3.3 2、3、5的倍數(shù)特征（學霸課堂筆記）-2023-2024學年數(shù)學五年級下冊同步培優(yōu)講義（蘇教版）

3.32、3、5的倍數(shù)特征第一部分第一部分學問清單個位上是5或0的數(shù)是5的倍數(shù)；個位上是2，4，6，8或0的數(shù)都是2的倍數(shù)。各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)的數(shù)都是3的倍數(shù)。6的因數(shù)有1,2,3,6,這幾個因數(shù)之間的關系是：1+2+3=6。像6這樣的數(shù)叫做完全數(shù)（也叫做完善數(shù)）。整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫作偶數(shù)，不是2的倍數(shù)叫作奇（jī）數(shù)。其次部分其次部分典型例題例1：一個三位數(shù)41，當里填（

）時，它既是3的倍數(shù)又是2的倍數(shù)。A．6 B．4 C．2答案：B分析：3的倍數(shù)特征：一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)相加之和是3的倍數(shù)，則這個數(shù)是3的倍數(shù)。2的倍數(shù)特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)能被2整除。已知這個三位數(shù)的百位是4，十位是1，依據(jù)2、3倍數(shù)定義就算可得出答案。詳解：這個三位數(shù)是2的倍數(shù)，則它的個位上的數(shù)可能是0、2、4、6、8；它又是3的倍數(shù)，則這幾個數(shù)分別與4、1的和，只有，能被3整除，即這個三位數(shù)是414。故答案為：B例2：依據(jù)要求填一填。15

30

28

45

201

48

90093

76

57

120

92

36

720(1)3的倍數(shù)有()。(2)既是3的倍數(shù)又是2的倍數(shù)的數(shù)有()。(3)同時是2、3和5的倍數(shù)的數(shù)有()。答案：(1)15、30、45、201、48、900、93、57、120、36、720(2)30、48、900、120、36、720(3)30、900、120、720分析：2的倍數(shù)特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)。5的倍數(shù)特征：個位上是0或5的數(shù)。2、5的倍數(shù)特征：個位上是0的數(shù)。3的倍數(shù)特征：一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。詳解：（1）3的倍數(shù)有15、30、45、201、48、900、93、57、120、36、720。（2）既是3的倍數(shù)又是2的倍數(shù)的數(shù)有30、48、900、120、36、720。（3）同時是2、3和5的倍數(shù)的數(shù)有30、900、120、720。例3：既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)，個位上必定是1。()答案：×分析：2的倍數(shù)特征：個位是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)，5的倍數(shù)特征：個位是0、5的數(shù)是5的倍數(shù)，據(jù)此即可知道既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，它的個位是0，據(jù)此即可推斷。詳解：由分析可知：既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)，個位上必定是0，原說法錯誤。故答案為：×點睛：本題主要考查2和5的倍數(shù)特征，嫻熟把握它們的特征并機敏運用。例4：63個小伴侶參與表演，假如每5個小伴侶分成一組，那么至少再來幾個小伴侶才能正好分完？假如既能平均分成五組又能平均分成兩組，那么至少要去掉幾個小伴侶？答案：2個；3個分析：5個小伴侶分成一組，要求正好分完，則小伴侶的個數(shù)是5的倍數(shù)，即個位上是0或者5，比63大的個位上是5的數(shù)最小是65，所以至少再來65－63＝2（個）小伴侶。既能平均分成五組又能平均分成兩組，則小伴侶的個數(shù)是2和5的倍數(shù)，即個位上是0，比63小的個位上是0的數(shù)最大是60，所以至少要去掉63－60＝3（個）小伴侶。據(jù)此解答。詳解：(個）（組）（個）(個)（個）答：假如每5個小伴侶分成一組，那么至少再來2個小伴侶才能正好分完；假如既能平均分成五組又能平均分成兩組，那么至少要去掉2個小伴侶。：基礎過關練一、選擇題1．下面四個數(shù)中，N是任意自然數(shù)，S是0，因數(shù)中肯定有2和3的是（

）。A．NSSNS B．NSNSS C．NSSNN D．NNSNS2．一個四位數(shù)“1□3□”，既是3的倍數(shù)，又有因數(shù)5，這樣的四位數(shù)共有（

