專題31幾何綜合壓軸題（共23道）（學(xué)生版）（02期）-2023年中考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練

專題31幾何綜合壓軸題(23道)一、解答題1．(2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題)如圖1，小麗借助幾何軟件進行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫出矩形和矩形，點、在邊上()，且點、、、在直線的同側(cè)；第二步，設(shè)置，矩形能在邊上左右滑動；第三步，畫出邊的中點，射線與射線相交于點(點、不重合)，射線與射線相交于點(點、不重合)，觀測、的長度．(1)如圖，小麗取，滑動矩形，當(dāng)點、重合時，______；(2)小麗滑動矩形，使得恰為邊的中點．她發(fā)現(xiàn)對于任意的總成立．請說明理由；(3)經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定、的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請說明理由．2．(2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形是正方形，點M在上，點N在的延長線上，，連接，，點H在的延長線上，，點E在線段上，且，將線段繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，使得，交于點F．(1)線段與線段的關(guān)系是______．(2)若，，求的長．(3)求證：．3．(2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題)如圖，在中，，，點D是射線上的動點(不與點B，C重合)，連接，過點D在左側(cè)作，使，連接，點F，G分別是，的中點，連接，，．

(1)如圖1，點D在線段上，且點D不是的中點，當(dāng)，時，與的位置關(guān)系是________，________．(2)如圖2，點D在線段上，當(dāng)，時，求證：．(3)當(dāng)，時，直線與直線交于點N．若，，請直接寫出線段的長．4．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題)如圖，在中，，，點D在邊上，將線段繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點E，作于點F，與線段交于點G，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)若，，當(dāng)平分四邊形的面積時，求的長．5．(2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題)在矩形中，，，點在邊上，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交延長線于點，以線段，為鄰邊作矩形．

(1)如圖1，連接，求的度數(shù)和的值；(2)如圖2，當(dāng)點在射線上時，求線段的長；(3)如圖3，當(dāng)時，在平面內(nèi)有一動點，滿足，連接，，求的最小值．6．(2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形是一張紙，其中，小天用該紙玩折紙游戲．游戲1

折出對角線，將點B翻折到上的點E處，折痕交于點G．展開后得到圖①，發(fā)現(xiàn)點F恰為的中點．游戲2

在游戲1的基礎(chǔ)上，將點C翻折到上，折痕為；展開后將點B沿過點F的直線翻折到上的點H處；再展開并連接后得到圖②，發(fā)現(xiàn)是一個特定的角．(1)請你證明游戲1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；(2)請你猜想游戲2中的度數(shù)，并說明理由．7．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題)鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星．為了增強學(xué)生的國家榮譽感、民族自豪感等．?dāng)?shù)學(xué)老師組織學(xué)生對五角星進行了較深入的研究．延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標(biāo)準(zhǔn)五角星．如圖，正五邊形的邊的延長線相交于點F，的平分線交于點M．

(1)求證：．(2)若，求的長．(3)求的值．8．(2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題)如圖，在紙片中，，，，點為邊上的一點(點不與點重合)，連接，將紙片沿所在直線折疊，點，的對應(yīng)點分別為、，射線與射線交于點．(1)求證：；(2)如圖，當(dāng)時，的長為______；(3)如圖，當(dāng)時，過點作，垂足為點，延長交于點，連接、，求的面積．9．(2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題)綜合與實踐問題背景數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國旗上五角星的五個角都是頂角為的等腰三角形，對此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開探究．

探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在中，，．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊落在邊上，點的對應(yīng)點是點，折痕交于點，連接，，則_______，設(shè)，，那么______(用含的式子表示)；(2)進一步探究發(fā)現(xiàn)：，這個比值被稱為黃金比．在(1)的條件下試證明：；拓展應(yīng)用：當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的是黃金三角形．如圖2，在菱形中，，．求這個菱形較長對角線的長．

10．(2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題)如圖，、是兩個等腰直角三角形，．

(1)當(dāng)時，求；(2)求證：；(3)求證：．11．(2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題)中，，垂足為E，連接，將繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．

