2023教師版 步步高 大二輪 數(shù)學 新高考專題四 立體幾何

ZHUANTISI

專題四立體幾何

第1講空間幾何體

［考情分析］空間幾何體的結構特征是立體幾何的基礎，空間幾何體的表面積和體積是高考

的重點與熱點，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上.

考點一空間幾何體的折展問題

【核心提煉】

空間幾何體的側面展開圖

1.圓柱的側面展開圖是矩形.

2.圓錐的側面展開圖是扇形.

3.圓臺的側面展開圖是扇環(huán).

例1（1）“莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡.”出自南宋詩人楊萬里的作品《過松源晨炊

漆公店》.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為40km,山高為

40折km,8是山坡SA上一點，且AB=40km.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設一條從A到B的環(huán)

山觀光公路，這條公路從4出發(fā)后先上坡，后下坡，當公路長度最短時，下坡路段長為（）

A.60kmB.12^/6km

C.72kmD.12仃km

答案C

解析該圓錐的母線長為N（4（N記）2+402=160,

所以圓錐的側面展開圖是圓心角光笞滑=方的扇形,

如圖，展開圓錐的側面，連接4'B,

由兩點之間線段最短，知觀光公路為圖中的A'B,A'B=y]SA'2+5B2=^/1602+1202=200,

過點S作A'8的垂線，垂足為H,

記點P為A'8上任意一點，連接PS,當上坡時，P到山頂S的距離PS越來越小，當下坡

時，尸到山頂S的距離PS越來越大,

則下坡段的公路為圖中的“8,

由RtZ\SA'BsRtAHSB,

SB21202

得HB==72(km).

A'『200

（2）（2022?深圳檢測）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=b,A8=l,40=1,

AB±AC,ABA-AD,ZCAE=30°,則cosNrC8等于()

1]33

A.]B.gCgDq

答案D

解析由題意知，AE=AD=AB=\,BC=2,

在中，由余弦定理知,

CE2=AE2+AC2-2AEACCOSZG4E

=1+3-2X1X小X竽=1,

:?CE=CF=1,而BF=BD=巾,BC=2,

???在△BC廠中，由余弦定理知，

BG+C產一C產4+1—23

cosZFCB=_2BCCF—=2X2X1=4'

規(guī)律方法空間幾何體最短距離亞題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉化成求平面

中兩點間的最短距離問題，注意展開后對應的頂點和邊.

跟蹤演練1（1）（多選）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中

正確的是（）

A

A.CGGH

B.8與EF是共面直線

C.AB//EF

D.G”與E尸是異面直線

答案ABD

解析由圖可知，還原正方體后，點C與G重合，

即CRGH,

又可知8與E尸是平行直線，即CO與E尸是共面直線，48與E尸是相交直線（點B與點尸

重合），GH與灰是異面直線，故A,B.D正確，C錯誤.

⑵如圖，在正三棱錐產一ABC中，ZAPB=ZBPC=ZCM=30°,PA=PB=PC=2f一只蟲

子從A點出發(fā)，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（）

A.3^2B.3s

C.2小D.2啦

答案D

解析將三棱錐由布展開，如圖所示，則乙4%尸90。

所求最短距離為AAi的長度，：以二？,

，由勾股定理可得

A4I=^/22+22=2V2.

，蟲子爬行的最短距離為2啦.

考點二表面積與體積

【核心提煉】

1.旋轉體的側面積和表面積

（1）Sfflu?=2?tr/,SKi"=2"（r+/）（r為底面半徑，/為母線長）.

（2）S困體制=冗/7,Su理表=”（「+/）（「為底面半徑，/為母線長）.

（3）5率先=4兀R2（R為球的半徑）.

2.空間幾何體的體積公式

（l）Vu=S/?（S為底面面積，〃為高）.

（2）丫染=/$〃（5為底面面積，九為高）.

⑶丫臺斗S上+、S上$+S下冽S上,SF為底面面積，〃為高）.

4

（4匹球=鏟/?3（星為球的半徑）.

例2（1）（2022?全國甲卷）甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2心側

面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.噂=2,則行等于（）

A.小B.2\[2C.y[\0

答案C

解析方法一因為甲、乙兩個圓錐的母線長相等，所以結合券=2,可知甲、乙兩個圓錐

3乙

側面展開圖的圓心角之比是2：1.

不妨設兩個圓錐的母線長為/=3,甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為，1,冷，高分別為囪，

力2,

則由題意知，兩個圓錐的側面展開圖剛好可以拼成一個周長為6兀的圓，

所以2”|=4兀，2口2=2兀，得門=2,〃=1.

由勾股定理得，

hi=*_R=3,力2=、？_/=2&,

V,"用W5

所以，「輔J?=<10.

