專題07有理數(shù)的乘除（4大考點(diǎn)8種題型）

專題07有理數(shù)的乘除（4大考點(diǎn)+8種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)與題型分類聚焦考點(diǎn)一：兩數(shù)相乘的符號(hào)法則考點(diǎn)二：有理數(shù)乘法法則考點(diǎn)三：有理數(shù)相乘的符號(hào)法則考點(diǎn)四：有理數(shù)除法法則題型一：兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算題型二：多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算題型三：有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用題型四：有理數(shù)乘法運(yùn)算律題型五：倒數(shù)題型六：有理數(shù)的除法運(yùn)算題型七：有理數(shù)除法的應(yīng)用題型八：有理數(shù)乘除混合運(yùn)算考點(diǎn)一：兩數(shù)相乘的符號(hào)法則正乘正得正，正乘負(fù)得負(fù)，負(fù)乘正得負(fù)，負(fù)乘負(fù)得正．（同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)）考點(diǎn)二：有理數(shù)乘法法則兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．任何數(shù)與零相乘，都得零．考點(diǎn)三：有理數(shù)相乘的符號(hào)法則幾個(gè)不等于零的因數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定：當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．考點(diǎn)四：有理數(shù)除法法則（1）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；（2）零除以任何一個(gè)不為零的數(shù)，都得零．（3）甲數(shù)除以乙數(shù)（零除外）等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)，即（）．題型一：兩個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算【例1】．（2023下·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)乘法，應(yīng)用有理數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：．故答案為：．【變式1】．（2023下·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】10【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后，利用有理數(shù)的乘法法則運(yùn)算即可，利用有理數(shù)的乘法法則首先確定積的符號(hào)，這是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：10．【變式2】．（2021下·上海徐匯·六年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谥校敬鸢浮?【詳解】．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則．【變式3】．（2023下·上海松江·六年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，再把絕對(duì)值相乘即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的乘法運(yùn)算，熟記有理數(shù)的乘法的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．題型二：多個(gè)有理數(shù)的乘法運(yùn)算【例2】．（2021下·上海松江·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）絕對(duì)值小于的所有有理數(shù)的積是．【答案】0【分析】先判斷絕對(duì)值小于的有理數(shù)中有0，而0乘任何數(shù)都是0，即可得出答案．【詳解】解：因?yàn)榻^對(duì)值小于的有理數(shù)中有0，而0乘任何數(shù)都是0，所以絕對(duì)值小于的所有有理數(shù)的積是0；故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義和有理數(shù)的乘法，得出絕對(duì)值小于的有理數(shù)中有0是關(guān)鍵．【變式1】．（2023上·云南·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）．（2）．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，正確掌握有理數(shù)乘法的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）．【答案】【分析】根據(jù)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，可得積的符號(hào)，根據(jù)分子乘分子，分母乘分母，可得答案．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，先確定符號(hào)，再進(jìn)行絕對(duì)值得運(yùn)算，注意乘法運(yùn)算時(shí)帶分?jǐn)?shù)線化成假分?jǐn)?shù)．【變式3】．（2023上·河南開封·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，小明有5張卡片，上面分別寫著不同的數(shù)．他想從中取出3張卡片，使這3張卡片上的數(shù)字乘積最大，應(yīng)如何抽??？最大值是多少？【答案】，，，最大值為140【分析】5張卡片上的數(shù)字有兩張是負(fù)數(shù)，3張是正數(shù)，要使3張卡片上的數(shù)字乘積最大，則應(yīng)抽取3張正數(shù)或兩負(fù)一正．若是3張正數(shù)，則應(yīng)抽取1、、，若是兩負(fù)一正，則應(yīng)抽取、，．分別計(jì)算出結(jié)果，比較大小即可知乘積的最大值．【詳解】解：觀察這5張卡片上的數(shù)，當(dāng)抽取的3張卡片上的數(shù)字是1，，時(shí)，乘積為，當(dāng)抽取的3張卡片上的數(shù)字是，，時(shí)，乘積為，則最大值為140．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法及比較有理數(shù)的大小，熟練掌握有理數(shù)乘法法則是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2023上·河北滄州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）嘉嘉玩一個(gè)摸球游戲，在一個(gè)密閉的容器中放入五個(gè)小球小球分別標(biāo)有如下數(shù)字，現(xiàn)從容器中摸取四個(gè)小球，然后把摸到的球上的數(shù)字進(jìn)行加、減、乘中的某一種運(yùn)算．

