專題249切線長定理三角形的內(nèi)切圓（舉一反三）（滬科版）

專題24.9切線長定理、三角形的內(nèi)切圓【十大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用切線長定理求解】 1【題型2利用切線長定理證明】 7【題型3由三角形的內(nèi)切圓求長度】 13【題型4由三角形的內(nèi)切圓求角度】 17【題型5由三角形的內(nèi)切圓求面積】 22【題型6由三角形的內(nèi)切圓求最值】 25【題型7直角三角形的周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系】 32【題型8圓外切四邊形的計(jì)算】 36【題型9一般三角形的周長、面積與三角形內(nèi)切圓的關(guān)系】 42【題型10三角形內(nèi)切圓與外接圓的綜合運(yùn)用】 45【知識(shí)點(diǎn)1切線長定理】過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．【題型1利用切線長定理求解】【例1】（2023春·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)P是半徑為r的⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別切⊙O于A，B點(diǎn)，若△PAB是邊長為a的等邊三角形，則（

A．a(chǎn)=2r B．a(chǎn)=3r C【答案】B【分析】連結(jié)OP、OA，OB，根據(jù)切線的定理得PA⊥OA，PB⊥【詳解】解：連結(jié)OP、OA、OB，則OA=∵△PAB是邊長為a∴PA=a，∵PA，PB分別切⊙O于A，B∴PA⊥OA，∴∠OAP=90°，OP平分∴∠OPA∴∠OAP∴OP=2∴在Rt△OAP中，∴a=故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)定理，切線長定理，直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB為⊙O的直徑，PB，PC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D．若CD=PBA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作CH⊥PB于H，由垂徑定理得到CE的長，從而求出PH的長，由勾股定理求出CH的長，即可求出【詳解】解：作CH⊥PB于∵直徑AB⊥CD于∴CE=∵PC，PB分別切⊙O于C∴PB=PC=∴四邊形ECHB是矩形，∴BH=∴PH=∴CH=∴BE=故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，關(guān)鍵是通過輔助線構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求出CH的長．【變式12】（2023春·天津河西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑．(1)若∠BAC=25°，求(2)若∠P=60°，PA=2，求【答案】(1)50°(2)2【分析】（1）先利用切線的性質(zhì)得到∠CAP=90°，則利用互余計(jì)算出∠PAB的度數(shù)，再根據(jù)切線長定理得到PA(2)連接BC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到PA=PB，∠CAP【詳解】（1）∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥PA，即∴∠PAB∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA=∴∠PBA∴∠P（2）連接CB，∵PA=PB，且∴△PAB∴AB=PA=2∵AC為直徑，∴∠CBA在Rt△由勾股定理：AC2=∴⊙O的半徑為23【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2023春·浙江·九年級(jí)期中）小明準(zhǔn)備以“青山看日出”為元素為永嘉縣某名宿設(shè)計(jì)標(biāo)志示意圖，如圖所示，他利用兩個(gè)等邊三角形和一個(gè)圓分別表示青山和日出，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，且BE=EC=2CF，四邊形ABEG和四邊形GCFD的面積之差為73，則CF的長是；連結(jié)AD，若⊙O是△ADG【答案】24【分析】設(shè)CF=x，表示出相關(guān)線段的長，根據(jù)四邊形ABEG和四邊形GCFD的面積之差，得到S△ABC-S△DEF=73，求出x值即可；連結(jié)AD，連接OG并延長交BF于點(diǎn)M，設(shè)圓O與AC的切點(diǎn)為H，連接OH，連接AE，作DN⊥AE，垂足為N，證明△ADG為直角三角形，求出內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)切線長定理得到【詳解】解：∵BE=∴設(shè)CF=x，則∴BC=2x+2∵△ABC與△∴S△ABC=∵S△∴43∴x2∴x=2∴CF=2連結(jié)AD，連接OG并延長交BF于點(diǎn)M，設(shè)圓O與AC的切點(diǎn)為H，連接OH，連接AE，作DN⊥AE，垂足為∵等邊△ABC的邊長為4×2=8，E為BC∴AE=3CE∵∠DEC∴∠DEN∵DE=3×2=6∴DN=12∴AN=4∴AD=∵AG=AC-∴AG∴∠ADG=90°，∴內(nèi)切圓半徑DH=∵∠HGD∴∠HGO∴OG=2∵∠HGO=30°，∴∠EGM∴∠GME∴OM⊥∵GM=∴OM=∴圓心O到BF的距離為43故答案為：2，43【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，切線長定理，切線的性質(zhì)，【題型2利用切線長定理證明】【例2】（2023春·天津河?xùn)|·九年級(jí)天津市第四十五中學(xué)?？计谀┤鐖D，RtΔABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于E，OD⊥BC交⊙O于D，DE交BC于F，點(diǎn)P為CB延長線上的一點(diǎn)，PE延長交AC于G，PE=PF，下列4個(gè)結(jié)論：①GE=GC；【答案】①②③【分析】①首先連接OE，CE，由OE=OD，PE=PF，易得∠OED+∠PEF=∠ODE②又由BC是直徑，可得CE⊥AB，由切線長定理可得GC=③易證得OG是ΔABC的中位線，則可得OG④由于在RtΔABC中，∠A+∠ABC=90°，在RtΔPOE中，∠P+∠POE【詳解】解：如圖，連接OE，CE，∵OE=OD∴∠OED=∠ODE∵OD∴∠ODE∵∠OFD∴∠OED即OE⊥PE∵點(diǎn)E⊙∴GE為⊙∵點(diǎn)C在⊙O上，OC∴GC為⊙∴故①正確；∵BC∴∠BEC∴∠AEC∵∠ACB∴AC是⊙∴EG∴∠GCE∵∠GCE+∠A∴∠A∴AG=EG∵OC=∴OG是ΔABC∴OG∥AB在RtΔABC中，∠在RtΔPOE中，∠∵OE∴∠OBE但∠POE不一定等于∠∴∠A不一定等于∠P．