方法二設兩圓錐的母線長為/,甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為內，「2,高分別為加，亞,

側面展開圖的圓心角分別為加，

rmJ_S中itril27r

則由￡=麗=遜=2，

2n

由題意知〃1+〃2=2兀，

所以〃1=專，〃2=冬，

所以2?！?專/,2nr2=^/,

由勾股定理得，小=＜附=乎/,

hi=鄧一區(qū)=42/，

（2）（多選）（2022?新高考全國II）如圖，四邊形ABC。為正方形，EO_L平面A8CO,FB//ED,

AB=EO=2FB.記三棱錐E—ACO,F-ABC,尸一ACE的體積分別為H，V2,丫3，則（）

答案CD

解析如圖，連接B。交AC于O.連接OE,OF.

A

B

設43=EQ=2尸4=2,

則AB=BC=CD=AD=2t

FB=\.

因為EOJ■平面ABC。，F(xiàn)B〃ED,

所以尸5_L平面ABC。，

所以Vi=METCD=；SMCZTED=gX^ADCD-ED=gX；X2X2X2=',

====

V2VF-J\BC"^SAABCFB2^3XX2X2X1=亍

因為EO_L平面A3CO,ACU平面ABC。，

所以。LAC,

又AC_L8。，

且EDCBD=D,ED,BDU平面BDEF,所以AC_L平面BDE尸.

因為。&OFU平面8DEF,

所以4C_LOE,ACLOF.

易知AC=80=表48=2限，

OB=OD=/D=巾,

OF=7OB2+FB2=小,

OE^OI^-^ED2=#,

EF'=y/BD2+(ED~F'B)2

=、(2何+(2T)2=3,

所以E產nO/+O尸，所以。ALOE.

XOEOAC=O,0EtACU平面4CE,

所以O/_L平面ACE,

所以V3=VF-ACE=^ACEOF

=gx14coEOF

=；X3X2mX旗X方=2,

所以Vi^V3,V3=VI4-V2,2V3=3VI,

所以選項A,B不正確，選項C,D正確.

規(guī)律方法空間幾何體的表面積與體積的求法

⑴公式法：對于規(guī)則的幾何體直接利用公式進行求解.

(2)割補法：把不規(guī)則的圖腦分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不

熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體.

（3）等體積法：選擇合適的底面來求體積.

跟蹤演練2（1）已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值*,SA與圓錐底面所成

角為45。，若ASAB的面積為5，石，則該圓錐的側面積為（）

A.8即兀B.40

C.40vLiD.44幾

答案C

7

解析由圓錐的頂點為S,母線S4,SB所成角的余弦值為《

可得sin/ASB=q1一勵=華,

又ASAB的面積為5代，

可得Ts/PsinNASB=5如，

即上不義誓=5巫，可得SA=4小，

由SA與圓錐底面所成角為45。，

可得圓錐的底面半徑為坐義44=2回，

則該圓錐的側面積為兀X2#5X4#=4M兀

⑵（2022.連云港模擬）如圖是一個圓臺的側面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2,則該

圓臺的體積是（）

答案B

解析如圖，設上底面的半徑為幾下底面的半徑為R,高為小母線長為/,

則2兀/=於1,2花/?=兀?2,

解得r=2fR=L

Z=2-l=l,

上底面面積s'=兀?&=：，

下底面面積5=7ll2=7T,

則該圓臺的體積為:(S+S'+病")h=

氯若+飄狂驟

考點三多面體與球

【核心提煉】

求空間多面體的外接球半徑的常用方法

⑴補彩法：側面為直角三角形，或正四面體，或對棱均相等的模型，可以還原到正方體或長

方體中去求解；

(2)定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心,

找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點距離也是半徑，列關系式求解即可.

例3(1)(2022?煙臺模擬)如圖，三棱錐V-4BC中，論J_底面ABC,ZB4C=90°,AB=AC

=VA=2,則該三棱錐的內切球和外接球的半徑之比為()

A.（2-巾）：IB.（26一3）：I

C.（小一1）:3D.（小一1）:2

答案C

解析因為例_L底面ABC,AB,ACU底面ABC,

所以%_LA8,VA±AC,

又因為NB4C=90。，

所以ABJ_AC,而48=AC=%=2,

所以三條互相垂直且共頂點的棱，可以看成正方體中共頂點的長、寬、高，因此該三棱錐外

接球的半徑

/?=1X^22+22+22=V3?

設該三棱錐的內切球的半徑為r,

因為N84C=90°,

所以BC^AB^AC2=^/22+22=2^2,

因為%_LAB,VALAC,AB=AC=VA=2t

所以VB=VC=yjVA2+AB2=A/22+22=2^2,

由三棱錐的體積公式可得，

3X|X}X2X2.X9X2吸X2小X半?r=；X：X2X2X2=>r

3—

所以r：R=3V:小=（小T）：3.