）個。A．7 B．6 C．8 D．53．小青用2、3、5、8四張數(shù)字卡片擺出的全部四位數(shù)（

）。A．肯定是2的倍數(shù) B．肯定是3的倍數(shù) C．肯定是5的倍數(shù)4．一個四位數(shù)35，它是2和5的倍數(shù)，也是3的倍數(shù)，這個數(shù)最大是（

）。A．3950 B．3959 C．3850 D．37505．100以內(nèi)既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，還有因數(shù)2的最大的數(shù)是（

）。A．95 B．90 C．75 D．996．五（1）班第一小組20名同學圍成一圈玩“3的倍數(shù)和尾數(shù)”這個玩耍，玩耍規(guī)章是：從1開頭一個一個往后數(shù)，遇到3的倍數(shù)或個位上是3的數(shù)時要說“過”。每人說1次，一圈下來，一共要說（

）次“過”字。A．4 B．5 C．77．在25的方框中填入一個數(shù)字，使它是3的倍數(shù)，中可以填（

）。A．4 B．5 C．6二、填空題8．請你用下面四張數(shù)字卡片按要求組成兩位數(shù)。0

7

4

5(1)組成的奇數(shù)有()，其中最大的是()，最小的是()。(2)組成的數(shù)中是2的倍數(shù)有()，5的倍數(shù)有()。(3)組成的既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)中，最大的數(shù)是()，最小的數(shù)是()。9．484是()數(shù)（填“奇”或“偶”），至少加上()就是3的倍數(shù)，至少減去()就是5的倍數(shù)。10．要使601既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，那么里應當填()。11．283至少減去()可以變?yōu)?的倍數(shù)，至少加上()可以變?yōu)?、3、5的公倍數(shù)。12．要使四位數(shù)286既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)，里可以填()；要使三位數(shù)7同時是2、3、5的倍數(shù)，它的后兩位可以填()。13．同時是2、3、5的倍數(shù)的最大四位數(shù)是()，最小四位數(shù)是()。三、推斷題14．既是2和5的倍數(shù)，又有因數(shù)3的最大兩位數(shù)是90。()15．4AA0A5這個數(shù)肯定是3和5的倍數(shù)。()16．既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)，它的個位上肯定是0。()17．27□既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，□中最大可填8。()18．一個不為0的自然數(shù)的個位是0，這個數(shù)肯定既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)。()。：培優(yōu)提升練四、解答題19．有一個三位數(shù)，它百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相同，已知這個三位數(shù)既是3的倍數(shù)，又有因數(shù)5，則這個三位數(shù)可能是多少？（列舉全部狀況）20．有三個連續(xù)的自然數(shù)，它們的和是三位數(shù)，且是2和5的倍數(shù)，這個三位數(shù)最小是多少？此時這三個連續(xù)的自然數(shù)分別是多少？想一想，三個連續(xù)的自然數(shù)的和是幾的倍數(shù)？21．擺一擺：從0、1、3、8這4個數(shù)字卡片中選出3個，按要求組成一個三位數(shù)，并說說你的想法。（1）組成的數(shù)是3的倍數(shù)。（2）組成的數(shù)是偶數(shù)，同時有因數(shù)3和5。22．甲、乙兩人做抽卡片玩耍，每人從卡片2、4、6、7中任意抽取一張。假如它們的和能被2整除，則甲獲勝；假如它們的和能被3整除，則乙獲勝。假如和既能被2整除又能被3整除，或者既不能被2整除又不能被3整除則重來。誰勝的可能性大？為什么？23．如圖是一張4×4的方格圖，它由16個小正方形組成，每個小正方形里都寫了一個數(shù)。（1）在這個方格圖上框出形，那么框出的4個數(shù)的和一共有多少種？其中和最大是多少？最小呢？（2）在這個方格圖上框出形，那么框出的5個數(shù)的和一共有多少種？每5個數(shù)的和肯定是15的倍數(shù)嗎？為什么？36912151821242730333639424548