故故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、圓周角定理、三角形中位線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式21】（2023春·全國·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，⊙O是梯形ABCD的內(nèi)切圓，AB∥DC，E、M、F、N分別是邊AB、BC、CD、DA上的切點(diǎn)．（1）求證：AB+CD=AD+BC（2）求∠AOD的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）90°.【分析】（1）根據(jù)切線長定理可證得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，進(jìn)而證明AB+DC=AD+BC；（2）連OE、ON、OM、OF，通過證明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行線的性質(zhì)：同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠AOD的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切線長定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM，∴AB+DC=AD+BC（2）連OE、ON、OM、OF，∵OE=ON，AE=AN，OA=OA，∴△OAE≌△OAN，∴∠OAE=∠OAN．同理，∠ODN=∠ODF．∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE．又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°，∴∠OAN+∠ODN=12×180°=90°∴∠AOD=180°﹣90°=90°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理和全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形．【變式22】（2023春·江蘇南通·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB、CB、CD分別與⊙O切于E，F(xiàn)，G，且AB∥CD．連接OB、OC，延長CO交⊙O于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥OB交CD于N．（1）當(dāng)OB＝6cm，OC＝8cm時(shí)，求⊙O的半徑；（2）求證：MN＝NG．【答案】（1）⊙O的半徑為4.8；（2）見解析.【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠GCF+∠EBF=180°，則有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；連接OF，則OF⊥BC，根據(jù)勾股定理就可以求出BC的長，然后根據(jù)△BOC的面積就可以求出⊙O的半徑；（2）根據(jù)切線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵AB、BC、CD分別與⊙O切于E、F、G，∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12又∵AB∥CD，∴∠GCF+∠EBF=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°；，連接OF，則OF⊥BC，由（1）知，△BOC是直角三角形，∴BC=OB2∵S△BOC=12?OB?OC=12∴6×8=10×OF，∴OF=4.8，∴⊙O的半徑為4.8；（2）證明：∵AB、BC、CD分別與⊙O切于點(diǎn)E、F、G，∴∠OBC=12∠ABC，∠DCB=2∠DCM∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠DCB）=12∴∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=180°90°=90°，∵M(jìn)N∥OB，∴∠NMC=∠BOC=90°，即MN⊥MC且MO是⊙O的半徑，∴MN是⊙O的切線，∴MN=NG．【點(diǎn)睛】此題考查切線的判定與性質(zhì)定理，勾股定理，解題關(guān)鍵在于掌握過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長相等，圓心與這點(diǎn)的連線平分兩切線的夾角．【變式23】（2023春·廣東云浮·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示，⊙O為△CDE的外接圓，CD為直徑，AD、BC分別與⊙O相切于點(diǎn)D、C（BC>AD）.E在線段AB上，連接DE并延長與直線BC相交于點(diǎn)P，(1)證明：AB是⊙O的切線(2)如圖2，連接OA，OB，求證：OA⊥【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接OE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角得出∠OEC=∠OCE，進(jìn)而根據(jù)BC為切線，∠OCB=90°，（2）根據(jù)AD、AB、BC分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E、C，根據(jù)切線長定理得出AD⊥CD，BC⊥CD，則AD∥BC，∠【詳解】（1）證明：連接OE，∵CD為⊙O∴∠CEP=9在RT△CEP中，B為∴EB=∴∠BCE=∠∵OE=∴∠OEC=∠又∵BC為切線，∴∠OCB∴∠OEC∴∠OEB=90°即OE⊥∴AB是⊙O的切線（2）證明：∵AD、AB、BC分別與⊙O相切于點(diǎn)D、E、C∴AD⊥CD，BC⊥CD，∠∴AD∥∴∠DAE+∠∴∠OAE+∠∴∠AOB=90°∴OA⊥【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與切線長定理，掌握切線的判定方法以及切線長定理是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)2三角形的內(nèi)切圓】三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓內(nèi)切圓的圓心是三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等【題型3由三角形的內(nèi)切圓求解】【例3】（2023春·天