(1)若取出的四個(gè)小球上分別標(biāo)有，，，，求：；(2)若這四個(gè)數(shù)字的積不為0，求這四個(gè)數(shù)的積；(3)若這四個(gè)數(shù)字的和最大，求沒有取出的小球上標(biāo)的數(shù)字．【答案】(1)13(2)288(3)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）由這四個(gè)數(shù)字的積不為0，則不含有0這個(gè)球，然后求積即可；（3）因?yàn)楹妥畲?，則沒有摸到數(shù)最小的球，確定最小的數(shù)即可解答．【詳解】（1）解：．（2）解：∵這四個(gè)數(shù)字的積不為0，∴這四個(gè)數(shù)為：，∴這四個(gè)數(shù)的積為．（3）解：∵這四個(gè)數(shù)字的和最大，∴沒有摸到數(shù)最小的球，∴沒有取出的小球上標(biāo)的數(shù)字是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加減運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算、有理數(shù)加法運(yùn)算、有理數(shù)大小比較等知識(shí)點(diǎn)，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．題型三：有理數(shù)乘法的實(shí)際應(yīng)用【例3】．（2023上·山東淄博·六年級(jí)統(tǒng)考期中）某校食堂買了5袋白菜，以每袋千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，稱重后的記錄分別為（單位：千克），，，，請(qǐng)大家快速準(zhǔn)確地算出5袋白菜的總質(zhì)量是（

）A．千克 B．2千克 C．千克 D．千克【答案】C【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”具有相反意義的量．根據(jù)題意列出算式解答即可．【詳解】解：5袋白菜的總質(zhì)量為（千克），故選：C．【變式1】．（2023上·江蘇蘇州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小明同學(xué)有5張寫著不同數(shù)字的卡片：、、0、、，他從中任取三張卡片，計(jì)算卡片上數(shù)字的乘積，其中最小的乘積是．【答案】【分析】此題考查了有理數(shù)的乘法，分析幾個(gè)數(shù)可知要使抽取的數(shù)字乘積最小，需同時(shí)抽兩個(gè)最大正數(shù)，即可使乘積最?。忸}的關(guān)鍵是要知道幾個(gè)有理數(shù)相乘，結(jié)果的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，絕對(duì)值大的負(fù)數(shù)就小．【詳解】解：抽取5和4、，最小的乘積是．故答案為：．【變式2】．（2023上·湖北省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)天門市九真中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在抗洪搶險(xiǎn)中，解放軍戰(zhàn)士的沖鋒舟加滿油，沿東西方向的河流搶救災(zāi)民，早晨從A地出發(fā)，晚上到達(dá)B地，約定向東為正方向，當(dāng)天的航行路程記錄如下（單位：千米）：14，，，，13，，，．(1)請(qǐng)你幫忙確定B地位于A地的什么方向，距離A地多少千米？(2)救災(zāi)過程中，沖鋒舟離出發(fā)點(diǎn)A最遠(yuǎn)處有多遠(yuǎn)？(3)若沖鋒舟每千米耗油0.5升，油箱容量為28升，求沖鋒舟當(dāng)天救災(zāi)過程中至少還需補(bǔ)充多少升油？【答案】(1)東邊20千米(2)最遠(yuǎn)處離出發(fā)點(diǎn)25千米(3)還需補(bǔ)充的油量為9升【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用．（1）將所有數(shù)據(jù)相加，根據(jù)和的情況進(jìn)行判斷即可；（2）求出每一次距離地的距離，進(jìn)行判斷即可；（3）將所有數(shù)據(jù)的絕對(duì)值相加，乘以油耗減去現(xiàn)有油量，即可．讀懂題意，正確的列出算式，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴B地在A地的東邊20千米；（2）∵路程記錄中各點(diǎn)離出發(fā)點(diǎn)的距離分別為：14千米；千米；千米；千米；千米；千米；千米；千米．∴最遠(yuǎn)處離出發(fā)點(diǎn)25千米；（3）這一天走的總路程為：千米，應(yīng)耗油（升），故還需補(bǔ)充的油量為：（升）．【變式3】．（2023上·廣西河池·七年級(jí)統(tǒng)考期末）外賣送餐為我們生活帶來了許多便利，某學(xué)習(xí)小組調(diào)查了一名外賣小哥一周的送餐情況，規(guī)定每天送餐量超過50單（送一次外賣稱為一單）的部分記為“”，低于50單的部分記為“”，下表是該外賣小哥一周的送餐量：星期一二三四五六日送餐量（單位：?jiǎn)危?1)該外賣小哥這一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少單?(2)求該外賣小哥這一周一共送餐多少單?(3)若每送一單能獲得4.2元的酬勞，請(qǐng)計(jì)算外賣小哥這一周的收入．【答案】(1)該外賣小哥這一周送餐量最多的一天比最少的一天多單；(2)該外賣小哥這一周一共送餐單；(3)外賣小哥這一周的收入為元．【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，理清題意，正確列出算式是解題的關(guān)鍵．（1）分別找出送餐最多和最少的一天，再利用減法計(jì)算；（2）用每天單的標(biāo)準(zhǔn)總和，加上每天的出入量即可；（3）一單能獲得元的酬勞一周共送餐單數(shù)即可求解；【詳解】（1）解：（單），

