浙江省天域全國名校協作體高三下學期二模數學試題

20232024學年第二學期天域全國名校協作體聯考高三年級數學學科試題命題學校：青島二中、合肥168中學、江蘇省天一中學審題學校：青島二中、合肥168中學、江蘇省天一中學考生須知：1.本卷共5頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則滿足集合的個數為（）A.4 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】根據包含關系，寫出所有滿足條件的集合A即可得解.【詳解】因為，所以可以是，共8個，故選：D2.拋物線的焦準距是（）A B. C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】根據拋物線標準方程求出即可得解.【詳解】化為標準方程為，所以，，即焦點與準線的距離為，故選：A3.在正三棱臺中，已知，，側棱的長為2，則此正三棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先計算出三棱臺的上下底面的面積，再根據底面邊長與側棱長求解三棱臺的高，進而計算出三棱臺的體積．【詳解】正三棱臺中，已知，，所以的面積為，的面積為，設，分別是，的中心，設，分別是，的中點，，，三點共線，，，三點共線，，，，，，過作，垂足為，則，，三棱臺的高為，三棱臺的體積為．故選：C．4.展開式的常數項為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】寫出二項展開式的通項公式，令的指數為0，得出常數項的項數，即可得常數項．【詳解】展開式的通項公式為，令，解得，所以常數項.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據余弦兩角和公式將展開成角與的兩角和形式與與的兩角和形式，建立等式關系結合已知等式即可得結論.【詳解】因為，又，所以，因為，則故選：B.6.為了解某中學學生假期中每天自主學習的時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，現抽取高一學生40人，其每天學習時間均值為8小時，方差為0.5，抽取高二學生60人，其每天學習時間均值為9小時，方差為0.8，抽取高三學生100人，其每天學習時間均值為10小時，方差為1，則估計該校學生每天學習時間的方差為（）A.1.4 B.1.45 C.1.5 D.1.55【答案】B【解析】【分析】利用分層隨機抽樣的均值與方差公式即可解決.【詳解】由題意可得，該校學生每天學習時間的均值為，該校學生每天學習時間的方差為.故選：B7.已知函數滿足對任意的且都有，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據將，再用裂項相消法求的值.【詳解】∵函數滿足對任意的且都有∴令，則，∴∴.故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查數列的求和問題，關鍵是理解數列的規(guī)律，即研究透通項，本題的關鍵是將通項分析為：8.古人把正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函數這八種三角函數的函數線合稱為八線.其中余切函數，正割函數，余割函數，正矢函數，余矢函數.如圖角始邊為軸的非負半軸，其終邊與單位圓交點，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點，過點作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點作軸的垂線，過點作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用單位圓以及三角函數的定義可知，，，然后結合新定義簡單計算可判斷各個選項.【詳解】根據題意，易得，對于A，因為，即，故A錯誤；對于B，根據三角函數定義結合相似三角形相似比可得，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，根據三角函數定義結合相似三角形相似比可得，故D錯誤.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題屬于新定義題，解題關鍵是讀懂題意，根據新定義，利用三角函數定義結合相似三角形相似比求解，注意有向線段.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.正方體中，，分別為棱和的中點，則下列說法正確的是（）A.平面B.平面C.異面直線與所成角為60°D.平面截正方體所得截面為等腰梯形【答案】ACD【解析】【分析】于A，連接，利用三角形中位線證得，結合線面平行判定定理即可判斷A；對于B，取中點，連接，設正方體棱長為，根據線段長度結合勾股定理判斷與是否垂直，即判斷與是否垂直，從而可判斷B；對于C，連接，根據正方體的面對角線性質，即可得異面直線與所成角的大小，從而判斷C；對于D，連接，確定截面完整圖形為四邊形，再計算其四邊長度與位置關系，即可判斷D.