（2）（2022?新高考全國H）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為34和4小，其頂點

都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.12阮

C.1447cD.1927r

答案A

解析由題意，得正三棱臺上、下底面的外接圓的半徑分別為，坐X35=3,，坐X45

=4.

設該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為Ol,。2,連接。。2（圖略），則。1。2=1,其外接

球的球心O在直線。Q上.

設球。的半徑為R,當球心O在線段。。2上時，/?2=32+。0彳=42+（1—。。］）2,

解得00|=4（舍去）；

當球心O不在線段as上時，R2=42+oa=32+（i+05）2,解得05=3,

所以昭=25,

所以該球的表面積為4冗/?2=10（）兀

綜上，該球的表面積為1007T.

規(guī)律方法（1）求錐體的外接球問題的一般方法是補形法，把錐體補成正方體、長方體等求解.

（2）求錐體的內切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑.

跟蹤演練3（1）（2022?全國乙卷）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點

均在球。的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）

A.1B.y

答案c

解析該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點0組成的圓錐體積最大.

設圓錐的高為〃(0</2Vl),底面半徑為,，

則圓錐的體積V=^Ttrh=j7t(1—h2)h,

則V'=%(1—3")，

令V'=1n(l—3/i2)=0,得〃=坐，

所以V=/r(l—〃2)〃在(o,乎)上單調遞增，

在惇，1)上單調遞減，

所以當4=當時，四棱錐的體積最大.

(2)(2022?衡水中學調研)將兩個一模一樣的正三棱錐共底面倒扣在一起，已知正三棱錐的側棱

長為2,若該組合體有外接球，則正三棱錐的底面邊長為,該組合體的外接球的體

積為.

答案乖耳￡

解析如圖，連接附交底面8。于點O,則點O就是該組合體的外接球的球心.

P

A

設三棱鏈的底面邊長為a

則CO=PO=R=^a,

得，3。=2,

所以R=巾,

所以V=T7t-(y/2)3=3^,

專題強化練

一、單項選擇題

1.（2022?唐山模擬）圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側面積的比

值為（）

A.1：1B.1：2

C.2：1D.2：3

答案A

解析設球的半徑為r,依題意知圓柱的底面半徑也是r,高是2r,圓柱的側面積為2nr,2r

=4兀3，球的表面積為4加戶，其比例為1:1.

2.（2021?新高考全國I）已知圓錐的底面半徑為也，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的

母線長為（）

A.2B.2y[2C.4D.4觀

答案B

解析設圓錐的母線長為/,因為該圓錐的底面半徑為蟲，所以2%又吸=整，解得1=2小.

3.某同學為表達對“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，

用正方體紙盒包裝，并在正方體六個面上分別寫了“致敬最美逆行”六個字.該正方體紙盒

水平放置的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如圖是該正方體

的展開圖.若圖中“致”在正方體的后面，那么在正方體前面的字是（）

A.最B.美C.逆D.行

答案B

解析把正方體的表面展開圖再折成正方體，如圖，面“致”與面“美”相對，若“致”在

正方體的后面，那么在正方體前面的字是“美”.

4.已知正方體的棱長為2,則三棱錐的體積為（）

48人,

A.gB.gC.4D.6

答案B

解析如圖，三棱錐A-BCG是由正方體截去四個小三棱錐4一4歷。|,

C-BiCiDi,Bi-ABCtDi-ACD形成的,

又匕8CD~A81Gol=2'3=8,

匕一AUa--%-ACD

1]4

=3x2x23=r

4?

所以匕f3=8—4X§=W?

5.(2022?河南聯(lián)考)小李在課間玩耍時不慎將一個籃球投擲到一個圓臺狀垃圾簍中，恰好被上

底口(半徑較大的圓)卡住，球心到垃圾簍底部的距離為5＜而〃，垃圾簍上底面直徑為24a,下

底面直徑為18a,母線長為13小則該籃球的表面積為()

A.154m2B.6；6M2

C.308m2D.616兀/

答案D

解析球與垃圾簍組合體的軸截面圖如圖所示.根據(jù)題意，設垃圾簍的高為山則

h==(13a)2—(⑵-9a)2=WT5a.

所以球心到上底面的距離為qiOa.

設籃球的半徑為一，

則戶=10^2+(12^)2=154^2.

故籃球的表面積為4兀戶=616必2.

6.(2022?湖北聯(lián)考淀義：24小時內降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度.其中小雨(〈10mm),

中雨(10mm?25mm),大雨(25mm?50mm),暴雨(50mm?100mm),小明用一個圓錐形容

器接了24小時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級()

>-200mm—H

300mm

150mm

A.小雨B.中雨

C.大雨D.暴雨

答案B

解析由題意知，一個半徑為第=IOO(mm)的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為絆義察=

50(mm),高為150(mm)的圓錐，

所以積水厚度4=^----丫1i—=l2.5(mm),.屬于中雨.

