考點(diǎn)14銳角三角函數(shù)（原卷版）

考點(diǎn)14銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)主要包括：正切、正弦、余弦，特殊角的三角函數(shù)，由三角函數(shù)求銳角，解直角三角形以及用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題，在江蘇省各地的中考中，除用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題?？疾榻獯痤}外，多以選擇和填空考查為主，在選擇和填空中除解直角三角形考查難度較大以外，其他知識(shí)的考查較為簡(jiǎn)單。一、銳角三角函數(shù)的概念與特殊角的銳角三角函數(shù)值；二、解直角三角形；三、銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用?？枷蛞唬轰J角三角函數(shù)的概念與特殊角的銳角三角函數(shù)值1.銳角三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過輔助線來構(gòu)造直角三角形.2.特殊角的三角函數(shù)值αsinαcosαtanα30°45°160°1．（2022·上海市青浦區(qū)沈巷中學(xué)九年級(jí)期中）在中，，那么邊的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2022·上海市曹楊第二中學(xué)附屬學(xué)校九年級(jí)期中）已知在中，，，，那么的長(zhǎng)等于（）A． B． C． D．3．（2022·安徽·合肥市第二十三中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則的值是（

）A．1 B． C． D．4．（2022·廣東·佛山市南海外國(guó)語學(xué)校九年級(jí)月考）的值等于（

）A．1 B． C．3 D．5．（2022·浙江·溫州市第三中學(xué)模擬）某滑梯示意圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．考向二：解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：1）三邊關(guān)系：a2+b2=c2；2）兩銳角關(guān)系：∠A+∠B=90°；3）邊與角關(guān)系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1．3．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.1．（2022·安徽·合肥市第二十三中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在中，，，P為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．82．（2022·陜西師大附中九年級(jí)月考）如圖，是的高，若，則邊的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．3．（2022·浙江·杭州市豐潭中學(xué)九年級(jí)月考）圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則該圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為（）A．4 B． C． D．4．（2022·江蘇·沭陽縣懷文中學(xué)九年級(jí)期中）以下列三邊長(zhǎng)度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是（）A．8，8，8 B．4，10，10 C．5，12，13 D．6，8，105．（2022·安徽·九年級(jí)期中）如圖，在菱形中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿折線﹣﹣運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止．圖②是點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的圖像，則的值為（）A．2 B． C．3 D．4考向三：銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1．仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．1．（2022·陜西師大附中九年級(jí)月考）如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比是，坡高，則迎水坡寬度的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．2．（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院模擬）如圖，為了測(cè)量山坡上一棵樹的高度，小明在點(diǎn)A處利用測(cè)角儀測(cè)得樹頂P的仰角為，然后他沿著正對(duì)樹的方向前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)測(cè)得樹頂P和樹底Q的仰角分別是和，設(shè)垂直于AB，且垂足為C．則樹的高度為（）（結(jié)果精確到，）A．18.9 B．18.8 C．19.0 D．19.13．（2022·山西太原·九年級(jí)月考）如圖，小明為了測(cè)量門口一棵大樹的高度，他自制一個(gè)紙板測(cè)量大樹的高度，已知，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，并且邊與點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得邊離地面的高度，，則樹的高度是（

）A．7m B．m C．8m D．m4．（2022·山西長(zhǎng)治·九年級(jí)月考）如圖，這是某攔河壩改造前后河床的橫斷面示意圖，，壩高，將原坡度的迎水坡面改為坡角為的斜坡，此時(shí)，河壩面寬減少的長(zhǎng)度等于（