答：該外賣小哥這一周送餐量最多的一天比最少的一天多單；（2），

，（單），答：該外賣小哥這一周一共送餐單；（3）由（）可知，他一周共送外賣單，所以（元），答：外賣小哥這一周的收入為元．【變式4】．（2023上·江蘇無錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）出租車司機(jī)李師傅國慶節(jié)第一天下午的營運(yùn)是在一條南北走向的公路上進(jìn)行的，如果向南記作“”，向北記作“”，他這天下午行車情況如下：（單位：千米，每次行車都有乘客），，，，，，，．(1)將最后一名乘客送到目的地時(shí)，他在出發(fā)地什么方向？距下午出發(fā)地多遠(yuǎn)？(2)若規(guī)定每趟車的起步價(jià)是10元，且每趟車行駛的路程在3千米以內(nèi)（含3千米）只收起步價(jià)；若超過3千米，除收起步價(jià)外，超過的每千米還需收2元錢，那么李師傅這天下午收到乘客所給車費(fèi)共多少元？(3)若李師傅的出租車儀表盤上顯示的百公里耗油為8升（汽車每行駛耗油8升），每升汽油8元，不計(jì)汽車的損耗，那么李師傅這天下午是盈利了還是虧損了？盈利（或虧損）多少錢？【答案】(1)在出發(fā)地南邊，距下午出發(fā)地千米(2)下午收到乘客所給車費(fèi)共元(3)李師傅這天下午盈利，盈利元【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的運(yùn)用、有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，理解正負(fù)數(shù)的意義，認(rèn)真審題明確何時(shí)符號(hào)有關(guān)系，何時(shí)與絕對(duì)值有關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意計(jì)算行車情況的和，再進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)題意求出每一乘客所付費(fèi)用，再求和即可；（3）算出總里程及所耗油的費(fèi)用，與收入進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：（千米），答：他在出發(fā)地南邊，距下午出發(fā)地千米；（2）解：（元）．答：李師傅這天下午收到乘客所給車費(fèi)共元；（3）（元），（元）．答：李師傅這天下午盈利，盈利元．題型四：有理數(shù)乘法運(yùn)算律【例4】．（2024上·吉林四平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：．【變式1】．（2023下·上海靜安·六年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校敬鸢浮俊痉治觥磕嬗贸朔ǚ峙渎蛇M(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握和運(yùn)用運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·上海浦東新·六年級(jí)上海市民辦新竹園中學(xué)校考期中）【答案】【分析】把變成，然后利用有理數(shù)乘法的分配律進(jìn)行求解即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘法分配律，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2021下·上海普陀·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：．【答案】254【分析】逆用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則以及乘法分配律是解題的關(guān)鍵．【變式4】．（2021下·上海虹口·六年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】原式，先進(jìn)行乘法，然后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．【變式5】．（2023下·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．利用乘法分配律的逆運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：．【變式6】．（2023上·廣西南寧·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察應(yīng)用：利用運(yùn)算律可以進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算【例1】；【例2】．參考上面例題，用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算律：（1）將99化為，再利用運(yùn)算律即可求解；（2）先提取99，再利用運(yùn)算律得，再將99化為，再利用運(yùn)算律即可求解；熟練掌握相關(guān)運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：．（2）．【變式7】．（2023上·廣西南寧·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）學(xué)習(xí)有理數(shù)乘法后，老師讓同學(xué)們計(jì)算：，看誰算得又快又對(duì)，有兩位同學(xué)的解法如下：小麗：原式；小軍：原式．小晨經(jīng)過思考后也給出了他的解法：原式①②③．(1)請(qǐng)補(bǔ)全小晨的解題過程：①__________

②__________