7cxinuAu-

7.(2022?八省八校聯(lián)考)如圖，已知正四面體A8CO的棱長為1,過點B作截面。分別交側棱

AGA。于E,/兩點，且四面體ABEF的體積為四面體A8C。體積的小則E尸的最小值為()

答案D

解析由題知VB-AEF='2VB-ACDI

所以SAA￡/=§SAACD=1X/XIX1X曰

記EF=a,AE=b,AF=ef

則gbcsin60。=書，即6c=g.

則a2=b2-kc2—2bccos60°^2bc—bc=bc=^,

當且僅當方=c=乎時取等號，

所以。即石戶的最小值為坐.

8.（2022?新高考全國I）已知正四梭錐的側棱長為/,具各頂點都在同一球面上.若該球的體

積為36冗，且3W/W3小，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A[18,J-]B已用

「27641

C[不—JD.[18,27]

答案C

解析方法一如圖，設該球的球心為O,半徑為R,正四棱錐的底面邊長為°,高為小

依題意，得36兀=%/?3,

解得R=3.

卜=今+徐）,

由題意及圖可得彳

R2=（h-R）2+\-

^=2^—-

I1O

所以正四棱稚的體積V-p/7

5戶-獻=&Y）（3W/W3回

所以/=^_g=*（4_￡）（3W/W3V5）.

令V=0,得/=2加，

所以當3W/<2#時，S>0；

當2#</W琬時，V<0,

所以函數(shù)V=g（2一合（3W/W3小）在[3,2優(yōu)）上單調遞增，在（2#,3小]上單調遞減,

27

又當/=3時，丫=彳；

當/=2%時，V=y；

當/=3小時，丫=停

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是匡y.

方法二如圖，設該球的球心為。半徑為R,正四棱錐的底面邊長為m高為〃,

a

I）

4

依題意，得36兀=鏟R3,

解得R=3.

卜=今+信）,

由題意及圖可得彳

[R2=（〃_R）2+凈）,

〃2R6，

解得JM

標=2展R

11O

又3W/W36

所以該正四棱錐的體積V=^a2h

=歌一給（=船0

=72X套套（2—給

W72X國嚏+（2-創(chuàng)號

L3J

（當且僅當蕓=2—/，即/=2加時取等號），

所以正四棱錐的體積的最大值為號，排除A,EhD.

方法三如圖，設該球的半徑為凡球心為。，正四棱錐的底面邊長為G,高為/2,正四棱錐

的側核與高所成的角為仇

依題意，得36兀=%/?3,

解得R=3,所以正四棱錐的底面邊長。=，5/sin。，高力=/cos。

在△。尸。中，作OE_LPC,垂足為E,

I

則可得cosO=1=（￡坐］,

所以/=6cos8,

所以正四棱錐的體積

丫=；〃力=/出公畝【cos0

=§（6cos毋sin2%os0=144（sin^cos202.

設sin0=t,易得zG坐］,

則y=sinOco^0=t{\—P）=f—P,

則y，=1-3戶.令＜=0,得尸坐，

所以當上70亭時，＜＞0；

當拿唐時，〈〈①

所以函數(shù)），=￡一戶在用上單調遞增，在停，坐）上單調遞減.

又當尸乎時，y=2展；當f=：時，y=|；

當片當時,y=吟,

所以坐W），W挈，所以/竽.

~2764~

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是彳，y.

二、多項選擇題

9.（2022.武漢模擬）一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等,

下列結論正確的是（）

A.圓柱的側面積為4兀巾

B.圓錐的側面積為2兀/?2

C.圓柱的側面積與球的表面積相等

D.球的體積是圓錐體積的兩倍

答案ACD

解析對于A,???圓柱的底面直徑和高都等于2R,

???圓柱的側面積SI=2TTR2R=4兀心，故A正確；

對于B,???圓錐的底面直徑和高等于2R,

，圓錐的側面積為

S2=RR、R2+4R2=島R2,故B錯誤；

對于C,圓柱的側面積為$=4兀？，

球的表面積S3=4兀&，即圓柱的側面積與球的表面積相等，故C正確；

對于D,球的體積為修=%/已

I?

圓錐的體積為丫2=鏟心2/?=§成\

即球的體積是圓錐體積的兩倍，故D正確.

10.設一空心球是在一個大球（稱為外球）的內部挖去一個有相同球心的小球（稱為內球），已知

內球面上的點與外球面上的點的最短距離為1，若某正方體的所有頂點均在外球面上且所有

面均與內球相切，則（）

A.該正方體的棱長為2

B.該正方體的體對角線長為3+小

C.空心球的內球半徑為小一1

D.空心球的外球表面積為（12+班）兀

答案BD

解析設內、外球半徑分別為r,R,則正方體的棱長為2r,體對角線長為2R,???/?=巾r,

又由題知R—r=l,

-^3±3

??*2，/12，

，正方體棱長為小+1,體對角線長為3+小，

，外接球表面積為4n/?2=（12+6^3）71.