）（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)）A． B． C． D．5．（2022·吉林·長(zhǎng)春博碩學(xué)校九年級(jí)月考）某火箭從地面P處發(fā)射，當(dāng)火箭達(dá)到A點(diǎn)時(shí)，從位于地面Q處雷達(dá)站測(cè)得A、Q的距離是500米，仰角為，則發(fā)射點(diǎn)P與雷達(dá)站Q之間的距離是（）A．米 B．米 C．米 D．米1．（2022·四川遂寧·模擬）如圖，工人師傅準(zhǔn)備從一塊斜邊長(zhǎng)為的等腰直角材料上裁出一塊以直角頂點(diǎn)為圓心的面積最大的扇形，然后用這塊扇形材料做成無底的圓錐接縫處忽略，則圓錐的底面半徑為（）A． B． C． D．2．（2022·浙江·杭州北苑實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）如圖，在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2022·山東·陽信縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）如圖所示，已知是的外接圓，是的直徑，連接，若，則的值為（）A． B． C． D．4．（2022·寧夏·固原市原州區(qū)三營(yíng)中學(xué)一模）如圖，在中，，點(diǎn)O在上，經(jīng)過點(diǎn)A的與相切于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，若則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．5．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)模擬）在正方形網(wǎng)格中，△ABC在網(wǎng)格中的位置如圖，則cosB的值為（）A． B． C． D．26．（2022·遼寧·丹東市第十七中學(xué)一模）如圖，等腰中，，點(diǎn)D在線段上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），將與分別沿直線翻折得到與，給出下列結(jié)論：①；②面積的最小值為；③當(dāng)點(diǎn)D在的中點(diǎn)時(shí)，是等邊三角形；④當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為；其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④7．（2022·山東·濟(jì)南市東方雙語實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬）如圖，從地到地的飛機(jī)航線經(jīng)過某市的地標(biāo)建筑物A的上空，一架飛機(jī)在從地飛往N地途中處測(cè)得建筑物A頂部的俯角為，繼續(xù)沿航線飛行千米，飛機(jī)恰好處于建筑物A的正處，則此時(shí)飛機(jī)距建筑物A的頂部的距離是（）A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米8．（2022·浙江·寧波外國(guó)語學(xué)校一模）如圖，在矩形紙片中，點(diǎn)、分別在矩形的邊、上，將矩形紙片沿、折疊，點(diǎn)落在處，點(diǎn)落在處，點(diǎn)、、恰好在同一直線上，若，，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．9．（2022·浙江·杭州綠城育華學(xué)校模擬）已知為銳角，若，則的度數(shù)為______．10．（2022·山東濱州·模擬）如圖，在等腰三角形中，，底邊，則底角的余弦值為___________．11．（2022·浙江·寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院模擬）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，連接為的切線，過切點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，，則_____．12．（2022·河南·鄭州外國(guó)語中學(xué)模擬）如圖，已知在長(zhǎng)方形紙條中，點(diǎn)G在邊上，，將該紙條沿著過點(diǎn)G的直線翻折后，點(diǎn)C、D分別落在邊下方的點(diǎn)E、F處，且點(diǎn)E、F、B在同一條直線上，折痕與邊交于點(diǎn)H，與交于點(diǎn)M．設(shè)，那么的周長(zhǎng)為______（用含t的代數(shù)式表示）13．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬）如圖，點(diǎn)，，點(diǎn)是一點(diǎn)，若，則的面積為______．14．（2022·山東臨沂·三模）如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測(cè)量“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊保持水平，邊與點(diǎn)B在同一直線上，已知直角三角紙板中，測(cè)得眼睛D離地面的高度為米，他與“步云閣”的水平距離為，則“步云閣”的高度是___________m．15．（2022·浙江衢州·模擬）計(jì)算：16．計(jì)算：．17．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·一模）本學(xué)期小明經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，想利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)某小區(qū)居民樓的高度進(jìn)行測(cè)量．如圖，先測(cè)得居民樓與之間的距離為31m，后站在F點(diǎn)處測(cè)得居民樓的頂端C的仰角為．居民樓的頂端A的仰角為．已知居民樓的高度為m，小瑩的觀測(cè)點(diǎn)E距地面m．求居民樓AB的高度（精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：）18．（2022·河南駐馬店·模擬）如圖所示，當(dāng)一熱氣球在點(diǎn)A處時(shí)，其探測(cè)器顯示，從熱氣球看高樓頂部點(diǎn)B的仰角為，看高樓底部點(diǎn)C的俯角為，熱氣球與高樓的水平距離為60米，那么這棟樓高是多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）．19．（2022·四川·瀘州國(guó)家高新區(qū)初級(jí)中學(xué)校模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過O，P，B三點(diǎn)的圓交x軸正半軸于點(diǎn)C，連接，設(shè)．(1)求證：當(dāng)P與A重合時(shí)，四邊形是矩形．(2)連接，求的值．(3)設(shè)圓心為M，連接，當(dāng)四邊形中有一組對(duì)邊平行時(shí)，求所有滿足條件的m的值．20．（2022·寧夏·固原市原州區(qū)三營(yíng)中學(xué)一模）如圖，在中，，以為直徑的圓交與點(diǎn)E和點(diǎn)D，且E為的中點(diǎn)，過E點(diǎn)作與點(diǎn)F，(1)求證：是的切線；(2)求的值．1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在等腰中，，BC=，同時(shí)與邊的延長(zhǎng)線、射線相切，的半徑為3．將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，在旋轉(zhuǎn)的過程中邊所在直線與相切的次數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，B為地面上一點(diǎn)，測(cè)得B到樹底部C的距離為，在B處放置高的測(cè)角儀，測(cè)得樹頂A的仰角為，則樹高為___________m（結(jié)果保留根號(hào)）．3．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）在中，，分別為的對(duì)邊，若，則的值為__________．4．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)、、都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點(diǎn)，則_________．5．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，湖邊、兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道和相連.為了計(jì)算、兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測(cè)量得：，，米，求、兩點(diǎn)之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）6．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個(gè)坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長(zhǎng)為，在坡面上的影長(zhǎng)為．同一時(shí)刻，小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60cm的木桿的影長(zhǎng)為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．7．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的直徑都是，高為．它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓．小明畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑、以及、組成的軸對(duì)稱圖形，直線為對(duì)稱軸，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，如圖2，他又畫出了所在的扇形并度量出扇形的圓心角，發(fā)現(xiàn)并證明了點(diǎn)在上．請(qǐng)你繼續(xù)完成長(zhǎng)的計(jì)算．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．8．（2022·江蘇鹽城·中考真題）2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，、為機(jī)械臂，m，m，m，．機(jī)械臂端點(diǎn)到工作臺(tái)的距離m．(1)求、兩點(diǎn)之間的距離；(2)求長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：，，，）9．（2022·江蘇泰州·中考真題）小強(qiáng)在物理課上學(xué)過平面鏡成像知識(shí)后，在老師的帶領(lǐng)下到某廠房做驗(yàn)證實(shí)驗(yàn).如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行，小強(qiáng)在點(diǎn)M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠(yuǎn)處D到他的距離CD是多少?（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）10．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，試探究的最小值．1．（2022·江蘇宿遷·二模）在中，、、，則的值是（）A． B． C． D．2．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)三模）如圖，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于點(diǎn)D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，則tan∠CBD的值為（）A．5 B． C．3 D．3．（2022·江蘇·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）如圖，平行四邊形OABC的周長(zhǎng)為7，，以O(shè)為原點(diǎn)，OC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，函數(shù)的圖象經(jīng)過OABC頂點(diǎn)A和BC的中點(diǎn)M，則k的值為（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇徐州·模擬）如圖，是正方形的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，，，，與相交于點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．5．（2022·江蘇無錫·模擬）如圖，△ABC∽△DBE，延長(zhǎng)AD，交CE于點(diǎn)P，若∠DEB＝45°，AC＝2，DE，BE＝1.5，則tan∠DPC＝（）A． B．2 C． D．6．（2022·江蘇南通·二模）如圖1，中，，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作，垂足為P，PQ交的邊于點(diǎn)Q，設(shè)，的面積為y．y與x之間的函數(shù)關(guān)系大致如圖2所示，則當(dāng)時(shí)，y的值為（