③__________．(2)用你認(rèn)為最合適的方法計(jì)算：．【答案】(1)，，(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，注意利用乘法分配律的使用．（1）把分解成，再利用乘法分配律計(jì)算即可求解；（2）把分解成，再利用乘法分配律計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：；故答案為：，，；（2）解：題型五：倒數(shù)【例5】．（2021下·上海閔行·六年級(jí)校考期中）的倒數(shù)是【答案】【分析】先把化成分?jǐn)?shù)，再根據(jù)求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)就是把分子分母互換位置進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴的倒數(shù)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求倒數(shù)的求法，先把小數(shù)準(zhǔn)確化成分?jǐn)?shù)是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2021下·上?！ち昙?jí)校考階段練習(xí)）倒數(shù)的絕對(duì)值是．【答案】【分析】根據(jù)倒數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)求解即可．【詳解】的倒數(shù)為，∴的倒數(shù)的絕對(duì)值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了倒數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握倒數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)．【變式2】．（2021下·上海閔行·六年級(jí)統(tǒng)考期中）如果與互為倒數(shù)，那么．【答案】【分析】乘積為的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得，解得：；故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)的定義，理解倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．題型六：有理數(shù)的除法運(yùn)算【例6】．（2021下·上海徐匯·六年級(jí)上海市西南模范中學(xué)?？计谥校敬鸢浮?【分析】把除法化為乘法運(yùn)算，再確定積的符號(hào)，約分后可得結(jié)果．【詳解】解：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是分?jǐn)?shù)的除法運(yùn)算,有理數(shù)的除法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·上海寶山·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】/【分析】計(jì)算出的結(jié)果即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)除法計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023上·江蘇鹽城·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀以下材料，完成相關(guān)的填空和計(jì)算．(1)根據(jù)倒數(shù)的定義我們知道，若，則______．(2)計(jì)算．(3)根據(jù)以上信息可知：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了有理數(shù)的除法以及倒數(shù)的定義，如圖兩個(gè)數(shù)乘積為1，那么這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)．（1）根據(jù)倒數(shù)的定義可得出答案；（2）將除法變?yōu)槌朔?，利用乘法的分配律進(jìn)行計(jì)算即可；（3）再由倒數(shù)的定義直接得出答案即可．【詳解】（1）解；∵，∴，故答案為：；（2）解：；（3）解：∵∴【變式3】．（2022下·上海普陀·六年級(jí)校考期中）計(jì)算：．【答案】15【分析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．【變式4】．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）校聯(lián)考期中）在學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值過程中，化簡(jiǎn)時(shí)，可以這樣分類：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．請(qǐng)用這種方法解決下列問題．(1)當(dāng)時(shí)，則______；當(dāng)時(shí)，則______．(2)已知，是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，試求的值．(3)已知，，是非零有理數(shù)，滿足且，求的值．【答案】(1)；(2)或(3)【分析】此題主要考查了絕對(duì)值的意義和有理數(shù)的混合運(yùn)算，（1）直接將，代入求出答案；（2）分別利用，或，分析得出答案；（3）根據(jù)題意得出，，中有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)，設(shè)，，代入即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則故答案為：；（2）解：當(dāng)時(shí)，則，同號(hào)①當(dāng)，時(shí)，②當(dāng)，時(shí)，（3）解：由，得，，且，，中有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)不妨設(shè)，，則原式題型七：有理數(shù)除法的應(yīng)用【例7】．（2023上·四川成都·七年級(jí)?？计谥校┬埖谝淮斡?80元購買了8套兒童服裝，以一定價(jià)格出售．如果以每套兒童服裝80元的價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn)，超出的記作正數(shù)，不足的記作負(fù)數(shù)，記錄如下（單位：元）：，，，，，，0，．請(qǐng)通過計(jì)算說明：(1)小張賣完這八套兒童服裝共賣了多少錢？(2)這八套兒童服裝平均每套盈利了多少元？