11.如圖，已知四棱臺ABCO-ABiG。的上、下底面均為正方形，其中48=啦,

AAi=BB\=CC\=DD\=2,則下列敘述正確的是（）

A.該四棱臺的高為小

B.AAi.LCC]

C.該四棱臺的表面積為26

D.該四棱臺外接球的體積為竽

答案AD

解析將四棱臺補為如圖所示的匹棱錐P—ABCO,分別取BC,SG的中點E,昂,

記四棱臺ABCO-A/iG。的上、下底面中心分別為5,O,連接4C,AiG,3。，BiD）,

A。，OE,OP,PE,

由條件知4,B1,Ci,Oi分別為四棱錐的側棱以，PB,PC,PD的0點，

則B4=2A4i=4,OA=^4B=0iBi=2,

所以001=滎0=^\/^^^^=\5，

故該四棱臺的高為小，故A正確；

由必=PC=4,AC=4,得△附C為正三角形，

則AAi與CG所成角為60。，故B錯誤；

四棱臺的斜高/?'=^PE=^IPO2-^-OE2

=以（242+（何=卑

所以該四棱臺的表面積為

（2低2+（的2+4X、彳2,X羋

=10+6＞「，故C錯誤；

由△孫（；為正三角形，易知O4=OA=OC=OG,O8i=OOi=OB=。力，

47t

所以。為四棱臺外接球的球心，且外接球的半徑為2,所以該四棱臺外接球的體積為了X23

=苧，故D正確.

12.（2022?聊城模擬）用與母線不垂直的兩個平行平面截一個圓柱，若兩個截面都是橢圓形狀,

則稱夾在這兩個平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之

間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長半軸長與短

半軸長乘積的幾倍，已知某圓柱的底面半徑為2,用與母線成45。角的兩個平行平面去截該圓

柱，得到一個高為6的斜圓柱，對于這個斜圓柱，下列選項正確的是（）

A.底面橢圓的離心率為乎

B.側面積為24啦幾

C.在該斜圓柱內半徑最大的球的表面積為367r

D.底面積為4&兀

答案ABD

解析不妨過斜圓柱的最高點。和最低點8作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的幾

何體是圓柱，如圖，矩形ABCO是圓柱的軸截面，平行四邊形8尸DE是斜圓柱的過底面橢圓

的長軸的截面，

由圓柱的性質知NAB尸=45。，

則BF=pAB,

設橢圓的長軸長為2m短軸長為幼，

則竊=也-2兒即°=尤瓦

c=y1a2—b2=\j^~^^^2=2G1

所以離心率為e=m=除,A正確；

C44

作EGLBF,垂足為G,則EG=6,

易知NEBG=45。，則85=地，

又CE=AF=AB=4,

所以斜圓柱側面積為S=2兀X2X（4+N5）-2%X2X4=24&mB正確；

由于斜圓柱的兩個底面的距離為6,而圓柱的底面直徑為4,所以斜圓柱內半徑最大的球的半

徑為2,球的表面積為47cx22=16n,C錯誤；

易知2b=4,則力=2,。=2/，

所以橢圓面積為nab=4y[2it,D正確.

三、填空題

13.（2022?湘潭模擬）陀螺是中國民間的娛樂工具之一，也叫做陀羅.陀螺的形狀結構如圖所示,

由一個同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長分別為

h\,如，「，且hi=h2=r,設圓錐體的側面積和圓柱體的側面積分別為$和S2,則費=，

答案坐

解析由題意知,

圓錐的母線長為1=7城+產=小八

則圓錐的側面積為S\=nrl=y[2Ttr,

根據(jù)圓柱的側面積公式，可得圓柱的側面積為

S2=2nrh2=2nr2,所以3=乎.

022

14.（2022?福州質檢）在正三棱柱HBC—481G中，AB=AAi=2,尸是線段AS上的動點，

則AF+FCi的最小值為.

答案乖十小

解析依題意，把正三棱柱ABC-AiBtQ的上底面△4EC與側面矩形ABBiAt放在同一平

面內，連接AG,設AG交4閏于點E如圖，

此時點/可使AF+尸G取最小值，大小為4G,而NA4Ci=150。，

則ACi=^/AA?+AiC?-2A4IA1CicosZAAiCi

=、22+22-23cos150°

=、8+45=#+啦,

所以4尸+尸G的最小值為#

15.某同學在參加《通用技術》實踐課時，制作了一個實心工藝品（如圖所示）.該工藝品可以

看成是一個球體被一個棱長為4的正方體的6個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重

合），其中一個截面圓的周長為3〃，則該球的半徑為：現(xiàn)給出定義：球面被平面所

截得的一部分叫做球冠.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠

的高.如果球面的半徑是R,球冠的高是心那么球冠的表面積計算公式是S=2兀股.由此可

知，該實心工藝品的表面積是_______.