(1)當(dāng)點E在線段上，時，如圖①，求證：；(2)當(dāng)點E在線段延長線上，時，如圖②：當(dāng)點E在線段延長線上，時，如圖③，請猜想并直接寫出線段AE，EC，BF的數(shù)量關(guān)系；(3)在(1)、(2)的條件下，若，，則_______．12．(2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題)在中，，點E在上，點G在上，點F在的延長線上，連接．，．

(1)如圖1，當(dāng)時，請用等式表示線段與線段的數(shù)量關(guān)系______；(2)如圖2，當(dāng)時，寫出線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在(2)的條件下，當(dāng)點G是的中點時，連接，求的值．13．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題)【閱讀理解】如圖1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形為平行四邊形，若，則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知為的一條中線，．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形中，若，點P在邊上，則的最小值為_______．

14．(2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題)在中，，，點為的中點，點在直線上(不與點重合)，連接，線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過點作直線，過點作，垂足為點，直線交直線于點．(1)如圖，當(dāng)點與點重合時，請直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點在線段上時，求證：；(3)連接，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時，請直接寫出的值．15．(2023·貴州·統(tǒng)考中考真題)如圖①，小紅在學(xué)習(xí)了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進行了探究，在等腰直角三角形中，，過點作射線，垂足為，點在上．

(1)【動手操作】如圖②，若點在線段上，畫出射線，并將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與交于點，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，圖中的度數(shù)為_______度；(2)【問題探究】根據(jù)(1)所畫圖形，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延伸】如圖③，若點在射線上移動，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與交于點，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．16．(2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題)如圖①．在矩形．，點在邊上，且．動點從點出發(fā)，沿折線以每秒個單位長度的速度運動，作，交邊或邊于點，連續(xù)．當(dāng)點與點重合時，點停止運動．設(shè)點的運動時間為秒．()

(1)當(dāng)點和點重合時，線段的長為__________；(2)當(dāng)點和點重合時，求；(3)當(dāng)點在邊上運動時，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請說明理由；(4)作點關(guān)于直線的對稱點，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對稱四邊形時，直接寫出的取值范圍．17．(2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題)綜合與實踐【思考嘗試】(1)數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點，于點F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【實踐探究】(2)小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點，于點F，于點H，交于點G，可以用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題；【拓展遷移】(3)小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3，在正方形中，E是邊上一點，于點H，點M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題．

18．(2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題)(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察．如圖，在四邊形中，，是對角線的中點，是的中點，是的中點，求證：．(2)用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖，延長圖中的線段交的延長線于點，延長線段交的延長線于點，求證：．(3)用數(shù)學(xué)的語言表達．如圖，在中，，點在上，，是的中點，是的中點，連接并延長，與的延長線交于點，連接，若，試判斷的形狀，并進行證明．19．(2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題)如圖，在菱形中，對角線相交于點，點分別是邊，線段上的點，連接與相交于點．

(1)如圖1，連接．當(dāng)時，試判斷點是否在線段的垂直平分線上，并說明理由；(2)如圖2，若，且，①求證：；②當(dāng)時，設(shè)，求的長(用含的代數(shù)式表示)．20．(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題)問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后，進一步進行以下探究活動：在正方形的邊上任意取一點G，以為邊長向外作正方形，將正方形繞點B順時針旋轉(zhuǎn)．

特例感知：(1)當(dāng)在上時，連接相交于點P，小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為的中點，如圖①．針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請給出證明；(2)小紅繼續(xù)連接，并延長與相交，發(fā)現(xiàn)交點恰好也是中點P，如圖②，根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，請判斷的形狀，并說明理由；規(guī)律探究：(3)如圖③，將正方形繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，連接，點P是中點，連接，，，的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．二、填空題21．(2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題)如圖，在正方形中，E在邊上，交對角線于點F，于M，的平分線所在直線分別交，于點N，P，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④若，，則，其中正確的是．

22．(2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形中，，點P在對角線上，過點P作，交邊于點M，N，過點M作交于點E，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形的面積不變；③當(dāng)時，；④的最小值是20．其中所