【答案】(1)共賣了元(2)這八套服裝平均每套盈利了18元【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是列出算式，熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)題意列出算式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)利潤(rùn)等于售價(jià)減進(jìn)價(jià)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：（元）．（2）解：法一：（元）；法二：（元）法三：（元）答：這八套服裝平均每套盈利了18元．【變式1】．（2023上·山東菏澤·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）汽車廠抽檢一批標(biāo)準(zhǔn)尺寸為的零件，要求誤差不大于．現(xiàn)抽取8個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)數(shù)據(jù)如下：．(1)這里的正負(fù)表示什么？(2)估計(jì)產(chǎn)品合格率為多少？(3)你從這些數(shù)據(jù)中能得到什么信息？【答案】(1)正數(shù)表示比標(biāo)準(zhǔn)尺寸大，負(fù)數(shù)表示比標(biāo)準(zhǔn)尺寸小(2)(3)零件合格率較低【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用：（1）根據(jù)相反意義的量即可求解；（2）共抽檢8個(gè)零件，其中有6個(gè)合格零件，利用合格率計(jì)算公式即可求解；（3）根據(jù)（2）中合格率即可求解；熟練掌握相反意義的量是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：依題意得：正數(shù)表示比標(biāo)準(zhǔn)尺寸大，負(fù)數(shù)表示比標(biāo)準(zhǔn)尺寸?。?）共抽檢8個(gè)零件，其中有6個(gè)合格零件．合格率為：．（3）零件合格率較低．【變式2】．（2023上·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）氣象統(tǒng)計(jì)資料表明：高山上的溫度每升高100米，平均氣溫下降．已知山腳的溫度是．(1)若這座山的高度是2千米，求山頂?shù)臏囟龋?2)小明在上山過程中看到溫度計(jì)上的讀數(shù)是，此時(shí)他距山腳有多高？【答案】(1)(2)米【分析】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)及有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用．（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．結(jié)合已知條件列得正確的算式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，即山頂?shù)臏囟葹?；?）（米），即他距山腳1500米．題型八：有理數(shù)乘除混合運(yùn)算【例8】．（2021下·上?！ち昙?jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算求解即可．【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則．【變式1】．（2023下·上海·六年級(jí)上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤魏我粋€(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：（p，q是正整數(shù)，且），如果在n的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱是n的最佳分解，并規(guī)定，例如：18可以分解成，這時(shí)就有，綜合以上信息，給出下列關(guān)于的說法：①；②；③；④若n是一個(gè)整數(shù)的平方，則=1，其中正確的說法有（只填序號(hào)）【答案】④【分析】把1，24，36，n分解為兩個(gè)正整數(shù)的積的形式，找到相差最少的兩個(gè)數(shù)，讓較小的數(shù)除以較大的數(shù)，看結(jié)果是否與所給結(jié)果相同即可．【詳解】解：①，；故①錯(cuò)誤；②，這幾種分解中4和6的差的絕對(duì)值最小，，故②錯(cuò)誤；③，其中6和6的差的絕對(duì)值最小，，故③錯(cuò)誤；④是一個(gè)整數(shù)的平方，∴設(shè)（a為整數(shù)），∵a和a的差為絕對(duì)值最小的數(shù)0，∴，故④正確．正確的有④．故答案為：④．【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義“最佳分解”，讀懂題目信息，理解“最佳分解”的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023上·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┒x一種新運(yùn)算：，如，則．【答案】0【分析】本題考查了新定義，有理數(shù)混合運(yùn)算，先根據(jù)新定義計(jì)算出，然后再根據(jù)新定義計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，．故．故答案為：0．【變式3】．（2023下·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除法則即可求出答案．【詳解】解：原式故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則．【變式4】．（2023下·上海徐匯·六年級(jí)上海市西南位育中學(xué)校考階段練習(xí)）若“!”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且，，，…，則【答案】10100【分析】根據(jù)題意，得到，，相除即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知，，，所以，，故答案為：10100．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘除法，正確理解題干所給的新運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式5】．（2023下·上海寶山·六年級(jí)?？计谥校敬鸢浮?【分析】將符號(hào)化簡(jiǎn)，將帶分?jǐn)?shù)華為假分?jǐn)?shù)，將除法化為乘法，再約分計(jì)算．