數學教材梳理兩角和與差的三角函數

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識·巧學1.兩角和與差的余弦在直角坐標系中，以Ox軸為始邊分別作出了角α、β，其終邊分別與單位圓交于點P1（cosα，sinα)、P2(cosβ,sinβ)，則∠P1OP2=α-β，由于余弦函數是以2π為周期的偶函數,所以,我們只考慮0≤α—β＜π的情況,當α-β在其他范圍內時，我們可以通過誘導公式將其轉化到[0,π)范圍內.由已知向量=(cosα，sinα），=(cosβ,sinβ),則·=||｜｜cos（α-β）=cos（α-β）。而另一方面·=cosαcosβ+sinαsinβ，所以cos(α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，這就是兩角差的余弦公式.在公式中用-β代替β就可以得到cos（α+β）=cosαcosβ—sinαsinβ，這就是兩角和的余弦公式。在上面的兩個公式中角α、β可以是任意的值,它們可以是具體的數，也可以是字母，甚至也可以是代數式。在應用公式解題時要注意公式的逆用和變形應用，也特別要注意解題過程中角的變換。應用兩角和與差的余弦公式可以求值、化簡和證明.記憶要訣對于兩角和、差的余弦公式，可用一句話概括公式的右端：“余余，正正,符號異”，即公式的右端是兩角的余弦之積、正弦之積，中間的符號與公式左端中間的符號相反。2.兩角和與差的正弦公式由于sin(α+β）=cos［—(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos（-α)cosβ+sin(—α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ，即sin（α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，這就是兩角和的正弦公式。在兩角和正弦公式中，用-β代替β就可以得到sin(α-β)=sinαcosβ—cosαsinβ,這就是兩角差的正弦公式。在兩角和與差的正弦公式中角α、β也可以是任意的值,它們可以是具體的數，也可以是字母，甚至也可以是代數式。在應用公式解題時也應注意公式的逆用和變形應用，也特別要注意解題過程中角的變換.它們也可應用于求值、化簡和證明。記憶要訣對于兩角和、差的正弦公式的右端可概括為:“正余，余正,符號同"，即公式的右端是兩角的正余弦之積、余正弦之積，中間的符號與公式左端中間的符號相同。3.兩角和與差的正切因為tan（α+β）==,當cosαcosβ≠0時，分子分母同時除以cosαcosβ得tan(α+β）=。以—β代β得tan（α—β)=.上面兩個公式就是兩角和（差）的正切公式。誤區(qū)警示由于正切函數的定義域不是全體實數,所以在應用兩角和與差的正切公式時要特別注意：必須在定義域范圍內使用上述公式.即tanα,tanβ,tan(α±β）只要有一個不存在就不能使用這個公式,只能(也只需)用誘導公式來解。此外還要注意公式的結構，尤其是符號。例如在求75°的正切值時,就不能將75°表示為90°—15°,這是因為90°的正切值不存在.記憶要訣對于兩角和、差的正切公式的右端可概括為：“正正,1積，符號同異”，即公式的右端分式的分子是兩角的正切，分母是1和兩角正切之積，中間的符號從分子到分母與公式左端中間的符號分別相同和相異。在應用兩角和與差的正切公式時，要注意公式變形的應用，特別是下面兩個變形：tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)；tanα-tanβ=tan（α-β)（1+tanαtanβ).聯(lián)想發(fā)散由于在兩角和與差的正切公式中有兩個正切值的和與兩個正切值的積，所以，它們經常與一元二次方程聯(lián)系起來.辨析比較兩角和與差的正弦、余弦公式中的α、β也可以是任意的值，它們可以是具體的數,也可以是字母，甚至也可以是代數式。而兩角和與差的正切公式中的α、β、α±β必須是使公式有意義的角.4。運用兩角和與差的三角公式應注意的問題(1)兩角和與差的三角公式間的聯(lián)系cos(α—β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α-β）=sinαcosβ-cosαsinβsin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ。利用兩角和的正弦與余弦公式兩式相除可得兩角和的正切公式tan（α+β）=,tan（α+β）=tan(α—β)=.①掌握上表中公式的內在聯(lián)系及其推導線索，能幫助理解和記憶公式，是學好這部分內容的關鍵.