解析設截面圓半徑為「，則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半，即此距離為2,根

3

據(jù)截面圓的周長可得3兀=2”,得『家

故中=3+22=年25，得R’5，

所以球的表面積S=25兀

如圖，OA=OB=y且。0]=2,

則球冠的高h=R—OO\=^,

得所截的一個球冠表面積S=2TTR力=2兀乂京3=:，且截面圓的面積為九X.三當

所以工藝品的表面積為4瓦/?2—6（S—引=25兀一竽=效3

16.（2022?開封模擬）如圖，將一塊直徑為2小的半球形石材切割成一個正四棱柱，則正四棱柱

的體積取最大值時，切割掉的廢棄石材的體積為.

答案2小兀一4

解析設正四棱柱的底面正方形邊長為。，高為h,則底面正方形的外接圓半徑

:./+戶=力2+52=3,

：.a2=6-2h\

，正四棱柱的體積V=標力=（6—2h2）h=一2〃+6/:（0</?<^3）,

：.V'=-6今+6=—6（力+1）（人一1）,

???當0<%<1時，V>0；當1</?<小時，Vr<0；

，丫=-2〃+6/?在（0,1）上單調遞增，在（1,小）上單調遞減,

***Vmax=V（1）=4,

7

又半球的體積為鏟x（?。?=25兀，

，切割掉的廢棄石材的體積為2小兀一4.

第2講空間點、直線、平面之間的位置關系

［考情分析］高考對此部分的考查，一是空間線面關系的命題的真假判斷，以選擇題、填空

題的形式考查，屬于基礎題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關系交匯綜合命題，一

般以選擇題、填空題或解答題的第（D問的形式考查，屬中檔題.

考點一空間直線、平面位置關系的判定

【核心提煉】

判斷空間直線、平面位置關系的常用方法

（D根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷，解決問題.

（2）必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關系，并

結合有關定理進行判斷.

例1（1）（多選）己知加，〃是兩條不同的直線，Q,￡是兩個不同的平面，則下列說法正確的

是（）

A.若?！ā?“UQ,〃u夕，則機//〃

B.若機_La,m//n,nA-p,則

C.若a_L4,〃zUa,〃u￡,則m_L〃

D.若加_La,〃?〃〃，n〃仇則0_1_夕

答案BD

解析A選項，兩個平行平面內的兩條直線，可能平行，或者異面，A選項錯誤；

B選項，若w±a,nA.p,則直線m,n對應的方向向量m,n可看作a,/?的法向量，由于m//n,

又a,夕是兩個不同的平面，則夕，故B選項正確；

C選項，若兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于兩個平面交線的直線才垂直于另一個平

面，從選項中無法判斷〃和交線的位置關系，因此〃，?〃可能相交但不垂直，平行，異面

但不垂直，C選項錯誤；

D選項，若mU0,又m±a,根據(jù)面面垂直的判定定理，即有a邛、若由于m//n,〃〃小

則〃?〃人過加任作一個平面，使其和￡相交于直線C,根據(jù)線面平行的性質定理，〃2〃C,

又m工a,則c_La,結合cU仇即a_L4故D選項正確.

（2）（多選）（2022?金麗衢十二校聯(lián)考）每個面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖.若點

G,H,M,N分別是正八面體A8CQE產的棱。七，BC,ADfA產的中點，則下列結論正確的

是（）

A.四邊形AECF是平行四邊形

B.G”與MN是異面直線

C.G”〃平面EAB

D.GHLBC

答案AC

解析連接AC,EF,RD,MH,EH,EM,則AC與所相交且相互平分，故四邊形AECF

為平行四邊形，故A正確；

所以AE〃。尸.又G,H,M,N分別是正八面體ABCDE/的棱OE,BC,AD,8尸的中點，

所以GM〃AE,NH//CF,

且GM=：AE,NH=：CF,

所以GM〃NH,且GM=NH,

所以四邊形MNHG是平行四邊形，故B錯誤；

易證平面MNHG〃平面EAB,

又G"u平面MNGH,

所以G”〃平面E48,故C正確；

因為E//_LBC,MHA.BC,EHCMH=H,

所以平面EMH,

而GHQ平面EMH,GHC\EH=H,

所以GH與BC不垂直，故D錯誤.

規(guī)律方法對于線面關系的存在性問題，一般先假設存在，然后再在該假設條件下，利用線

面位置關系的相關定理、性質進行推理論證，尋找假設滿足的條件，若滿足，則假設成立；

若得出矛盾，則假設不成立.

