：定值；（ii）證明直線經(jīng)過(guò)軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).【題型8橢圓中的最值問(wèn)題】【例8】（20232024?高二上?山東臨沂?期末）歐幾里德生活的時(shí)期，人們就發(fā)現(xiàn)橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過(guò)該橢圓的另一焦點(diǎn).現(xiàn)有橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，從的左焦點(diǎn)發(fā)出的一條光線，經(jīng)內(nèi)壁上一點(diǎn)反射后恰好與軸垂直，且.（1）求的方程;（2）設(shè)點(diǎn)，若斜率不為0的直線與交于點(diǎn)均異于點(diǎn)，且在以MN為直徑的圓上，求到距離的最大值.【變式81】（20232024?高二上?福建廈門(mén)?月考）已知橢圓E：（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.①證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.【變式82】（20232024?高二上?四川達(dá)州?期中）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）不過(guò)右焦點(diǎn)的直線與以短軸為直徑的圓相切，且與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與軸交點(diǎn)記為（?。┤簦C明：為定值；（ⅱ）若，求周長(zhǎng)的最大值.【變式83】（20232024?高二上?山東棗莊?期中）已知橢圓C：（）過(guò)點(diǎn)，，為橢圓的左右頂點(diǎn)，，為橢圓的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，P是橢圓C上不同于，的動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為，，滿足（1）求橢圓C的方程：（2）若點(diǎn)P是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線OP交橢圓C于另一點(diǎn)Q，求四邊形的面積的取值范圍．【題型9橢圓中的向量問(wèn)題】【例9】（20232024?高二上?山東濟(jì)南山師大附中?期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求的取值范圍.【變式91】（20232024?高二上?福建莆田?期中）己知橢圓離心率，設(shè)點(diǎn)（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線MN過(guò)點(diǎn)，且，線段MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的斜率的取值范圍．【變式92】（20232024?高二下?湖北咸寧?期末）已知，，為平面上的一個(gè)