②熟悉并掌握cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ的推導過程，它是本節(jié)和下一節(jié)所有公式的根源.③誘導公式是兩角和與差三角公式的特例，當α、β中有的整數倍角時直接利用誘導公式即可。(2)對于兩角和與差三角公式的異同要進行對比和分析，便于理解、記憶和應用.①要明確角、函數和排列順序及每一項的符號；②要牢記公式，并能熟練地進行左右兩邊互化；③兩角和差公式是誘導公式的推廣，誘導公式可以看作是兩角和差公式的特例;④兩角和差三角公式主要應用于化簡、證明和求值中.典題·熱題知識點1兩角和與差的余弦公式例1計算(1）cos75°；（2)cos165°.思路分析:（1)(2)中兩角拆成兩個特殊角和差的形式.解:（1）cos75°=cos(30°+45°)=cos30°cos45°-sin30°sin45°=·-·=。(2）cos165°=—cos15°=—cos(60°—45°）=—(cos60°cos45°+sin60°sin45°）=—·-·=-.方法歸納兩角和與差的余弦公式主要起到轉化角的作用，在求值的過程中，特別要注意所要求的值的角與特殊角之間有什么關系，所給的式子中有無公式的影子.例2已知sinα=，cosβ=，求cos(α—β)的值.思路分析：觀察兩角差的余弦公式，在求值前需要求出cosα和sinβ的值，由于兩角的范圍未知,所以在求解的過程中要分類討論。解：∵sinα=＞0，cosβ=＞0,∴α可能在一、二象限,β在一、四象限。若α、β均在第一象限,則cosα=，sinβ=，cos（α-β）=·+·=。若α在第一象限，β在第四象限,則cosα=，sinβ=-，cos（α—β)=·+·（—）=。若α在第二象限，β在第一象限,則cosα=—，sinβ=,cos(α—β）=(—)·+·=-。若α在第二象限，β在第四象限，則cosα=—，sinβ=—,cos（α—β）=（-）·+·(—)=—。方法歸納在解題過程中，可以靈活運用以前學過的公式，對角進行變形，或求角的其他三角函數，以達到應用兩角和差余弦公式的目的.深化升華分類討論的思想方法貫穿于數學的各個部分，當涉及到字母的取值時往往引起分類討論。在本題中所給的數值雖然不是字母,但由于角的范圍不確定，因此也需分類討論。例3已知cos（α+β)=，cos（α—β)=-,＜α+β＜2π，＜α-β＜π，求cos2α，cos2β的值。思路分析：本題利用兩角和與差的余弦公式和已知三角函數值求其他三角函數值的方法.2α=（α+β）+(α-β）；2β=(α+β）-（α-β).解:因為＜α+β＜2π，cos（α+β)=，所以sin（α+β)=—。因為＜α-β＜π，cos(α—β）=—，所以sin（α-β)=.所以cos2α=cos[(α+β)+(α-β)］=cos(α+β)cos(α—β)-sin（α+β）sin(α-β）=×（—)—(—)×=—。cos2β=cos[(α+β)—（α-β）］=cos（α+β)cos（α-β)+sin（α+β)sin（α-β)=×（-）+（—)×=-1。方法歸納在給值求值的題型中，要靈活處理已知與未知的關系，合理進行角的變換，使所求角能用已知角表示出來，所求角的三角函數值能用已知角的三角函數值表示出來。深化升華代換是數學中常見思想，特別是在三角函數中尤為突出?？梢允墙桥c角之間代換,也可以是數與函數值之間,函數值與函數值之間代換。常見的如:10°=30°-20°,1=sin2α+cos2α,=sin60°=cos30°,=cos60°=sin30°,1=tan45°等,在解題時要靈活應用。知識點2兩角和與差的正弦例4不查表，求下列各式的值：（1)sin75°；(2）sin20°cos50°—sin70°cos40°。思路分析：（1）將75°拆成兩個特殊角30°、45°和的形式；（2)逆用公式.（1）解：原式=sin（30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=·+·=.(2）解法一：原式=sin20°cos50°—cos20°sin50°=sin（20°-50°）=sin（-30°)=-.解法二：原式=cos70°cos50°—sin70°sin50°=cos（70°+50°）=cos120°=-。方法歸納與兩角和與差的余弦相同，兩角和與差的正弦公式主要起到轉化角的作用，在求值的過程中，特別要注意所要求的值的角與特殊角之間有什么關系，所給的式子中有無公式的影子.然后利用這種關系，將一般角化為特殊角以達到求值的目的。例5已知sin（α+β）=,sin(α-β）=,求的值。思路分析:兩角和與差的正弦公式很相似,只差一個符號，將sin(α+β)=和sin（α-β)=展開后，聯(lián)立成方程組就可以求出sinαcosβ和cosαsinβ，這兩者之比就是所要求的結果.解：∵sin(α+β）=,∴sinαcosβ+cosαsinβ=.