1．D分析：因數(shù)中肯定有2和3，說明這個數(shù)同時是2和3的倍數(shù)。2的倍數(shù)特征：個位上的數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)。3的倍數(shù)的特征：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。詳解：A．NSSNS，S是0，是2的倍數(shù)，N＋N＝2N，不肯定是3的倍數(shù)；B．NSNSS，S是0，是2的倍數(shù)，N＋N＝2N，不肯定是3的倍數(shù)；C．NSSNN，N是任意自然數(shù)，不肯定是2的倍數(shù)；D．NNSNS，S是0，是2的倍數(shù)，N＋N＋N＝3N，是3的倍數(shù)。因數(shù)中肯定有2和3的是NNSNS。故答案為：D2．A分析：5的倍數(shù)特征：個位數(shù)是0或5；3的倍數(shù)特征：各個數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)；據(jù)此解答。詳解：一個四位數(shù)“1□3□”，既是3的倍數(shù)，又有因數(shù)5，這個四位數(shù)的個位數(shù)是0或5。當個位數(shù)是0時，1＋3＋0＝4比4大的3的倍數(shù)有6、9、12…6－4＝29－4＝512－4＝8百位數(shù)可以是2、5、8，有3個；當個位數(shù)是5時，1＋3＋5＝99是3的倍數(shù)，比9大的3的倍數(shù)有12、15、18…9－9＝012－9＝315－9＝618－9＝9百位數(shù)可以是0、3、6、9，有4個。3＋4＝7（個）一個四位數(shù)“1□3□”，既是3的倍數(shù)，又有因數(shù)5，這樣的四位數(shù)共有7個。故答案為：A點睛：嫻熟把握2、3、5的倍數(shù)的特征是解決此題的關鍵。3．B分析：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)，個位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)。各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)的數(shù)，是3的倍數(shù)。據(jù)此分析解題。詳解：用2、3、5、8四張數(shù)字卡片擺出的四位數(shù)個位上不肯定是2或8，也可能是3或5，那么擺成的全部四位數(shù)不肯定是2的倍數(shù)；同理，擺成的四位數(shù)個位不肯定是5，也可能是2、3、8，那么擺成的全部四位數(shù)不肯定是5的倍數(shù)；2＋3＋5＋8＝18，18是3的倍數(shù)，那么不論怎么擺，用2、3、5、8四張數(shù)字卡片擺出的全部四位數(shù)肯定是3的倍數(shù)。故答案為：B點睛：本題考查了2、3、5的倍數(shù)，把握2、3、5的倍數(shù)特征是解題的關鍵。4．D分析：3的倍數(shù)特征：各位數(shù)之和能被3整除；同時是2、3、5的倍數(shù)的數(shù)個位上是0，并且各個數(shù)位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，據(jù)此寫出符合要求的數(shù)，據(jù)此解答即可。詳解：3□5□能被2、3、5整除，說明個位上的數(shù)是0當個位上的數(shù)是0時，那么百位上的數(shù)可以是1、4、7，即3150、3450、3750；這個數(shù)最大是3750。故答案為：D點睛：解決本題的關鍵是明確同時是2、3、5的倍數(shù)的數(shù)個位上是0，并且各個數(shù)位上數(shù)的和是3的倍數(shù)。5．B分析：3的倍數(shù)特征：各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)；5的倍數(shù)特征：個位上是0、5的數(shù)是5的倍數(shù)；2的倍數(shù)特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)，同時是2、3、5的倍數(shù)，個位上的數(shù)字肯定是0。由此求解。詳解：依據(jù)分析可知，100以內(nèi)既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，還有因數(shù)2的最大的數(shù)是90。故答案為：B點睛：嫻熟把握2、3、5的倍數(shù)特征是解答本題的關鍵。6．C分析：依據(jù)3的倍數(shù)的特征是：各個數(shù)位的數(shù)字之和是3的倍數(shù)答：3的倍數(shù)的特征是各個數(shù)位的數(shù)字之和是3的倍數(shù)；據(jù)此選擇。詳解：20以內(nèi)是3的倍數(shù)和尾數(shù)是3的數(shù)有：3、6、9、12、13、15、18，所以每人說1次，一圈下來，一共要說7次“過”字。故答案為：C7．B分析：3的倍數(shù)特征：一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。詳解：A．假如是4，則2＋4＋5＝11，11不是3的倍數(shù)，不符合題意；B．假如是5，則2＋5＋5＝12，12是3的倍數(shù)，符合題意；C．假如是6，則2＋6＋5＝13，13不是3的倍數(shù)，不符合題意。故答案為：B8．