跟蹤演練1（1）（多選）（2022.湖南師大附中模擬）在長方體ABC。一A由iGd中，直線AC與

平面45。的交點為M,O為線段5。的中點，則下列結論正確的是（）

A.A,M,。三點共線

B.M,O,A，4四點共面

C.B,Bi，。，"四點共面

D.A,O,C,M四點共面

答案ABD

解析如圖，因為4h〃CG,則A,Ai,Ci,。四點共面.

因為M￡AC,所以平面ACC1A1,又平面人小。，則點M在平面ACG4與平面

的交線上，

同理，。，A也在平面ACGA］與平面ASA的交線上，

所以4,M,。三點共線，從而M,。，Ai,4四點共面，4,O,C,"四點共面.

由長方體性質知，0M,85是異面直線，即8,Bi,O,M四點不共面.

(2)設點E為正方形ABC。的中心，M為平面AB8外一點，AMAB為等腰直角三角形，且

NMAB=90。，若尸是線段MB的中點，則()

A.ME于DF,且直線ME,?！ㄊ窍嘟恢本€

B.ME=DF,且直線ME,。r是相交直線

C.MEWDF,且直線ME,。尸是異面直線

D.ME=DF,且直線ME,。尸是異面直線

答案B

解析連接E凡

如圖所示，

由題意知48_LA￡>,

AM=AD,

AB=ABt

則Rt^BAM^Rt^BAD,

所以BM=BD,

因為E,尸分別為B。，8M的中點，貝UE尸〃OM,

因為FM=^BM=^BD=DE.

故四邊形FMOE是等腰梯形，

所以ME=OF,且直線ME,。產是相交直線.

考點二空間平行、垂直關系

【核心提煉】

平行關系及垂直關系的轉化

面面平行的判定

1~~I

線線|段面平行的判定J線面［面面平行的判定J面面

平行&面平行的性質行|,面面平行的性看平行

~T^

面面平行的性質

面面套直的判定

例2如圖，四邊形44GC為矩形，四邊形CG818為菱形，且平面CG8|8"L平面AACiC,

D,E分別為邊4囪，GC的中點.

(1)求證：BGJ_平面48C；

(2)求證：OE〃平面ABC.

證明(I)二?四邊形A4CC為矩形，

AAC1C1C,

又平面CGBB_L平面AAiCiC,

平面CGB/C平面AA}C\C=CC\,

???AC_L平面CCi&B,

〈GBU平面CC歸山，Z.AClCiB,

又四邊形CG88為菱形，???SC_LBG,

VBiCnAC=C,ACU平面AB1C,

BiCU平面ABC,

.,.BGJ■平面AB\C.

(2)如圖，取A4]的中點F,連接Z)凡EF,

???四邊形AAiGC為矩形,E,尸分別為GC,AAi的中點,

.\EF//ACt又EPQ平面ABC,平面ABC,

???EF〃平面ABC,

同理可得。尸〃平面ABiC,

???EFCDF=F,E尸u平面OE尸，D尸u平面OE尸，,平面。即〃平面ABC,

?：DEU平面DEF,:.DE//平面AB\C.

規(guī)律方法(1)證明線線平行的常用方法

①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質定理；④面面平行的性質定理.

(2)證明線線垂直的常用方法

①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質證線線垂直.

跟蹤演練2(2022?西安模擬)如圖，在直三棱柱4BC—4BiG中，M,N分別是線段A],

AG的中點.

(1)求證：MALLA41；

(2)在線段8儲上是否存在一點尸，使得平面MNP〃平面A4C’?若存在，指出點尸的具體位

置；若不存在，請說明理由.

(I)證明連接4C,如圖，因為在直三棱柱A8C-AICi中，"CC為平行四邊形，

故4c和AG相交，且交點為它們的中點N,

又因為M為48的中點，

所以MN為△48C的中位線，

所以MN〃8C.

因為A4i_L平面ABC,BCU平面ABC,

所以AAi_L8C,所以A4]_LMN,

即MNLAAi.

⑵解存在，當尸為8G的中點時，

平面MNP〃平面48c.

連接PN,PM,如圖，

因為N為AG的中點，P為BCx的中點,

所以PN〃A8,

又PNQ平面ABC,

ABU平面ABC,

所以PN〃平面ABC,

又由(1)知MN〃BC,8CU平面ABC,

MNQ平面ABC,故MN〃平面ABC,

又MNCPN=N,MN,PNU平面PMN,

所以平面MNP〃平面ABC.

考點三翻折問題

【核心提煉】

翻折問題，關鍵是分清翻折前后圍形的位置和數(shù)量關系的變與不變，一般地，位于“折痕”

同側的點、線、面之間的位置和數(shù)量關系不變，而位于“折痕”兩側的點、線、面之間的位

置關系會發(fā)生變化：對于不變的關系應在平面圖形中處理，而對于變化的關系則要在立體圖

形中解決.

