2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（滬教版2020測試范圍：必修第三冊第十章-十一章）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：滬教版2020必修第三冊第十~十一章。5．難度系數(shù)：0.72。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．不重合的兩個平面最多有條公共直線【答案】1【解析】根據(jù)平面的位置關(guān)系可知，不重合兩平面平行或相交，當(dāng)相交時，有且只有一條公共直線.故答案為：12．已知球的表面積是，則該球的體積為.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為r，則表面積，解得，所以體積，故答案為：3．空間中一個角∠A的兩邊和另一個角∠B的兩邊分別平行，若∠A=，則∠B=;【答案】【解析】如圖，

若角∠A的兩邊和角∠B的兩邊分別平行，且方向相同，則∠A與∠B相等此時；②當(dāng)角∠A的兩邊和角∠B的兩邊分別平行，且一邊方向相同另一邊方向相反，則∠A與∠B互補，此時.故答案為70或110.4．如圖，正三棱柱的底面邊長為2，高為1，則直線與底面所成的角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】【解析】如圖,因為平面,平面,所以,所以為直線與底面所成的角，所以,所以，故答案為：.5．在空間中，給出下面四個命題，其中真命題為．（填序號）①過平面外的兩點，有且只有一個平面與平面垂直；②若平面內(nèi)有不共線三點到平面的距離都相等，則；③若直線與平面內(nèi)的任意一條直線垂直，則；④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線．【答案】③【解析】①過平面外兩點可確定一條直線，當(dāng)這條直線垂直于平面時，有無數(shù)個平面垂直于平面，故①錯誤；②若三點在平面同側(cè)，則；若三點在平面兩側(cè)，則與相交，故②錯誤；③直線與平面內(nèi)的任意一條直線垂直，則垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，由線面垂直的判定定理可得，故③正確；④兩條異面直線在同一個平面內(nèi)的射影有可能是兩條相交直線，也可能是兩條平行直線，還可能是一個點和一條直線，故④錯誤；故答案為：③6．正四棱錐P－ABCD的所有棱長均相等，E是PC的中點，那么異面直線BE與PA所成角的余弦值為.【答案】【解析】如下圖：連接AC交BD于O點，連接OE，則OEPA，所以就是異面直線BE與PA所成的角，連接，因為面ABCD，所以，又因為，，所以面，所以，所以直在角三角形EOB中，設(shè)，則，.故答案為：.7．如圖，有一圓錐形糧堆，其軸截面是邊長為的正，糧堆母線的中點處有一老鼠正在偷吃糧食，此時小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)處捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過的最短路程是.【答案】【解析】解：由題意得：圓錐的底面周長是，則，解得：可知圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是，如圖所示：則圓錐的側(cè)面展開圖中：，，所以在圓錐側(cè)面展開圖中：故答案為：8．已知一球體剛好和圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切，且圓臺上底面的半徑為2，下底面的半徑為1，則該圓臺的側(cè)面積為．【答案】【解析】圓臺的軸截面如下圖示：截面中圓為內(nèi)切球的最大圓，且，，所以，而上下底面周長分別為、，故該圓臺的側(cè)面積為.故答案為：9．如圖，已知三棱柱的體積為3，P，Q，R分別為側(cè)棱，，上的點，且，則.【答案】1【解析】在三棱柱中，易知側(cè)面為平行四邊形，設(shè)其面積為，上的高為，在平行四邊形中，易知四邊形為梯形或平行四邊形，設(shè)其面積為，且其高為，則，在三棱柱中，易知平面，點到平面的距離與點到平面的距離，設(shè)該距離為，連接，作圖如下：則，設(shè)三棱柱的體積，由圖可知，，即，故答案為：.10．已知大小為的二面角的一個面內(nèi)有一點，它到二面角的棱的距離為6，則這個點到另一個面的距離為．【答案】3【解析】如圖，設(shè)二面角為，點，且，過點A作平面，垂足為，連接，∵平面，，∴，又∵，平面ABC，∴平面ABC，平面ABC，則，故二面角的平面角為，在Rt△ABC中，，故點A到平面的距離為3.故答案為：3.11．正方形中，，分別為線段，的中點，連接，，，將，，分別沿，，折起，使，，三點重合，得到三棱錐，則該三棱錐外接球半徑與內(nèi)切球半徑的比值為．