）A．3 B．2 C． D．7．（2022·江蘇淮安·二模）如圖，在中，點(diǎn)D在上，，垂足為C，若，則的值是（

）A． B． C． D．8．（2022·江蘇蘇州·一模）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)O，則tan∠BOD的值為（

）A．3 B． C．2 D．9．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，在平行四邊形中，將沿著所在的直線折疊得到，交于點(diǎn)，連接，若，，，則的長(zhǎng)是______．10．（2022·江蘇·射陽縣第六中學(xué)二模）如圖，反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn)，在軸上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，若，的面積是，則的值是______．11．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)教育集團(tuán)樹人學(xué)校二模）如圖，四邊形是矩形的內(nèi)接矩形，且，，，則的值為______．12．（2022·江蘇·常州市北郊初級(jí)中學(xué)二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)O均落在格點(diǎn)上，則∠AOB的正切值為_____．13．（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)三模）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BC=2，則圖中陰影部分的面積是________．14．（2022·江蘇南通·二模）狼山位于江蘇南通南城南的狼山風(fēng)景名勝區(qū)，高不過百余米，卻與南岳衡山、中岳嵩山、江西廬山、北京香山等同列“中國(guó)佛教八小名山”，是江北著名旅游佳地．如圖，亮亮同學(xué)去狼山風(fēng)景區(qū)旅游時(shí)，利用無人機(jī)從A處測(cè)得狼山頂部點(diǎn)B的仰角為45°，測(cè)得狼山底部點(diǎn)C的俯角為60°，此時(shí)無人機(jī)與BC的水平距離AD長(zhǎng)為40m，那么亮亮同學(xué)測(cè)得狼山的高度BC約為______m（結(jié)果保留整數(shù)，）．15．（2022·江蘇·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬）計(jì)算：(1)；(2)；(3)若是銳角，，求的值．16．（2022·江蘇泰州·模擬）如圖，小明在大樓高（即，且）的窗口處進(jìn)行觀測(cè)，測(cè)得山坡上處的俯角為，山腳處的俯角為，已知該山坡的坡度（即）為（點(diǎn)，，，，在同一個(gè)平面上，點(diǎn)，，在同一條直線上）．(1)的度數(shù)等于________度（直接填空）(2)求，兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，）17．（2022·江蘇·連云港市新海初級(jí)中學(xué)三模）桔槔俗稱“吊桿”“稱桿”（如圖1），是我國(guó)古代農(nóng)用工具，始見于墨子備城門，是一種利用杠桿原理的取水機(jī)械．如圖所示的是桔槔示意圖，是垂直于水平地面的支撐桿，米，是杠桿，且米，．當(dāng)點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)，．(1)求點(diǎn)A位于最高點(diǎn)時(shí)到地面的距離；(2)當(dāng)點(diǎn)A從最高點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)54.5°到達(dá)最低點(diǎn)A1時(shí)，求此時(shí)水桶B上升的高度．（考數(shù)據(jù)：）18．（2022·江蘇·鹽城市初級(jí)中學(xué)三模）如圖①，將“歡迎光臨”門掛傾斜放置時(shí)，測(cè)得掛繩的