2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題01（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)：空間向量與立體幾何 直線與圓 圓錐曲線）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)全冊(cè)（空間向量與立體幾何+直線與圓+圓錐曲線）。5．難度系數(shù)：0.60。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樵撝本€的斜率為，所以它的傾斜角為.故選A.2．在四面體中，，，，為的重心，在上，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，因?yàn)椋裕?，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以，故選C.3．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，直線與平行；當(dāng)直線與直線平行時(shí)，有且，解得，故“”是“直線與直線平行”的充要條件.故選A.4．直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】如圖，由圓配方得，，知圓心為,半徑為，過(guò)點(diǎn)作于，由到直線的距離為,則,故的面積為.故選B.5．雙曲線的一條漸近線為，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】由雙曲線方程易知C的漸近線為，所以，則.故選C.6．已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，所以，兩式相減可得，整理可得，根據(jù)題意可知直線的斜率為，由的中點(diǎn)坐標(biāo)為可得；因此，可得，又焦點(diǎn)為可得，解得；所以橢圓的方程為.故選A.7．已知直線與直線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P到直線距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線，分別過(guò)定點(diǎn)，，且互相垂直，所以點(diǎn)P的軌跡是以為直徑的圓（不含點(diǎn)），這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.圓心到直線l距離為，因此圓上的點(diǎn)到直線l距離最大值為，最小為，取得最小值時(shí)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)是，因此取值范圍是.故選D.8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，，其中，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)在拋物線上，把點(diǎn)代入中得，則，所以拋物線為，直線，與拋物線方程聯(lián)立可得，，則，則，，則，所以用替換可得，則，則，故，直線，即，則點(diǎn)到直線的距離，，，，而，令，因?yàn)?，所以，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為線段上動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，平面B．當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，直線與直線所角的余弦值為C．當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積是定值D．點(diǎn)到直線距離的最小值為【答案】ACD【解析】在長(zhǎng)方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，對(duì)于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，點(diǎn)到平面的距離為，而的面積，因此三棱錐的體積23是定值，C正確；對(duì)于D，，則點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選ACD10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的動(dòng)弦，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為B．的面積最大值為1C．若原點(diǎn)始終在動(dòng)弦上，則不是定值D．若動(dòng)點(diǎn)滿足四邊形為矩形，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，圓的圓心為1,0，半徑為，圓的圓心為，半徑為，當(dāng)圓和圓存在公共點(diǎn)時(shí)，，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，正確；對(duì)于B，的面積為，當(dāng)時(shí)，的面積有最大值為1，正確；對(duì)于C，當(dāng)弦垂直x軸時(shí)，，所以，當(dāng)弦不垂直x軸時(shí)，設(shè)弦所在直線為，與圓聯(lián)立得，，設(shè)，則，，綜上，恒為定值，錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)Px0,y0，OP中點(diǎn)，該點(diǎn)也是AB中點(diǎn)，且，又，所以，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡為以1,0為圓心，半徑為的圓，其周長(zhǎng)為長(zhǎng)度為，正確.故選ABD.11．如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)在曲線上B．點(diǎn)在上，則C．點(diǎn)在橢圓上，若，則D．過(guò)作軸的垂線交于兩點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)椋啥x知，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，點(diǎn)在上，則，化簡(jiǎn)得，所以，，B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，橢圓上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為與，則，又，所以，故，所以，C正確；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)，則，因?yàn)?，則，又，所以，化簡(jiǎn)得，故，所以，故1，所以，故D正確，故選ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．如圖，在正三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為．

【答案】【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)作垂直于AC的直線Ax為x軸，AC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，所以，，所以，則直線與所成角的余弦值為，故答案為：.13．已知圓C：，若直線上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的圓C的兩條切線夾角為，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是【答案】或．【解析】圓，則圓心為，半徑，設(shè)兩切點(diǎn)為，則，因?yàn)椋谥?，，所?因此只要直線上存在點(diǎn)，使得即可滿足題意．圓心，所以圓心到直線的距離，解得或．故答案為：或．

14．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在以為圓心?為半徑的圓上，且直線與圓相切，若直線與的一條漸近線交于點(diǎn)，且，則的離心率為.【答案】【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，連接，則，故，，設(shè)，因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，，故.，將代入中，故，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知的平分線所在的直線的方程為．(1)求AB的中垂線方程；(2)求AC的直線方程．【解析】（1）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，-----------------------------2分故AB的中垂線斜率為4，---------------------------------------------------------------------------------------------4分故AB的中垂線方程為，即；----------------------------------------------------6分（2）由對(duì)稱性可知，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，故，-----9分解得，故，-----------------------------------------------------------------------------------------------11分故直線的方程為，即.---------------------------------------------------------13分16．（15分）已知圓C的方程為：．(1)若直線與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)a的值；(2)過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，求切線方程．【解析】（1）圓的方程為：，則圓的圓心為，半徑為2，--------------2分直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則，----------4分解得或；--------------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線，與圓相切，-------------------------------------------------------8分切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)切線為，即，---------------------------------------9分由切線的定義可知，，解得，---------------------------------------------------------13分故切線方程為，綜上所述，切線方程為或．-------------------------15分17．（15分）如圖，在圓錐PO中，AC為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段BC上，，.(1)證明：平面BOP；(2)若圓錐PO的側(cè)面積為，求二面角的余弦值.【解析】（1）平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，與同向的方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，故，，-----------------------------------------------------------2分，..-------------------------------5分故，平面，平面.---------7分（2）圓錐PO的側(cè)面積，，由（1）可知，為平面的法向量，---------------------------------------------------------8分設(shè)平面的法向量為，而，，故，令得，-----------------------------------------------12分則，所以二面角的余弦值為.----------------------------------------------------------------------------15分18．（17分）已知雙曲線和橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別交雙曲線于不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的，又因?yàn)椋?，所以雙曲線的方程為.---------------------------------------5分（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，，依題意，，即，由解得或（舍去），所以，此時(shí)到直線的距離為.------------------------------------------------------------------------------8分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，設(shè)直線的方程為.由消去并化簡(jiǎn)得：，①，，------------------------------------------------------------------------------10分依題意，所以，整理得，即，由于直線，，所以，函數(shù)的開(kāi)口向上，判別式為，故①成立.所以直線的方程為，即，------------------------------------------------------------------------------13分所以到的距離，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以.綜上所述，點(diǎn)到直線的距離的最大值為.--------------------17分

19．（17分）已知為橢圓：的左焦點(diǎn)，橢圓過(guò)點(diǎn)，且直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)，在橢圓上，且，過(guò)，分別作橢圓的切線，，與相交于點(diǎn).（i）求點(diǎn)的軌跡方程；（ii）求周長(zhǎng)的最小值.【解析】（1）由題意得，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，，故，由解得或（舍去），橢圓的方程.------------------------------------------------------------------------------3分（2）（i）設(shè)直線：，，Mx1,y1，與聯(lián)立，所以，，------------------------------------------------------------------------------5分由可得；化簡(jiǎn)可得①--------------------7分設(shè)的方程為，即，與聯(lián)立，令，結(jié)合，解得，所以切線方程為，即