津西青·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=60°，BC=12，若⊙O與△ABC的三邊分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根據(jù)切線長定理可得：AD=AF，BD=BE，【詳解】∵⊙O內(nèi)切于△∴AD=AF，BD=∵∠A∴△ADF∴AD=∵△ABC的周長為32∴AB+∴AD+∵BC=12∴BE+∴BE+∴AD+∵AD=∴AD=故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握切線長定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式31】（2023春·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠C=90°，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)是切點(diǎn)．若AB【答案】1【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)先證明四邊形OECD是矩形，可得OD=CE，再由切線長定理可得AF=AE,BF=BD,【詳解】解：∵圓O是△ABC∴OE⊥∴∠ODC∴四邊形OECD是矩形，∴OD=∵圓O是△ABC∴AF=設(shè)OD=∵AB=5∴BC=A∴BF=∵AF+∴3-r解得：r=1即OD=1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理，熟練掌握三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，切線長定理是解題的關(guān)鍵．【變式32】（2023春·天津河西·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，⊙I是直角△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D、E、F，若AF=10，BE=3，則【答案】30【分析】根據(jù)切線長定理得出BD=BE，AF=AD，CE=CF，設(shè)【詳解】解：∵⊙I是直角△ABC的內(nèi)切圓，且AF=10∴BD=BE=3，∴AB設(shè)CE=CF=x，則在Rt△ABC中，AC解得x=2或x∴CE∴BC=5，∴△ABC的面積為1故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理、勾股定理、一元二次方程的應(yīng)用，熟記切線長定理是解題的關(guān)鍵．【變式33】（2023春·甘肅金昌·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，⊙O是的內(nèi)切圓，它與AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D【答案】2-【分析】首先連接OD、OF、OE，進(jìn)而利用切線的性質(zhì)得出∠ODA=∠OFA=∠A【詳解】解：連接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D、E、∴∠ODA又∵OD=∴四邊形ODAF是正方形，設(shè)OD=則BE=在△ABC中，∠∴BC=又∵BC∴2-r得：r=2-∴⊙O的半徑是2-【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，切線長定理，正方形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握“圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑”，“從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等”．【題型4由三角形的內(nèi)心的有關(guān)應(yīng)用】【例4】（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，也是△DBC的外心．若∠A=84°，則A．42° B．66° C．76° D．82°【答案】B【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得OB，OC分別是角平分線，進(jìn)而求出∠BOC的大小，再利用三角形外心的性質(zhì)得出∠BDC等于【詳解】解：連接OB，OC，如圖，∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∠∴∠OBC=1∴∠==1∴∠BOC∵點(diǎn)O是△DBC∴∠D故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心和三角形外心的性質(zhì)，牢記以上知識(shí)點(diǎn)得出各角之間的關(guān)系是做出本題的關(guān)鍵．【變式41】（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校校考期中）如圖，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，連接AI并延長交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，連接BD．已知AD=5，BD=3，則A．1 B．32 C．2 D．【答案】C【分析】由三角形內(nèi)切圓的圓心為三條角平分線的交點(diǎn)，可知∠IAB=∠IAC，∠IBA=∠IBC，利用三角形外角的性質(zhì)可得∠BID=∠IAB【詳解】解：∵點(diǎn)I為△ABC∴IA平分∠BAC，IB平分∠∴∠IAB=∠IAC∵∠IBD=∠IBC+∠DBC∴∠IBD∴ID=∴AI=故選C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓、三角形外角的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等，難度一般，解題的關(guān)鍵是通過導(dǎo)角證明∠IBD【變式42】（2023春·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=50°，點(diǎn)I