(1)47、45、57、757545(2)70、74、50、54、4040、45、50、70、75(3)7040分析：依據(jù)奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)的意義：在自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)；2的倍數(shù)的特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都是2的倍數(shù)；能被5整除的數(shù)末尾是0或5是5的倍數(shù)；既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)的特征：個位上是0；據(jù)此寫出符合條件的最小的數(shù)和最大的兩位數(shù)即可。詳解：（1）組成的奇數(shù)有47、45、57、75，其中最大的是75，最小的是45。（2）組成的數(shù)中是2的倍數(shù)有70、74、50、54、40，5的倍數(shù)有40、45、50、70、75。（3）組成的既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)中，最大的數(shù)是70，最小的數(shù)是40。9．偶24分析：偶數(shù)是指能被2整除的數(shù)，奇數(shù)是指不能被2整除的數(shù)。3的倍數(shù)特征：一個數(shù)的每一個數(shù)位上的數(shù)相加的和是3的倍數(shù)，則這個數(shù)是3的倍數(shù)。5的倍數(shù)特征：一個數(shù)的個位上是0或5，則這個數(shù)是5的倍數(shù)。據(jù)此可計算得出答案。詳解：，即484能被2整除，是偶數(shù)。，即484至少加上2就是3的倍數(shù)。，即484至少減去4就是5的倍數(shù)。10．0分析：2的倍數(shù)特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)。5的倍數(shù)特征：個位上是0或5的數(shù)。2、5的倍數(shù)特征：個位上是0的數(shù)。詳解：要使601既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，那么里應當填0。11．117分析：3的倍數(shù)特征：各個位上數(shù)字相加的和是3的倍數(shù)；同時是2、3、5的倍數(shù)特征：個位數(shù)字是0，各個位上數(shù)字相加的和是3的倍數(shù)；據(jù)此解答。詳解：2＋8＋3＝1313－1＝12，12是3的倍數(shù)。所以283至少減去1可變?yōu)?的倍數(shù)。分析可知，個位數(shù)字為0，283＋7＝290，2＋9＝11，則290不是3的倍數(shù)；283＋17＝300，3＋0＋0＝3，則300是3的倍數(shù)。所以，283至少加上17可變?yōu)?、3、5的公倍數(shù)。12．2、820、50、80分析：2的倍數(shù)特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)。5的倍數(shù)特征：個位上是0或5的數(shù)。2、5的倍數(shù)特征：個位上是0的數(shù)。3的倍數(shù)特征：一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。詳解：要使四位數(shù)286既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)，先考慮是2的倍數(shù)，那么個位必需是0、2、4、6、8；其中2＋8＋6＋2＝18，是3的倍數(shù)；2＋8＋6＋8＝24，是3的倍數(shù)，所以里可以填2、8；要使三位數(shù)7同時是2、3、5的倍數(shù)，先考慮同時是2、5的倍數(shù)，那么個位肯定是0；還要滿足7＋＋0是3的倍數(shù)，由于7＋2＋0＝9，是3的倍數(shù)；7＋5＋0＝12，是3的倍數(shù)；7＋8＋0＝15，是3的倍數(shù)；所以它的后兩位可以填20、50、80。13．99901020分析：依據(jù)題意，這個四位數(shù)同時是2、3、5的倍數(shù)，由既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)末尾是0，可知這個四位數(shù)的末尾是0；當這個四位數(shù)最大時，千位和百位上都是9，即99□0，要使99□0是3的倍數(shù)，□里最大取9；當這個四位數(shù)最小時，千位上是1，百位上是0，即10□0，要使10□0是3的倍數(shù)，□里最小取2。據(jù)此解答。2的倍數(shù)特征：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)。5的倍數(shù)特征：個位上是0或5的數(shù)。2、5的倍數(shù)特征：個位上是0的數(shù)。3的倍數(shù)特征：一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。詳解：同時是2、3、5的倍數(shù)的最大四位數(shù)是9990，最小四位數(shù)是1020。14．√分析：2的倍數(shù)特征：末尾數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)；3的倍數(shù)特征：各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)字就是3的倍數(shù)；5的倍數(shù)特征：末尾數(shù)字是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)，既是2和5的倍數(shù)，又有因數(shù)3，這個數(shù)的個位必需是0，據(jù)此解答。詳解：依據(jù)分析可知，既是2和5的倍數(shù)，又有因數(shù)3的最大兩位數(shù)是90。