【詳解】對于A，如圖，連接，因為，分別為棱和的中點，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，如圖，取中點，連接，在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又分別為，中點，則，故，設正方體棱長為，則，故，所以不垂直于，故不垂直于，又平面，所以不垂直平面，故B錯誤；對于C，如圖，連接，在正方體中，，即為正三角形，又因為，分別為棱和的中點，所以，故異面直線與所成角即為，故C正確；對于D，如圖，連接，在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，又，所以，所以四點共面，故平面截正方體所得截面為四邊形，設正方體棱長為，則，所以，又，故截面為四邊形為等腰梯形，故D正確.故選：ACD.10.已知正實數，，，且，，，為自然數，則滿足恒成立的，，可以是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到，進而得到只需即可，再依次判斷四個選項即可.【詳解】要滿足，只需滿足，其中正實數，，，且，，，為正數，，當且僅當，即時，等號成立，觀察各選項，故只需，故只需即可，A選項，，，時，，A錯誤；B選項，，，時，，B正確；C選項，，，時，，C正確；D選項，，，時，，D錯誤.故選：BC.11.已知橢圓左右兩個焦點分別為和，動直線經過橢圓左焦點與橢圓交于兩點，且恒成立，下列說法正確的是（）A. B.C.離心率 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據橢圓定義利用通徑長可求得，由橢圓性質可得，且離心率，聯立直線和橢圓方程可知當，方程無解，因此D錯誤.【詳解】如下圖所示：易知，由橢圓定義可知，因為恒成立，所以，當軸，即為通徑時，最小，所以，解得，所以A正確；當為長軸時，最大，此時，所以，即B正確；可得橢圓方程為，易知，所以離心率，即C錯誤；因為，可設直線的方程為，，聯立，整理可得，因此；若，可得，即，所以；整理得，此時方程無解，因此D錯誤.故選：AB非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復數與在復平面內用向量和表示（其中是虛數單位，為坐標原點），則與夾角為__________.【答案】45°（或）【解析】【分析】根據復數的幾何意義、向量夾角公式運算得解.【詳解】根據題意，，，，又，所以向量與的夾角為.故答案為：（或）.13.將函數的圖象上的每個點橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的2倍，再將所得圖象向右平移得到函數的圖象，若函數與函數圖象交于點，其中，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】先利用伸縮變換和平移變換得到，再根據題意，由求解.【詳解】解：由題意得：，因為函數與函數圖象交于點，所以，即，整理得，因為，所以，又因為，所以，故答案為：14.如圖為世界名畫《星月夜》，在這幅畫中，文森特·梵高用夸張的手法，生動地描繪了充滿運動和變化的星空.假設月亮可看作半徑為1的圓的一段圓弧，且弧所對的圓心角為.設圓的圓心在點與弧中點的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點滿足過這四點作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為__________.（參考數據：）【答案】【解析】【分析】設弧的中點為，根據圓與圓相離，確定兩圓的外公切線與內公切線，確定圓的位置，分析可得弧上的點與圓上的點的最短距離.【詳解】如圖，設弧的中點為，弧所對的圓心角為，圓的半徑，在弧上取兩點，則，分別過點作圓的切線，并交直線于點，當過點的切線剛好是圓與圓的外公切線時，劣弧上一定還存在點，使過點的切線為兩圓的內公切線，則圓的圓心只能在線段上，且不包括端點，過點，分別向作垂線，垂足為，則即為圓的半徑，設線段交圓于點，則弧上的點與圓上的點的最短距離即為線段的長度.在中，，則，即弧上的點與圓上的點的最短距離的取值范圍為.故答案為：.【點睛】結論點睛：本題考查了根據兩圓位置關系求距離的范圍的問題.可按如下結論求解：相離的兩個圓（圓心分別為和,半徑分別為和）上的兩個動點之間的距離的最小值是兩圓心之間的距離減去兩圓的半徑，最大值是兩圓心之間的距離加上兩圓的半徑，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，已知多面體均垂直于平面．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：通過計算，根據勾股定理得,再根據線面垂直判定定理得結論；（Ⅱ）方法一：找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【詳解】（Ⅰ）［方法一］：幾何法由得，所以，即有.由，得，由得，由，得，所以，即有，又，因此平面.［方法二］：向量法如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz.由題意知各點坐標如下：因此,由得；由得，所以平面.（Ⅱ）［方法一］：定義法如圖，過點作，交直線于點，連結.由平面得平面平面，由得平面，所以是與平面所成的角.由得，所以，故.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.［方法二］：向量法設直線與平面所成的角為.由(I)可知,設平面的法向量.由即，可取，所以.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.