2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)洋涇中學(xué)高三（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)洋涇中學(xué)高三（上）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（9月份）一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若正數(shù)m、n、a均不為1，則下列不等式中與“m>n”等價(jià)的是(

)A.logam>logan B.logm2.已知雙曲線Γ1：x2a12?y2A.實(shí)軸長 B.虛軸長 C.焦距 D.離心率3.下列用遞推公式表示的數(shù)列中，使得n→+∞liman=A.an=12(an?1+24.《九章算術(shù)》中所述“羨除”，是指如圖所示五面體ABCDEF，其中AB//DC//EF，“羨除”形似“楔體”.“廣”是指“羨除”的三條平行側(cè)棱之長a、b、c，“深”是指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離m、“袤”是指這兩條側(cè)棱所在平行直線之間的距離n(如圖).羨除的體積公式為V=(a+b+c)mn6，過線段AD，BC的中點(diǎn)G，H及直線EF作該羨除的一個(gè)截面α，已知α剛好將羨除分成體積比為5：4的兩部分.若AB=4、DC=2，則EF的長為(

)

A.2 B.3 C.4 D.6二、填空題：本題共12小題，共54分。5.集合A={1,2}，B={2,3}，則A∪B=______．6.函數(shù)y=3?17.若α∈(π2,π),cos(π?α)=38.若復(fù)數(shù)z滿足3z+z=1+i，其中i是虛數(shù)單位，則z=______．9.有8位同學(xué)在一次考試中的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?5，45，62，78，53，83，74，88，則該小組本次考試數(shù)學(xué)成績的第60百分位數(shù)為______．10.已知函數(shù)f(x)=x3?2lnx，那么f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為

11.向量n=(a,2)為直線x?2y+2=0的法向量，則向量a=(1,1)在n=(a,2)12.對(duì)于獨(dú)立事件A，B，若P(A)=34，P(B)=23，則P(13.學(xué)生食堂采用了自助的形式，受到了學(xué)生的大力追捧，每位學(xué)生都可以從8道菜中任意選擇搭配，每位學(xué)生至少打1道菜，則總共可以形成______種不同的搭配．14.已知(x+a)(x?1)7=a0+a115.已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)y=f(x)，且f(x)=sinx,x∈(0,π2]f′(x?16.向量集合S={a|a=(x,y),x,y∈R}，對(duì)于任意α，β∈S，以及任意λ∈(0,1)，都有λα+(1?λ)β∈S，則稱S為“C類集”，現(xiàn)有四個(gè)命題：

①若S為“C類集”，則集合M={μa|a∈S,μ∈R}也是“C類集”；

②若S，T都是“C類集”，則集合M={a+b|a∈S,b∈T}也是“C類集”；

③若A1，A2都是“C類集”，則A1∪三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，等腰△PAB的邊長分別為PA=PB=5，AB=6，矩形ABCD所在的平面與平面PAB垂直．

(1)如果BC=3，求直線PC與平面PAB所成的角的大?。?/p>

(2)如果PC⊥BD，求BC的長．18.(本小題14分)

記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知Sn=an2+n2+1，n∈N19.(本小題14分)

已知向量a=(3sinx,cosx),b=(sin(x+π2),cosx)，設(shè)f(x)=a?b．

(1)求函數(shù)f(x)=a?b的單調(diào)增區(qū)間；

(2)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a20.(本小題18分)

已知直線x?2y+2=0經(jīng)過橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS，BS與直線l：x=103分別交于M，N兩點(diǎn)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)求線段MN的長度的最小值；

(3)當(dāng)線段MN21.(本小題18分)

已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，導(dǎo)函數(shù)為y=f′(x)，若對(duì)任意的x∈D，均有f(x)<f′(x)，則稱函數(shù)y=f(x)為D上的“M一類函數(shù)”．

(1)試判斷f(x)=sinx是否為其定義域上的“M一類函數(shù)”，并說明理由；

(2)若函數(shù)g(x)=ax+a?1，x∈(0,π)為其定義域上的“M一類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(3)已知函數(shù)?(x)=sinx+ax+a?2,x∈[0,π2]為其定義域上的“M一類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a參考答案1.C

2.D

3.D

4.B

5.{1,2,3}

6.(?∞,0)∪[13，7.=?48.149.78

10.x?y=0

11.(?112.11213.255

14.2

15.643

16.①②④

17.解：(1)因?yàn)榫匦蜛BCD所在的平面與平面PAB垂直，且平面ABCD∩平面PAB=AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面PAB，

所以∠CPB為直線PC與平面PAB所成的角，且tan∠CPB=BCPB=35，

故∠CPB=arctan35．

(2)根據(jù)題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于AB做出x軸，AB，AD所在直線為y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)BC=a，則P(4,3,0)，C(0,6,a)，B(0,6,0)，D(0,0,a)，

則PC=(?4,3,a),BD=(0,?6,a)，且PC⊥BD，18.解：(1)當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=a12+12+1，解得a1=4，

當(dāng)n=2時(shí)，S2=a1+a2=a22+22+1，解得a2=2，

所以a1+a2=6；

由Sn=an2+n2+1，得2Sn=an+2n2+2，則2Sn+119.解：(1)因?yàn)閍=(3sinx,cosx)，b=(sin(x+π2),cosx)=(cosx,cosx)，

則f(x)=a?b=3sinxcosx+cos2x

=32sin2x+1+cos2x2=sin(2x+π6)+12，

令?π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z，

得?π320.解：(1)由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A(?2,0)，

上頂點(diǎn)為D(0,1)，∴a=2，b=1

故橢圓C的方程為x24+y2=1

(2)依題意，直線AS的斜率k存在，且k>0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k(x+2)，從而M(103,16k3)，由y=k(x+2)x24+y2=1得

(1+4k2)x2+16k2x+16k2?4=0

設(shè)S(x1,y1)，則(?2)×x1=16k2?41+4k2得x1=2?8k21+4k2，從而y1=4k1+4k2

即S(2?8k21+4k2,4k1+4k2)，

又B(2,0)由y=?14k(x?2)x=103得x=103y=?13k，

∴N(103,?13k)，

故|MN|=|16k3+13k|

又k>0，∴|MN|=16k3+13k≥216k3?13k=83當(dāng)且僅當(dāng)16k3=13k，即k=14時(shí)等號(hào)成立．21.解：(1)函數(shù)f(x)=sinx不是其定義域上的“M一類函數(shù)”．

理由如下：

f(x)=sinx的定義域?yàn)镽，f′(x)=cosx，存在x=π3，使得f(π3)>f′(π3)，

故f(x)=sinx不是其定義域上的“M一類函數(shù)”

(2)g(x)=ax+a?1，所以g′(x)=a．

若函數(shù)g(x)=ax+a?1在x∈(0,π)上為“M一類函數(shù)”，

則ax+a?1<a在x∈(0,π)上恒成立，

即a<1x在x∈(0,π)上恒成立．

因?yàn)閥=1x在x∈(0,π)上的值域?yàn)?1π,+∞)，

所以a≤1π，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?∞,1π]；

(3)?′(x)=cosx+a，

依題意有sinx+ax+a?2<cosx+a對(duì)作意的x∈[0,π2]恒成立，

即ax<2+cosx?sinx對(duì)任意的x∈[0,π2]恒成立，

當(dāng)x=0時(shí)，a?0<3，