例3(1)(2022?南寧模擬)已知正方形ABC。中七為AB中點，”為AD中點，尸，G分別為

BC,CO上的點，CF=2FB,CG=2GD,將△A8O沿著B。翻折得到空間四邊形ABCO,則

在翻折過程中，以下說法正確的是()

A.EF//GHB.E尸與G”相交

C.E尸與GH異面D.EH與FG異面

答案B

解析如圖，由。F=2FB,CG=2GD,

得FG//BD且FG=|BD,

由E為AB中點，”為AO中點，

得EH//BD且EH=^BD,

所以EH〃FG,且EH于FG,

所以四邊形EFG”為梯形.

梯形EFG”的兩腰所，“G延長必交于一點,

所以E尸與GH相交，EH與FG平行,

故選項A,C,D不正確，選項B正確.

（2）（多選）（2022?山東名校大聯(lián)考）如圖，在矩形A8CO中，AB=2AD,E為邊A8的中點，將

△ADE沿直線。石翻折成△4OE.若M為線段4C的中點，則在△4OE翻折的過程中，下面

四個命題中正確的是（）

A.BM的長是定值

B.點”的運動軌跡在某個圓周上

C.存在某個位置，使OE_L4C

D.4不在底面8co上時，M3〃平面

答案ABD

解析如圖所示，取CO的中點尸,

連接MF,BF,AC,

AEB

易得M尸〃40,BF//DEt

???MR平面AQE,AiOu平面AIDE,

???M尸〃平面4OE,

同理可得BF〃平面AiDE,

又MFCBF=F,MF,B尸u平面BME

???平面3MF〃平面AiOE,

「BMU平面BMF,

???BM〃平面4OE,D選項正確；

又NBFM=NAiDE,

M/=：AiO=定值，B/=OE=定值，

由余弦定理知,

MB2=MF2+8產一IMF-BFcosZMFB,

?,.8M為定值，A選項正確；

，點M的運動軌跡在以點B為圓心，BM為半徑的圓周上，B選項正瑜;

〈AC在平面ABCO中的射影在直線AC上，且AC與力E不垂直，

，不存在某個位置，使DE_L4CC選項錯誤.

易錯提醒注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關系.對照前后圖形，弄清楚變與不變

的元素后，再立足于不變的元素的位置關系與數(shù)量關系去探求變化后的元素在空間中的位置

與數(shù)量關系.

跟蹤演練3（多選）如圖，在矩形A3。中,BC=1,AB=x,3。和AC交于點。，將△84。

沿直線BD翻折，則下列說法中正確的是（）

A.存在x,在翻折過程中存在某個位置，使得4B_L0C

B.存在x,在翻折過程中存在某個位置，使得4C_L8。

C.存在x,在翻折過程中存在某個位置，使得AB_L平面ACO

D.存在居在翻折過程中存在某個位置，使得4C_L平面48。

答案ABC

解析當A8=%=1時，此時矩形ABC。為正方形，則AC_LBO,

將△84。沿直線翻折，當平面48￡>_1平面質?。時，

因為OC_L8O,OCU平面BCD,平面ABOn平面8C0=B力，

所以OUL平面AB。，又ABU平面4B。，

所以AB_LOC,故A正確；

又0C1BD,OALBD,且04n0C=0,0AtOCU平面OAC,

所以8O_L平面OAC,又4CU平面04C,所以ACJ_8。，故B正確；

在矩形4BCO中，A3_LAD,AC=W+/,

所以將△B4。沿直線8。翻折時，總有4B_LA。，

取x=g,當將△84。沿直線B。糊折到AC=孚時，有Aj^+AC^BC2,

即AB_LAC,且ACAAO=A,AC,4DU平面ACO,則此時滿足4B_L平面ACO,故C正確;

若AC_L平面ABO,

又AOU平面48Q,則AC_LAO,

所以在△AOC中，OC為斜邊，這與OC=OA相矛盾，故D不正確.

專題強化練

一、單項選擇題

I.（2022.龍巖質檢）已知三條直線a,b,c,若。和。是異面宜線，。和c是異面直線，那么

直線a和c的位置關系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.平行、相交或異面

答案D

解析畫圖分析可知空間直線的三種位置關系均有可能，故D正確.

2.（2022?湖北八市聯(lián)考）設a,尸為兩個不同的平面，則a〃夕的一個充要條件可以是（）

A.〃內有無數(shù)條直線與￡平行

B.a,4垂直于同一個平面

C.a,尸平行于同一條直線

D.a,/?垂直于同一條直線

答案D

解析對于A,a內有無數(shù)條直線與夕平行不能得出a〃夕，以內的所有直線與萬平行才能得

出，故A錯誤；

對于