【答案】【解析】在正方形中，，折起后兩兩互相垂直，故該三棱錐的外接球，即以為棱的長方體外接球，不妨設(shè)正方形邊長為2，則，故，則，因為，而該三棱錐的表面積與正方形的面積相同，即，則，即，故，所以.故答案為：.12．空間給定不共面的A，B，C，D四個點，其中任意兩點間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：A，B，C，D中有三個點到的距離相同，另一個點到的距離是前三個點到的距離的2倍，這樣的平面的個數(shù)是___________個【答案】32【解析】首先取3個點相等，不相等的那個點由4種取法；然后分3分個點到平面的距離相等，有以下兩種可能性：（1）全同側(cè)，這樣的平面有2個；（2）不同側(cè)，必然2個點在一側(cè)，另一個點在一側(cè)，1個點的取法有3種，并且平面過三角形兩個點邊上的中位線，考慮不相等的點與單側(cè)點是否同側(cè)有兩種可能，每種情況下都唯一確定一個平面，故共有6個，所有這兩種情況共有8個，綜上滿足條件的這樣的平面共有個，故答案為：32二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正確選項)13．下列幾何體中，多面體是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A選項中的幾何體是球，是旋轉(zhuǎn)體；B選項中的幾何體是三棱柱，是多面體；C選項中的幾何體是圓柱，旋轉(zhuǎn)體；D選項中的幾何體是圓錐，是旋轉(zhuǎn)體.故選B.14．已知兩個平面、，在下列條件下，可以判定平面與平面平行的是（

）．A．、都垂直于一個平面γB．平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平面平行C．l、m是內(nèi)兩條直線，且∥，∥D．l、m是兩條異面直線，且∥，∥，∥，∥【答案】D【解析】對于A，如在正方體中，平面和平面都與平面ABCD垂直，但這兩個平面不平行，所以A錯誤，對于B，如在正方體中，平面和平面，平面中所有平行于交線的直線都與平面平行，但這兩個平面不平行，所以B錯誤，對于C，如在正方體中，平面和平面，分別為的中點，則在平面內(nèi)，且都與平面平行，但這兩個平面不平行，所以C錯誤.對于D，因為l、m是兩條異面直線，所以將這兩條直線平移到共面時，一定在內(nèi)形成兩條相交直線，由面面平行的判定定理可知，該結(jié)論正確．故選：D15．將3個的正方形沿鄰邊的中點剪開分成兩部分（如圖1）；將這6部分接于一個邊長為的正六邊形邊上（如圖2），若拼接后的圖形是一個多面體的表面展開圖，則該多面體的體積是（

）

A． B．864 C．576 D．【答案】B【解析】折成的多面體如圖①所示，將其補形為正方體，如圖②，所求多面體體積為正方體的一半，又依題易求得正方體的邊長為，故

