3(3)函數(shù)的單調(diào)性與極值

函數(shù)單調(diào)性的判別法小結(jié)思考題

第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的極值第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1一、單調(diào)性的判別法分析則利用可知,利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與極值2定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)則單調(diào)增加的充要條件是:此時(shí)單調(diào)增區(qū)間.(單調(diào)減少)(減)函數(shù)的單調(diào)性與極值3證明:只證單調(diào)增加的情況.必要性:單調(diào)增加,從而有單調(diào)增加,得到所以,利用極限的保號(hào)性知道,函數(shù)的單調(diào)性與極值4充分性

拉氏定理函數(shù)的單調(diào)性與極值5推論設(shè)函數(shù)則嚴(yán)格單調(diào)增加(嚴(yán)格單調(diào)減少)注意:1.若推論中的條件改為其中使得的點(diǎn)不構(gòu)成的子區(qū)間,則推論的結(jié)論仍然成立.2.定理1和推論不論對(duì)于開(kāi)、閉、有限或無(wú)窮區(qū)間都正確.函數(shù)的單調(diào)性與極值6如嚴(yán)格單調(diào)增加.又如,內(nèi)可導(dǎo),且等號(hào)只在(無(wú)窮多個(gè)離散點(diǎn))處成立,故內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加.函數(shù)的單調(diào)性與極值7例1討論函數(shù)的單調(diào)性.注意:判函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間的步驟如下:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo);(3)找臨界點(diǎn):(4)由臨界點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成幾個(gè)區(qū)間,函數(shù)的單調(diào)性與極值在各個(gè)區(qū)間上再討論的符號(hào),從而判定的單調(diào)性(要求列表).8例2確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.提示:不存在函數(shù)的單調(diào)性與極值9利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明不等式.例3證明:提示:函數(shù)的單調(diào)性與極值10例4設(shè)證明:函數(shù)的單調(diào)性與極值11定義極大值(或極小值),

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極值點(diǎn).極小值(minimalvalue)極大值(maximalvalue)二、函數(shù)的極值及其求法1.函數(shù)極值的定義使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0(自變量)稱為12函數(shù)的單調(diào)性與極值

函數(shù)的極大值、極小值

是局部性的.

在一個(gè)區(qū)間內(nèi),函數(shù)可能存在許多個(gè)極值,最大值與最小值,有的極小值可能大于某個(gè)極大值.只是一點(diǎn)附近的13函數(shù)的單調(diào)性與極值定理2(必要條件)注如,(1)駐點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).但函數(shù)的2.

極值的必要條件必是駐點(diǎn),費(fèi)馬引理如果函數(shù)可導(dǎo),處取得極值,那么補(bǔ)充極值,14函數(shù)的單調(diào)性與極值極值點(diǎn)也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).如,但

怎樣從駐點(diǎn)中與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)判斷一點(diǎn)單減的分界點(diǎn),(2)不可導(dǎo).是極小值點(diǎn).是不是極值點(diǎn)若x0是連續(xù)函數(shù)f(x)單增、則x0必為極值點(diǎn).幾何上,?15函數(shù)的單調(diào)性與極值定理3(第一充分條件)則為極大值則不是極值.(極小值);極值的一階充分條件3.

極值的充分條件16函數(shù)的單調(diào)性與極值一般求函數(shù)的極值的步驟不是極值點(diǎn)(1)確定函數(shù)的定義域;(2)找臨界點(diǎn):(3)列表考慮在臨界點(diǎn)左右兩邊的符號(hào),(4)求極值.17函數(shù)的單調(diào)性與極值例1解(1)(2)駐點(diǎn):導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):(3)列表.求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號(hào),判別增減性,確定極值點(diǎn)和極值.18函數(shù)的單調(diào)性與極值非極值極小值不存在極大值駐點(diǎn):導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn):單調(diào)增加區(qū)間:單調(diào)減少區(qū)間:19函數(shù)的單調(diào)性與極值定理3(第二充分條件)證極大值(極小值).極值的二階充分條件因此,當(dāng)充分小時(shí),由極限的保號(hào)性可見(jiàn),與異號(hào).所以,第一充分條件

對(duì)于駐點(diǎn),有時(shí)還可以利用函數(shù)在該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)來(lái)判斷極值點(diǎn).自己證極小值情形.20函數(shù)的單調(diào)性與極值例5求函數(shù)的極值.21函數(shù)的單調(diào)性與極值注仍用第一充分條件定理3(第二充分條件)不能應(yīng)用.事實(shí)上,可能有極大值,也可能有極小值,也可能沒(méi)有極值.如,分別屬于上述三種情況.如,22函數(shù)的單調(diào)性與極值求函數(shù)練習(xí)的極值.23函數(shù)的單調(diào)性與極值充分條件來(lái)判定有無(wú)極值;對(duì)于只有駐點(diǎn)而沒(méi)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),可用第二充分條件判斷有無(wú)極值.

運(yùn)用第一、第二充分條件需要注意:若函數(shù)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)時(shí),則可用第一(1)(2)則24函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性與極值三、小結(jié)

單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.單調(diào)性的應(yīng)用:利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.25極值的判別法第一充分條件;第二充分條件,(注意使用條件