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)算式，才能正確約分計(jì)算．【變式6】．（2021下·上海普陀·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算步驟計(jì)算．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則：除以一個(gè)數(shù)等于乘以它的倒數(shù)，同號(hào)得正、異號(hào)得負(fù)是關(guān)鍵．【變式7】．（2021下·上海閔行·六年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：．【答案】【分析】先確定符號(hào)，再把除法化為乘法，再約分即可．【詳解】解：；【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟記運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵．【變式8】．（2021下·上海靜安·六年級(jí)上海市靜安區(qū)教育學(xué)院附屬學(xué)校?？计谥校┯?jì)算：．【答案】2【分析】將小數(shù)和帶分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，除法變乘法，再進(jìn)行約分即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘除運(yùn)算．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．【變式9】．（2023下·上?！ち昙?jí)上海市進(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校敬鸢浮俊痉治觥肯冉y(tǒng)一成分?jǐn)?shù)，再算乘除即可．【詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2023上·廣西南寧·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列運(yùn)算結(jié)果為負(fù)數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是有理數(shù)的乘法與除法運(yùn)算，根據(jù)乘法與除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算再判斷即可，掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故A不符合題意；，故B不符合題意；，故C不符合題意；，故D符合題意；故選D2．（2023上·廣西南寧·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各式化簡(jiǎn)正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算．根據(jù)有理數(shù)的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．【詳解】解：A、，本選項(xiàng)不符合題意；B、，本選項(xiàng)符合題意；C、，本選項(xiàng)不符合題意；D、，本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)校考期末）計(jì)算：的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查有理數(shù)乘法和除法運(yùn)算，掌握有理數(shù)運(yùn)算順序和乘除法法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)運(yùn)算順序和有理數(shù)乘除法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：．4．（2023上·廣東東莞·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若，，那么這兩個(gè)數(shù)（

）A．都是正數(shù) B．都是負(fù)數(shù) C．一正一負(fù) D．符號(hào)不能確定【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法及有理數(shù)的加法，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，有理數(shù)的加法法則，即可解答．【詳解】解：∵，∴a，b同號(hào)，若a，b都是負(fù)數(shù)，存在，若a，b都是正數(shù)，同樣存在，∴這兩個(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù)，故選：B．5．（2024上·福建龍巖·七年級(jí)龍巖初級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法不正確的是（

）A．0小于所有正數(shù) B．0沒有倒數(shù)C．0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù) D．0沒有絕對(duì)值【答案】D【分析】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，倒數(shù)的意義等知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)0的特殊性質(zhì)，依次判斷各項(xiàng)后即可解答．【詳解】解：根據(jù)正數(shù)與負(fù)數(shù)的定義可知0小于所有正數(shù)，正確，選項(xiàng)A不符合題意；0沒有倒數(shù)，正確，選項(xiàng)B不符合題意；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，正確，選項(xiàng)C不符合題意；0的絕對(duì)值是0，錯(cuò)誤，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．6．（2023上·山東臨沂·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則的值為（）A．1 B．或1 C． D．或1【答案】D【分析】根據(jù)，分，，與，，兩種情況，運(yùn)用正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)去絕對(duì)值符號(hào)，約分后加減，即得．本題主要考查了有理數(shù)的運(yùn)算．