［方法三］：【最優(yōu)解】定義法+等積法設直線與平面所成角為，點到平面距離為d（下同）．因為平面，所以點C到平面的距離等于點到平面的距離．由條件易得，點C到平面的距離等于點C到直線的距離，而點C到直線的距離為，所以．故．［方法四］：定義法+等積法設直線與平面所成的角為，由條件易得，所以，因此．于是得，易得．由得，解得．故．［方法五］：三正弦定理的應用設直線與平面所成的角為，易知二面角的平面角為，易得，所以由三正弦定理得．［方法六］：三余弦定理的應用設直線與平面所成的角為，如圖2，過點C作，垂足為G，易得平面，所以可看作平面的一個法向量．結合三余弦定理得．［方法七］：轉化法＋定義法如圖3，延長線段至E，使得．聯結，易得，所以與平面所成角等于直線與平面所成角．過點C作，垂足為G，聯結，易得平面，因此為在平面上的射影，所以為直線與平面所成的角．易得，，因此．［方法八］：定義法＋等積法如圖4，延長交于點E，易知，又，所以，故面．設點到平面的距離為h，由得，解得．又，設直線與平面所成角為，所以．【整體點評】（Ⅰ）方法一：通過線面垂直的判定定理證出，是該題的通性通法；方法二：通過建系，根據數量積為零，證出；（Ⅱ）方法一：根據線面角的定義以及幾何法求線面角的步驟，“一作二證三計算”解出；方法二：根據線面角的向量公式求出；方法三：根據線面角的定義以及計算公式，由等積法求出點面距，即可求出，該法是本題的最優(yōu)解；方法四：基本解題思想同方法三，只是求點面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；方法七：通過直線平移，利用等價轉化思想和線面角的定義解出；方法八：通過等價轉化以及線面角的定義，計算公式，由等積法求出點面距，即求出．16.歐拉函數的函數值等于所有不超過正整數且與互素的正整數的個數，例如：，，，數列滿足.（1）求，，，并求數列的通項公式；（2）記，求數列的前和.【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）根據題意理解可求，，，結合與互素的個數可求數列的通項公式；（2）求出數列的通項公式，利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】由題意可知，，，由題意可知，正偶數與不互素，所有正奇數與互素，比小的正奇數有個，所以；【小問2詳解】由（1）知，所以，所以，，所以，①，②所以①－②得，所以.17.已知雙曲線左右焦點分別為，，點在雙曲線上，且點到雙曲線兩條漸近線的距離乘積為，過分別作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，已知與雙曲線左支交于，兩點，與左右兩支分別交于，兩點.（1）求雙曲線的方程；（2）若線段，的中點分別為，，求證：直線恒過定點，并求出該定點坐標.【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）根據題意，列出方程組求出得解；（2）設直線的方程為，可得的方程，分別與雙曲線方程聯立，結合韋達定理求出點的坐標，表示直線的方程，令求得是定值.【小問1詳解】設雙曲線的兩漸近線方程分別為，，點到雙曲線兩漸近線的距離乘積為，由題意可得：，解得，，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】設直線的方程為，由，互相垂直得的方程，聯立方程得，消得，成立，所以，，所以點坐標為，聯立方程得，所以，，所以點坐標為，根據對稱性判斷知定點在軸上，直線的方程為，則當時，，所以直線恒過定點，定點坐標為.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是采用設線法再聯立雙曲線方程從而解出點的坐標，再得到直線的方程，最后令即可得到其定點坐標.18.定義，已知函數，其中.（1）當時，求過原點的切線方程；（2）若函數只有一個零點，求實數的取值范圍.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）當時，求出，利用導數的幾何意義得出切線斜率，即可求切線方程；（2）對分類討論，根據函數只有一個零點，結合函數的單調性分別分析求出的取值范圍.【小問1詳解】由題意知定義域，當時，，令，，在單調遞增，單調遞減，且，令，則在單調遞增，而，又，，而，所以當時，，當時，，所以當時，，當時，，所以，所以在和單調遞增，在單調遞減.（?。┊敃r，，設切點，則此切線方程為，又此切線過原點，所以，解得，即此時切線方程是；（ⅱ）當時，，所以，設切點為，此時切線方程，又此切線過原點，所以，解得，所以此時切線方程，綜上所述，所求切線方程是：或；【小問2詳解】（?。┊敃r，由（1）知，在和單調遞增，單調遞減，且，，，此時有兩個零點；（ⅱ）當時，當時，，由（1）知：在遞增，遞減，且，所以時，，而，所以在只有一個零點，沒有零點；（ⅲ）當時，，此時得，由（1）知，當時，只有一個零點，要保證只有一個零點，只需要當時，沒有零點，，得；（ⅳ）當時，當時，，此時只有一個零點，綜上，只有一個零點時，或.【點睛】關鍵點點睛：通過對的分類討論，得出解析式，再由函數的單調性，結合函數只有一個零點，分別分析或列出不等式求的范圍，解題過程較繁瑣.19.甲、乙兩人進行知識問答比賽，共有道搶答題，甲、乙搶題的成功率相同.假設每題甲乙答題正確的概率分別為和，各題答題相互獨立.規(guī)則為：初始