統(tǒng)計學(xué)常用分布及分位數(shù)

范文范例指導(dǎo)參考PAGE學(xué)習(xí)資料整理§1.4常用的分布及其分位數(shù)1.卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo)出的分布,它們與正態(tài)分布一起，是試驗統(tǒng)計中常用的分布。當(dāng)X1X2…Xn相互獨立且都服從N（0，1）時，Z=的分布稱為自由度等于n的分布，記作Z~(n)，它的分布密度p(z）=式中的=，稱為Gamma函數(shù)，且=1,=。分布是非對稱分布，具有可加性，即當(dāng)Y與Z相互獨立，且Y~（n)，Z～(m),則Y+Z～(n+m)。證明:先令X1X2…XnXn+1Xn+2…Xn+m相互獨立且都服從N（0，1），再根據(jù)分布的定義以及上述隨機變量的相互獨立性，令Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，Y+Z=X+X+…+X+X+X+…+X，即可得到Y(jié)+Z～(n+m）。2。t分布若X與Y相互獨立，且X～N(0,1)，Y～（n），則Z=的分布稱為自由度等于n的t分布,記作Z~t（n）,它的分布密度P（z）=。請注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù),且當(dāng)n〉30時,t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1)的密度曲線幾乎重疊為一這時t分布的分布函數(shù)值查N（0,1)的分布函數(shù)值表便可以得到。3。F分布若X與Y相互獨立，且X～（n）,Y～(m），則Z=的分布稱為第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，記作Z～F(n,m)，它的分布密度p(z)=請注意:F分布也是非對稱分布，它的分布密度與自由度的次序有關(guān)，當(dāng)Z～F(n，m)時，～F（m,n）。4。t分布與F分布的關(guān)系若X~t(n），則Y=X～F（1，n）.證：X～t(n），X的分布密度p（x)=。Y=X的分布函數(shù)F(y)=P｛Y〈y}=P｛X〈y}。當(dāng)y0時，F(xiàn)(y)=0，p（y)=0；當(dāng)y〉0時，F(xiàn)（y)=P｛—〈X<}==2，Y=X的分布密度p（y)=,與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X～F（1，n).為應(yīng)用方便起見，以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從各自的函數(shù)值表中查出。但是，解應(yīng)用問題時，通常是查分位數(shù)表.有關(guān)分位數(shù)的概念如下:4。常用分布的分位數(shù)1）分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機變量的分布函數(shù)有關(guān)，根據(jù)應(yīng)用的需要，有三種不同的稱呼,即α分位數(shù)、上側(cè)α分位數(shù)與雙側(cè)α分位數(shù)，它們的定義如下：當(dāng)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x），實數(shù)α滿足0<α〈1時，α分位數(shù)是使P{X<α}=F（α)=α的數(shù)α，上側(cè)α分位數(shù)是使P｛X〉λ}=1-F（λ）=α的數(shù)λ,雙側(cè)α分位數(shù)是使P｛X<λ1｝=F（λ1)=0。5α的數(shù)λ1、使P{X〉λ2｝=1-F（λ2）=0.5α的數(shù)λ2.因為1—F（λ）=α，F(xiàn)(λ)=1—α，所以上側(cè)α分位數(shù)λ就是1—α分位數(shù)1-α；F（λ1）=0.5α，1—F(λ2)=0。5α,所以雙側(cè)α分位數(shù)λ1就是0。5α分位數(shù)0。5α，雙側(cè)α分位數(shù)λ2就是1—0。5α分位數(shù)1-0.5α.2）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)記作α，0。5α分位數(shù)記作0。5α1-0.5α分位數(shù)記作1—0.5α。當(dāng)X～N（0，1)時,P{X<α}=F0,1（α)=α，P｛X〈0。5α}=F0,1(0。5α）=0.5α，P{X〈1-0.5α}=F0，1（1—0.5α）=1—0。5α。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對稱性，當(dāng)α=0.5時α=0;當(dāng)α<0.5時α<0。α=-1—α。如果在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒有負(fù)的分位數(shù),則先查出1—α，然后得到α=—1-α。論述如下:當(dāng)X～N(0,1）時P｛X〈α｝=F0，1（α)=αP｛X<1—α}=F0，1（1—α)=1—αP{X>1-α｝=1—F0，1(1—α）=α故根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對稱性，α=—1-α。例如，u0。10=—u0。90=—1。282，u0.05=—u0。95=—1。645，u0。01=—u0。99=—2.326,u0。025=—u0.975=-1。960，u0。005=—u0。995=-2。576。又因為P｛|X|<1-0.5α}=1—α，所以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)α分位數(shù)分別是1-0.5α和-1-0。5α。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布常用的上側(cè)α分位數(shù)有：α=0.10，u0。90=1。282；α=0.05,u0.95=1。645；α=0.01，u0.99=2.326；α=0.025,u0。975=1。960；α=0。005，u0。995=2.576。3）卡平方分布的α分位數(shù)記作α（n)。α(n)〉0當(dāng)X～（n)時，P{X〈α(n）}=α。例如,0。005（4）=0。21,0。025(4)=0.48，0。05(4）=0.71,0。95（4)=9。49,0.975(4)=11。1,0.995(4)=14.9.4）t分布的α分位數(shù)記作α(n）。當(dāng)X～(n)時，P{X〈α(n）}=α，且與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相類似,根據(jù)t分布密度曲線的對稱性,也有α(n)=—1—α(n),論述同α=—1—α。例如，t0.95(4)=2.132，t0.975（4)=2.776，t0。995(4)=4.604,t0。005（4)=-4。604，t0。025(4)=—2.776，t0。05（4)=—2.132。另外，當(dāng)n〉30時,在比較簡略的表中查不到α(n），可用α作為α（n)的近似值.5）F分布的α分位數(shù)記作α（n,m)。α(n，m）〉0當(dāng)X～(n，m)時，P{X〈α（n，m)}=α。另外,當(dāng)α較小時,在表中查不出Fα（n，m），須先查F1—α(m，n），再求Fα（n，m)=。論述如下：當(dāng)X～F（m,n)時P{X〈F1-α（m，n)}=1—αP{>｝=1-αP{<｝=α又根據(jù)F分布的定義，~F（n，m），P{〈Fα(n,m)}=α因此Fα（n，m)=。例如，F(xiàn)0。95（3，4)=6.59，F(xiàn)0.975（3,4)=9.98，F(xiàn)0。99（3，4）=16。7，F(xiàn)0。95(4,3）=9.12，F(xiàn)0。975（4，3)=15.1,F0.99（4,3）=28。7，F(xiàn)0。01（3，4）=，F(xiàn)0.025（3，4)=，F(xiàn)0。05（3，4）=.【課內(nèi)練習(xí)】1.求分位數(shù)①0.05（8)，②0。95（12)。2.求分位數(shù)①t0。05(8)，②t0.95(12）。3.求分位數(shù)①F0。05（7，5），②F0.95（10，12）。4。由u0。975=1。960寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)。5。由t0。95（4)=2。132寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù).6.若X～(4)，P｛X<0.711｝=0。05，P{X<9。49}=0。95，試寫出有關(guān)的分位數(shù)。7。若X～F（5，3），P｛X<9。01｝=0.95,Y~F(3,5)，{Y<5。41｝=0.95，試寫出有關(guān)的分位數(shù)。8。設(shè)X、X、…、X相互獨立且都服從N(0，0.09)分布,試求P｛>1。44}。習(xí)題答案：1.①2。73，②21.0。2。①-1.860，②1。782。3.①，②3。37。4.1。960為上側(cè)0.025分位數(shù)，-1.960與1。960為雙側(cè)