①又∵sin（α—β）=，∴sinαcosβ—cosαsinβ=.②①+②得sinαcosβ=。①—②得cosαsinβ=.所以===4。方法歸納在應用兩角和與差的正弦公式解題時,一定要注意已知條件和所要求的結論之間的內在聯(lián)系，以便在解題時選擇適當的公式和解題方法.例6求的值.思路分析:觀察被求式的函數名稱的特點和角的特點,其中7°=15°—8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.無論采取哪種代換方式，都可減少角的個數。利用和角或差角公式展開，進行約分，化簡求值.若用7°=15°-8°代換，分子、分母是二次齊次式；若用15°=8°+7°或8°=15°—7°代換,分子、分母將會出現三次式,顯然選擇前者更好,不妨比較一下.解法一：原式====tan15°=tan（45°—30°)===。解法二：原式=====tan15°=.深化升華三角函數式的結構一般由角、三角函數符號及運算符號三部分組成，解題的突破口應從這三個方面入手,無論是化簡、求值，還是證明，其結果應遵循以下幾個原則：（1）能求值的要求值;（2)三角函數的種類盡可能少；(3）角的種類盡可能少；（4)次數盡可能低;（5）盡可能不含根號和分母.例7已知3sinα=sin（α+2β），求證：tan（α+β）=2tanβ。思路分析：觀察條件等式和結論等式中的角，條件中含有β、2α+β,結論中含有α+β、α，若從條件入手，可采用角的變換，α=（α+β)-β,2α+β=(α+β)+β，展開后轉化成齊次整式，約分得出結論。證明:∵3sinα=3sin[（α+β)—β］=3sin（α+β)cosβ—3cos(α+β）sinβ,sin(α+2β）=sin［(α+β)+β］=sin（α+β）cosβ+cos(α+β)sinβ，又3sinα=sin(α+2β)，∴3sin（α+β）cosβ-3cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ+cos（α+β)sinβ?！?sin(α+β）cosβ=4cos（α+β）sinβ?！鄑an（α+β)=2tanβ。方法歸納對條件恒等式的證明，若條件復雜，可從化簡條件入手得出結論;若結論復雜，可化簡結論;若條件和結論都較為復雜，可同時化簡它們,直到找到它們間的聯(lián)系。深化升華三角恒等式的證明實質就是由一種結構形式轉化為另一種結構形式.因此證明恒等式的基本思路是：證明等式時必須仔細觀察等式兩邊結構上的差異，然后分析這些差異和聯(lián)系，最后從解決差異入手，施行適當的變換,直至消除這些差異完成恒等式的證明。知識點3兩角和與差的正切例8求下列各式的值:(1）；(2)tan27°+tan18°+tan27°tan18°。思路分析：利用兩角和與差的正切公式，解題時注意1的變換，及公式變形的應用.解：（1）原式==tan(45°—75°)=tan(—30°）=-。(2）∵tan(27°+18°)=，∴tan27°+tan18°=tan(27°+18°）（1-tan27°tan18°）=1—tan27°tan18°?！嘣?1-tan27°tan18°+tan27°tan18°=1。方法歸納本題中的代數式均有公式的影子,在解此類題時要善于將其與公式對比，發(fā)現差異并通過恰當的變形實現與公式結構的統(tǒng)一,以利用公式.尤其在（2）中將公式變形后使用，使解題更具有靈活性。例9設α、β∈（0,)，tanα、tanβ是一元二次方程x2—+=0的兩個根，求α+β.思路分析：利用根與系數的關系求出α+β的正切值，然后根據角的范圍求角.解:由韋達定理，∴tan（α+β)===1.又由α、β∈(0，）,得α+β∈(0,π）?！唳?β=.方法歸納本題的實質是一個給值求角的問題，解決這類問題要注意根據問題給出的三角函數值和角的范圍選擇適當的三角函數,由已知三角函數值求出該角的三角函數值,此外還應判斷角的范圍。問題·探究交流討論探究問題2004年8月2日晚8點，西班牙勁旅皇家馬德里隊與中國龍之隊之間上演了一場“龍馬"大戰(zhàn),上半場皇馬球星菲哥在左邊從我方禁區(qū)附近帶球過人，將球沿直線向前推出,請你和你的同學討論一下，菲哥射門的命中率與他射門的位置有關嗎?如圖3—圖3-1探究過程：學生甲：直觀感覺，菲哥射門的命中率與他射門的位置有關，只是理論是什么不怎么清楚.師：此題實質是一個函數最值問題，問題的關鍵是將命中角的三角函數用某個自變量表示出來，具體該選擇哪個自變量，又怎樣表示,請大家思考一下.學生乙：由于圖中所給圖形為直角三角形，則可選OC長度為自變量x,則∠OCA、∠OCB的正切值就是x的函數了，命中角的正切值也就可以用x表示出來了，具體步驟如下：設OC=x，則tan∠ACB=tan（∠OCA-∠OCB)==。這樣