原題干說法正確。故答案為：√點睛：嫻熟把握2、3、5的倍數(shù)特征是解答本題的關鍵。15．√分析：依據(jù)3的倍數(shù)的特征：各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的數(shù)是3的倍數(shù)；依據(jù)5的倍數(shù)的特征：個位上是0，5的數(shù)是5的倍數(shù)，據(jù)此解答。詳解：4＋A＋A＋0＋A＋5＝4＋3A＋5＝9＋3A9＋3A為3的倍數(shù)，4AA0A5末位為5，是5的倍數(shù)，因此4AA0A5這個數(shù)肯定是3和5的倍數(shù)，原題說法正確。故答案為：√點睛：此題主要考查了3、5的倍數(shù)特征。16．√分析：由于5的倍數(shù)的特點是：個位上的數(shù)是0或5；2的倍數(shù)的特點是：個位上的數(shù)是0、2、4、6、8的數(shù)；所以既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，個位上肯定是0。詳解：由分析可知，既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)，個位上肯定是0；原題說法正確。故答案為：√點睛：本題考查了2，5倍數(shù)的特點，要記住這些特點，并機敏運用。17．×分析：2的倍數(shù)特征：個位上的數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)；3的倍數(shù)的特征：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)，據(jù)此解答即可。詳解：2＋7＝9，27□既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，□中可填0、6，最大填6。故答案為：×點睛：關鍵是把握2和3的倍數(shù)的特征。18．√分析：2的倍數(shù)特征：個位是0、2、4、6、8的數(shù)；5的倍數(shù)特征：個位是0或5的數(shù)，兩個結合在一起，既是2又是5的倍數(shù)特征：個位是0的數(shù)。詳解：依據(jù)分析可知，假如這個不為0的自然數(shù)的個位是0，那么這個數(shù)肯定既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)。故答案為：√點睛：此題主要考查同學對2和5的倍數(shù)特征的生疏與理解。19．225、330、555、660、990。分析：依據(jù)3、5的倍數(shù)的特征，一個數(shù)各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)肯定是3的倍數(shù)；個位上是0或5的數(shù)都是5的倍數(shù)；同時是3和5的倍數(shù)的數(shù)，個位上是0或5且各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。據(jù)此解答。詳解：一個三位數(shù)，它百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字相同，已知這個三位數(shù)既是3的倍數(shù)，又有因數(shù)5，可使百位、十位上的數(shù)字為1，再令個位上的數(shù)分別是0、5，看哪一個數(shù)字是3的倍數(shù)，同理推導出全部符合條件的數(shù)字；則這個三位數(shù)可能是225、330、555、660、990。答：這個三位數(shù)可能是225、330、555、660、990。點睛：此題考查的目的是理解把握3、5的倍數(shù)的特征及應用。20．這個三位數(shù)最小是120，此時這三個連續(xù)的自然數(shù)分別是39、40、41；三個連續(xù)的自然數(shù)的和是3的倍數(shù)。分析：本題考查2、3和5的倍數(shù)的特征。設三個連續(xù)的自然數(shù)分別是a－1、a和a＋1，它們的和是（a－1）＋a＋（a＋1）＝3a，所以任意三個連續(xù)的自然數(shù)之和肯定是3的倍數(shù)。這個三位數(shù)同時是2，3和5的倍數(shù)，它的個位上是0，且各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，所以這個三位數(shù)最小是120，120÷3＝40，這三個連續(xù)的自然數(shù)分別是39、40、41。詳解：設三個連續(xù)的自然數(shù)分別是a－1、a和a＋1，它們的和是（a－1）＋a＋（a＋1）＝3a，所以任意三個連續(xù)的自然數(shù)之和肯定是3的倍數(shù)。它們的和又同時是2和5的倍數(shù)，即個位上的數(shù)只能是0，最小的數(shù)字組合為：，故同時是2、3和5的倍數(shù)的最小三位數(shù)是120。中間的數(shù)為：120÷3＝40，則前一個數(shù)為：40－1＝39，后一個數(shù)為：40＋1＝41。答：這個三位數(shù)最小是120，此時這三個連續(xù)的自然數(shù)分別是39、40、41，三個連續(xù)的自然數(shù)的和是3的倍數(shù)。21．（1）138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；（2）810、180分析：（1）3的倍數(shù)特征：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)；（2）要求組成的數(shù)是偶數(shù)，同時有因數(shù)3和5，也就是組成的數(shù)同時是2、3、5的倍數(shù)，同時是2、