故選：16．如圖，在正方體中，是棱的中點，是側(cè)面上的動點，且平面．設(shè)與平面所成的角為與所成的角為，那么下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為的最小值為B．的最小值為的最大值為C．的最小值大于的最小值大于D．的最大值小于的最大值小于【答案】A【解析】如圖，取的中點，連接；設(shè)正方體的棱長為，因為，且平面，平面，平面；同理平面，且；∴平面平面，∴;∵面，所以與平面所成的角為；又，所以與所成的角為（或其補角）；；當(dāng)為中點時，此時最小，則最大，最大值為，此時的最大值為；當(dāng)與或重合時，此時最大，則最小，最小值為2，此時的最小值為；，；對于，當(dāng)為中點時，；當(dāng)與或重合時，最小，又，，，，，故A正確，BC錯誤，又，，所以D選項錯誤.故選：A.三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．如圖，長方體中，，，點為的中點.(1)求證：直線平面PAC；(2)求異面直線與AP所成角的大小.【解析】（1）設(shè)和交于點，則為的中點，連接，（1分)∵是的中點，∴，(3分)又∵平面，平面，∴直線平面；(6分)（2）由(1)知，，∴即為異面直線與所成的角，(8分)∵，，且，∴．又，∴故異面直線與所成角的大小為．(14分)18．如圖，在圓柱中，底面直徑等于母線，點在底面的圓周上，且，是垂足．(1)求證：；(2)若圓柱與三棱錐的體積的比等于，求直線與平面所成角的大?。窘馕觥浚?）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面，因為平面，所以，又因為是圓柱底面的直徑，點在圓周上，所以，因為且平面，所以平面，(2分)又因為平面，所以，因為，且，且平面，所以平面，又因為平面，所以．(6分)（2）解：過點作，是垂足，連接，根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面平面，且平面平面,且平面，所以平面，因為平面，所以是在平面上的射影，從而是與平面所成的角，(8分)設(shè)圓柱的底面半徑為，則，所以圓柱的體積為，且，由，可得，可知是圓柱底面的圓心，且，且，在直角中，可得，所以．(14分)19．如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.

(1)求證：直線EC與平面ABD沒有公共點；(2)求點C到平面BED的距離.【解析】（1）取的中點，連接、，如圖，

依題意，在中，，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且，因為平面，且，則有，且，從而得四邊形為平行四邊形，，(4分)又平面，平面，則平面，所以直線EC與平面ABD沒有公共點；(6分)（2）因為平面，平面，所以，因為，，平面所以平面因為，于是得平面，因為平面，平面，所以，(8分)因為，所以，則等腰底邊上的高，，而，設(shè)點C到平面BED的距離為d，由得，即，解得，所以點C到平面BED的距離為1(14分)20．如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，底面是邊長為2的等邊三角形，PB=PD=，AP=4AF（1）求證：PO⊥底面ABCD（2）求直線與OF所成角的大小.（3）在線段上是否存在點，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.【解析】（1）因為底面是菱形，且，所以O(shè)為AC，BD中點，在中，PB=PD，可得PO⊥BD，因為在中，PA=PC，O為AC，BD中點，所以PO⊥AC，(3分)又因為ACBD=O，所以PO⊥底面ABCD.(4分)（2）連接OF，取AP中點為E，連接OE，因為底面ABCD是菱形，ACBD=O，由O為AC中點，且E為AP中點，AP=4AF，所以F為AE中點，所以CPOE.，故∠EOF為直線與OF所成的角，(8分)又由為等邊三角形，且E為中點，所以∠EOF=.(10分)（3）存在，，連接CE，ME，因為AP=4AF，E為AP中點，所以，又因為，所以在中，，即EMBF，(12分)因為EM平面BDF，BF平面BDF，所以EM平面BDF，由（2）知ECOF，因為EC平面BDF，OF平面BDF，所以EC平面BDF，因為ECEM=E，所以平面EMC平面BDF，因為CM平面EMC，所以CM平面BDF.(18分)21．在棱長均為2的正三棱柱中，E為的中點．過AE的截面與棱分別交于點F，G．

(1)若F為的中點，試確定點G的位置，并說明理由；(2)在（1）的條件下，求截面AGEF與底面ABC所成銳二面角的正切值；(3)設(shè)截面AFEG的面積為，面積為，面積為，當(dāng)點F在棱上變動時，求的取值范圍．【解析】（1）在平面內(nèi)延長，相交于點P，則平面，又平面，則有平面平面，，即A，G，P三點共線．(2分)因為E為的中點，F(xiàn)為的中點，所以，所以，又因為，所以，所以，即點G為棱上靠近點的三等分點．(4分)（2）在平面內(nèi)延長，相交于點Q，連接，則平面平面，在平面內(nèi)作于點M，則平面ABC，又平面，所以，