（1）∠BIC=（2）若BI的延長線與△ABC的外角∠ACD的平分線交于點(diǎn)E，當(dāng)∠ACB=【答案】11580【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，根據(jù)BI、CI分別平分∠ABC、∠（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠E=12∠A=25°，根據(jù)當(dāng)∠【詳解】解：（1）∵在△ABC中，∠∴∠ABC∵點(diǎn)I是△ABC∴BI、CI分別平分∠ABC、∠∴∠CBI=1∴∠=180°-=180°-=115°；故答案為：115；（2）∵∠ACD是△∴∠ACD∵CE平分∠ACD∴∠DCE∵∠DCE∴∠E∵∠CBE∴∠E∵當(dāng)∠ABE=∠E∴此時(shí)∠ABC∴∠ACB故答案為：80．【點(diǎn)睛】本題主要考查了內(nèi)心的定義，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)心為三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．【變式43】（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A0,6，點(diǎn)B8,0，I是（1）AB=（2）點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】10（2，2）【分析】（1）利用勾股定理解答即可；（2）根據(jù)I是△OAB的內(nèi)心，利用OM=ON，BM=BE，AE=AN，得出AE+BE=6x+8x=10【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A0,6，點(diǎn)B∴OA=6，OB=8，在Rt△OAB中，AB=OA（2）連接OI，BI，AI，過I作IM⊥OB，IN⊥OA，IE⊥AB，∵I是△OAB∴OM=ON，BM=BE，AE=AN，設(shè)OM=ON=x，則BM=BE=8x，AN=AE=6x，∴AE+BE=6x+8x=10，解得：x=OM=ON=2，∴I的坐標(biāo)為（2，2），∴點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及三角形的內(nèi)心，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用性質(zhì)解決實(shí)際問題．【題型5坐標(biāo)系中的三角形內(nèi)切圓】【例5】（2023·山東日照·日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，把Rt△OAB置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是Rt△OAB內(nèi)切圓的圓心．將Rt△OAB沿y軸的正方向作無滑動(dòng)滾動(dòng)．使它的三邊依次與x軸重合．第一次滾動(dòng)后，圓心為P1，第二次滾動(dòng)后圓心為P2…依次規(guī)律，第2019次滾動(dòng)后，Rt△OAB內(nèi)切圓的圓心P2019的坐標(biāo)是（）A．（673，1） B．（674，1） C．（8076，1） D．（8077，1）【答案】D【分析】由勾股定理得出AB=5，得出Rt△OAB內(nèi)切圓的半徑=1，因此P的坐標(biāo)為（1，1），由題意得出P3的坐標(biāo)（3+5+4+1，1），得出規(guī)律為每滾動(dòng)3次一個(gè)循環(huán)，由2019÷3=673，即可得出答案．【詳解】∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴AB=OA2∴Rt△OAB內(nèi)切圓的半徑＝12（3+4﹣5）＝1∴P的坐標(biāo)為（1，1），∵將Rt△OAB沿x軸的正方向作無滑動(dòng)滾動(dòng)，使它的三邊依次與x軸重合，第一次滾動(dòng)后圓心為P1，第二次滾動(dòng)后圓心為P2，…，∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1），每滾動(dòng)3次一個(gè)循環(huán)，∵2019÷3＝673，∴第2019次滾動(dòng)后，Rt△OAB內(nèi)切圓的圓心P2019的橫坐標(biāo)是673×（3+5+4）+1，即P2019的橫坐標(biāo)是8077，∴P2019的坐標(biāo)是（8077，1）；故選D．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，根據(jù)題意得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式51】（2023春·湖北鄂州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角邊BC在x軸上，其內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為I0,1，拋物線y【答案】-【分析】先求出內(nèi)切圓半徑為1，再設(shè)AE=x，OB=y，則AC=x+1，BC=y+1，由直角三角形性質(zhì)，得AB=2AC，即AB=2x+1，根據(jù)切線長定理得，AB=AD+BD=AE+OB，則2x+1=x【詳解】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°∴CE=OC=OI=1∴AB=設(shè)AE=x，∴AC=x∵∠ABC∴AB=2AC，即2x+1=由勾股定理，得x+1化簡得3x把①代入②解得：x=∴AC=∴A-∵y=∴拋物線y=ax∵拋物線y=ax∴3+1=1-∴a=-故答案為：-3【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形內(nèi)切圓，切線長性質(zhì)，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，求出點(diǎn)A坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2023春·全國·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，A、B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，8），B（–6，0），C（15，0）．若△ABC內(nèi)心為D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3.5）．【分析】可作輔助線，運(yùn)用圓的切線長定理求出CM的長度,進(jìn)而求出OM的長度,此即點(diǎn)D的橫坐標(biāo);運(yùn)用三角形的面積公式求出DM的長度,此即點(diǎn)D的縱坐標(biāo).【詳解】如圖，連接DA、DB、DC、DM、DN、DP；∵⊙D為△ABC的內(nèi)切圓，∴AN=AP（設(shè)為λ），BM=BN（設(shè)為μ），CM=CP（設(shè)為γ）；DM⊥BC，DN⊥AB，DP⊥AC；∵A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，8），B（–6，0），C（15，0），∴由勾股定理得：AB=10，AC=17，BC=21；∴λ+μ=10λ+γ∴OM=OC–CM=15–14=1；設(shè)⊙D的半徑為φ，∵△ABC的面積=△ADB、△ADC、△BDC的面積之和，∴由面積公式得：12BC?AO=12（AB+AC+BC）?φ解得φ=72，即DM=7