熟練掌握有理數(shù)乘法、去絕對(duì)值、有理數(shù)的除法的符號(hào)運(yùn)算法則，分類討論，是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，．∴的值為或1．故選：D．二、填空題7．（2023上·江蘇徐州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)數(shù)的倒數(shù)等于這個(gè)數(shù)本身，那么這個(gè)數(shù)是．【答案】1或【分析】本題考查倒數(shù)的定義，乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，倒數(shù)等于本身的數(shù)是．【詳解】解：倒數(shù)等于本身的數(shù)有：1，．故答案是：1或．8．（2023上·河南鄭州·七年級(jí)校考期中）在這三個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)相除，其中商最小的是．【答案】【分析】所給的五個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是2，絕對(duì)值最小的負(fù)數(shù)是，所以取兩個(gè)相除，其中商最小的即可得出結(jié)果．本題主要考查有理數(shù)的大小比較和有理數(shù)除法，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握有理數(shù)大小比較和有理數(shù)除法法則．【詳解】∵，所給的五個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是2，絕對(duì)值最小的負(fù)數(shù)是，∴任取兩個(gè)相除，其中商最小的是：，故答案為：．9．（2023上·山東菏澤·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算，根據(jù)除法法則直接計(jì)算即可；正確確定結(jié)果的符號(hào)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：故答案為：．10．（2023上·四川達(dá)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若有理數(shù)a，b滿足，且，則．【答案】或【分析】本題考查了絕對(duì)值的應(yīng)用，運(yùn)用分類討論，注意是解答此題的關(guān)鍵．分情況去掉絕對(duì)值符號(hào)求出即可【詳解】解：∵，，∴必有一個(gè)數(shù)是，設(shè)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，同理，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，∴的值為或．故答案為或．11．（2024上·北京海淀·七年級(jí)北京市師達(dá)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)軸上原點(diǎn)右邊厘米處的點(diǎn)表示的有理數(shù)是32，那么，數(shù)軸上原點(diǎn)左邊18厘米處的點(diǎn)表示的有理數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，根據(jù)題意先求出1厘米在數(shù)軸上表示個(gè)單位長(zhǎng)度，進(jìn)而求出原點(diǎn)左邊18厘米處的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，再根據(jù)原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵數(shù)軸上原點(diǎn)右邊厘米處的點(diǎn)表示的有理數(shù)是32，∴1厘米在數(shù)軸上表示個(gè)單位長(zhǎng)度，∴數(shù)軸上原點(diǎn)左邊18厘米處的點(diǎn)表示的有理數(shù)是，故答案為：．12．（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算的值為．【答案】0【分析】本題考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)任何數(shù)和零相乘都得零計(jì)算即可．【詳解】解：故答案為：013．（2023上·江蘇徐州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在一種游戲中規(guī)定，則．【答案】【分析】本題主要考查了新定義，有理數(shù)的乘法計(jì)算，根據(jù)新定義得到，據(jù)此計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意得，，故答案為：．14．（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示是計(jì)算機(jī)某計(jì)算程序，若開始輸入，則最后輸出的結(jié)果是．【答案】【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算法則，按照運(yùn)算程序求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，則，，輸出故答案為：．15．（2023上·新疆阿克蘇·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若a的相反數(shù)是1，則a與2022的乘積為．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法計(jì)算，相反數(shù)的定義，熟記概念并求出的值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)求出的值，然后根據(jù)有理數(shù)的乘法進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】∵的相反數(shù)是1，故答案為：．三、解答題16．（2024上·遼寧撫順·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)1【分析】本題主要考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算，乘除混合運(yùn)算，（1）根據(jù)有理數(shù)加減混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；