2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章直線與圓1直線與直線的方程1.1.3第2課時(shí)直線方程的兩點(diǎn)式直線方程的一般式課后素養(yǎng)落實(shí)含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(三)直線方程的兩點(diǎn)式直線方程的一般式(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．一條直線不垂直于坐標(biāo)軸，則它的方程()A．可以寫成兩點(diǎn)式或截距式B．可以寫成兩點(diǎn)式或斜截式或點(diǎn)斜式C．可以寫成點(diǎn)斜式或截距式D．可以寫成兩點(diǎn)式或截距式或斜截式或點(diǎn)斜式B[由于直線不垂直于坐標(biāo)軸，所以直線的斜率存在，且直線上隨意兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)都不相同，所以直線能寫成兩點(diǎn)式或斜截式或點(diǎn)斜式．由于直線在坐標(biāo)軸上的截距有可能為0，所以直線不肯定能寫成截距式．故選B．]2．直線l的方程為Ax＋By＋C＝0，若直線l過(guò)原點(diǎn)和二、四象限，則()A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0D[通過(guò)直線的斜率和截距進(jìn)行推斷．]3．已知兩直線的方程分別為l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它們?cè)谧鴺?biāo)系中的位置如圖所示，則()A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>cC．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<cC[由已知直線表達(dá)式，得l1：y＝－eq\f(1,a)x－eq\f(b,a)，l2：y＝－eq\f(1,c)x－eq\f(d,c)，由題圖知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)>－\f(1,c)>0,－\f(b,a)<0,－\f(d,c)>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c<a<0,b<0,d>0.))]4．把直線x－y＋eq\r(3)－1＝0繞點(diǎn)(1，eq\r(3))逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后，所得直線l的方程是()A．y＝－eq\r(3)x B．y＝eq\r(3)xC．x－eq\r(3)y＋2＝0 D．x＋eq\r(3)y－2＝0B[如圖，已知直線的斜率為1，則其傾斜角為45°，則直線l的傾斜角α＝45°＋15°＝60°．∴直線l的斜率k＝tanα＝tan60°＝eq\r(3)，∴直線l的方程為y－eq\r(3)＝eq\r(3)(x－1)，即y＝eq\r(3)x．]5．若直線Ax＋By＋C＝0過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則A，B，C滿意的條件是()A．C＝0 B．AB≠0且C＝0C．A2＋B2≠0且C＝0 D．A＋B＝0C[A，B不能同時(shí)為0．]二、填空題6．斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)的直線的一般式方程為_(kāi)_______．2x－y＋1＝0[由直線點(diǎn)斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式為2x－y＋1＝0．]7．過(guò)點(diǎn)(－1，1)和(3，9)的直線在x軸上的截距是________．－eq\f(3,2)[直線方程為eq\f(y－1,9－1)＝eq\f(x＋1,3＋1)，即y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－eq\f(3,2)，∴在x軸上的截距為－eq\f(3,2)．]8．過(guò)點(diǎn)P(3，－1)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線l的方程是________．x＋2y－1＝0或x＋3y＝0[設(shè)直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，當(dāng)a＝0時(shí)，b＝0，此時(shí)直線l的方程為eq\f(y,x)＝eq\f(－1,3)，所以x＋3y＝0；當(dāng)a≠0時(shí)，a＝2b，此時(shí)直線l的方程為eq\f(x,2b)＋eq\f(y,b)＝1，代入(3，－1)，得x＋2y－1＝0．]三、解答題9．已知直線(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x軸上的截距為3，求直線在y軸上的截距．[解]由已知，直線過(guò)點(diǎn)(3，0)，所以3(a＋2)－2a＝0，即a＝－6．所以直線方程為－4x＋45y＋12＝0，即4x－45y－12＝0．令x＝0，得y＝－eq\f(4,15)．故直線在y軸上的截距為－eq\f(4,15)．10．求經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3，4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形的直線方程．[解]由題意可知，所求直線的斜率為±1．又過(guò)點(diǎn)(3，4)，由點(diǎn)斜式得y－4＝±(x－3)．所求直線的方程為x－y＋1＝0，或x＋y－7＝0．11．過(guò)點(diǎn)A(3，－1)且在兩坐標(biāo)軸上截距的肯定值相等的直線有()A．2條B．3條C．4條D．多數(shù)多條B[當(dāng)截距都為零時(shí)滿意題意要求，直線為y＝－eq\f(1,3)x；當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(－1,b)＝1,|a|＝|b|，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝－4，))即直線方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,4)＋eq\f(y,－4)＝1，∴滿意條件的直線共有3條．故選B．]12．已知直線a1x＋b1y＋1＝0和直線a2x＋b2y＋1＝0都過(guò)點(diǎn)A(2，1)，則過(guò)點(diǎn)P1(a1，b1)和點(diǎn)P2(a2，b2)的直線方程是()A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0A[∵點(diǎn)A(2，1)在直線a1x＋b1y＋1＝0上，∴2a1＋b1＋1＝0．由此可知點(diǎn)P1(a1，b1)在直線2x＋y＋1＝0上．∵點(diǎn)A(2，1)在直線a2x＋b2y＋1＝0上，∴2a2＋b2＋1＝0．由此可知點(diǎn)P2(a2，b2)也在直線2x＋y＋1＝0上．∴過(guò)點(diǎn)P1(a1，b1)和點(diǎn)P2(a2，b2)的直線方程是2x＋y＋1＝0．]13．(多選題)若直線ax＋by＋c＝0同時(shí)要經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則a，b，c應(yīng)滿意()A．a(chǎn)b>0 B．bc<0C．a(chǎn)b<0 D．bc>0AB[易知直線的斜率存在，則直線方程可化為y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b)，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)<0，,－\f(c,b)>0，))所以ab>0，bc<0．]14．(一題兩空)已知點(diǎn)A(3，0)，B(0，4)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則xy的最大值為_(kāi)_______；最小值為_(kāi)_______．30[線段AB的方程為eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1(0≤x≤3)，所以xy＝4xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,3)))＝－eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋3，所以當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，xy的最大值為3；當(dāng)x＝0或3時(shí)，xy的最小值為0．]15．已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2，1)，且與x軸、y軸的正方向分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求直線l的方程．[解]依據(jù)題意，設(shè)直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由題意，知a>2，b>1，∵l過(guò)點(diǎn)M(2，1)，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，解得b＝eq\f(a,a－2)，∴△AOB的面積