清單02數(shù)列概念與等差等比數(shù)列（考點(diǎn)清單知識導(dǎo)圖15個(gè)考點(diǎn)清單題型解讀）

清單02數(shù)列的概念與等差、等比數(shù)列（15個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】數(shù)列的概念1．定義：按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．2．項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或稱為首項(xiàng))，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，…，第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)．3．?dāng)?shù)列的表示：數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為{an}，其中n∈N*.【清單02】數(shù)列的分類與通項(xiàng)公式1．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列個(gè)數(shù)無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢遞增數(shù)列從第eq\a\vs4\al(2)項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第eq\a\vs4\al(2)項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列2．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．【清單03】數(shù)列的遞推公式如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．【清單04】等差數(shù)列的概念1．等差數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母eq\a\vs4\al(d)表示．2．等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列．這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)．根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.【清單05】等差數(shù)列1．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.遞推公式通項(xiàng)公式an＋1－an＝dan＝a1＋(n－1)d2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)選用公式Sn＝eq\f(na1＋an,2)Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d【清單06】等比數(shù)列1．等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，第一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．此時(shí)，G2＝ab.3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠0)，則通項(xiàng)公式為：an＝a1qn－1.4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)a1、項(xiàng)數(shù)n與公比q首項(xiàng)a1、末項(xiàng)an與公比q公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)q≠1))Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a1－anq,1－q)q≠1))5.等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)等比數(shù)列{an}中，若項(xiàng)數(shù)為2n，則eq\f(S偶,S奇)＝eq\a\vs4\al(q)；若項(xiàng)數(shù)為2n＋1，則eq\f(S奇－a1,S偶)＝eq\a\vs4\al(q).(2)若等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比數(shù)列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不為0)．(3)若一個(gè)非常數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N*)，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)?數(shù)列{an}為等比數(shù)列．【考點(diǎn)題型一】數(shù)列的概念【例1】（2324高二下·四川綿陽·開學(xué)考試）（多選）下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的B．?dāng)?shù)列的圖像是一系列孤立的點(diǎn)C．?dāng)?shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，3，4，2是相同的數(shù)列D．?dāng)?shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函數(shù)【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，有限數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為正整數(shù)，則若將項(xiàng)數(shù)作為橫坐標(biāo)，項(xiàng)作為縱坐標(biāo)畫在平面直角坐標(biāo)系中，則相應(yīng)圖象為一系列孤立的點(diǎn)，故B正確.C選項(xiàng)，相同數(shù)列是指，兩個(gè)數(shù)列，相同的項(xiàng)數(shù)對應(yīng)相同的項(xiàng)，則數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，3，4，2不是相同的數(shù)列，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為正整數(shù)，項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)一一對應(yīng)，且分為有限數(shù)列與無限數(shù)列，則數(shù)列可看作定義在正整數(shù)集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函數(shù)，故D正確.故選：BD【變式11】（2324高二上·廣東東莞·期中）下列敘述正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．?dāng)?shù)列0，1，2，3，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為C．?dāng)?shù)列0，0，0，1，…是常數(shù)列D．?dāng)?shù)列2，4，6，8與數(shù)列8，6，4，2是相同的數(shù)列【答案】A【解析】對于A項(xiàng)，設(shè)，則對恒成立，所以，數(shù)列是遞增數(shù)列.故A正確；對于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與第一項(xiàng)為0不符.故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，數(shù)列中的項(xiàng)并不完全相同.故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列的概念，數(shù)列與順序有關(guān).所以，數(shù)列2，4，6，8與數(shù)列8，6，4，2不是相同的數(shù)列.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A.【考點(diǎn)題型二】求數(shù)列項(xiàng)的最值求數(shù)列最大(小)項(xiàng)的方法（1）構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)．（2）利用，求數(shù)列中的最大項(xiàng)；利用，求數(shù)列中的最小項(xiàng).當(dāng)解不唯一時(shí)，比較各解大小即可確定．【例2】（2324高二下·吉林長春·期中）已知，則數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列中，，則，令，解得，則當(dāng)時(shí)，，即，同理當(dāng)時(shí)，，即，而當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)中最大項(xiàng)為.故選：D【變式21】（2324高二上·安徽馬鞍山·月考）已知，則這個(gè)數(shù)列的前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】，當(dāng)，時(shí)，，，且隨著的變大，變大，當(dāng)，時(shí)，，，且隨著的變大，變大，故這個(gè)數(shù)列的前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別是，.故選：C【變式22】（2425高三上·山西大同·期末）等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，且成等差數(shù)列，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)及等比數(shù)列得通項(xiàng)求出公比，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，判斷出數(shù)列的單調(diào)性即可得解.【解析】設(shè)公比為，由成等差數(shù)列，得，又?jǐn)?shù)列an為等比數(shù)列，所以得，解得，所以，令，則，所以數(shù)列遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值1.故選：D.【考點(diǎn)題型三】數(shù)列的周期性【例3】（2324高二下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)遞推式寫出數(shù)列前面幾項(xiàng)得出數(shù)列周期，進(jìn)一步即可求解.【解析】由題意可得：，由此可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期是3，從而.故選：A.【變式31】（2324高二上·廣東湛江·階段練習(xí)）在數(shù)列中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找到規(guī)律，即可判斷.【解析】因?yàn)榍遥?，，，，，，所以是以為周期的周期?shù)列，所以.故選：C【變式32】（2324高二下·四川·期中）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列前2024項(xiàng)的積為（）A．4 B．1 C．

D．【答案】B【分析】先找到數(shù)列an的周期，然后求得數(shù)列an前2024【解析】因?yàn)?，所以，，所以?shù)列an的周期為4.由，則，，，所以數(shù)列an前2024項(xiàng)的乘積為.故選：B.【變式33】（2324高二下·河南·期中）已知數(shù)列滿足，且，若，則m的值可能為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】D【解析】數(shù)列的遞推公式為，由，則有，，，，，則是以4為周期的周期數(shù)列，，有，，故m的值可能為2024，故選：D．【考點(diǎn)題型四】等差數(shù)列的概念判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法1、定義法：（常數(shù)）是等差數(shù)列；2、中項(xiàng)法：是等差數(shù)列；3、通項(xiàng)公式法：（，為常數(shù)）是等差數(shù)列?！纠?】（2324高二下·海南·期中）下列數(shù)列的通項(xiàng)公式中，能得到為等差數(shù)列的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對于A，不為常數(shù)，故A錯(cuò)誤，對于B，為常數(shù)，故B正確，對于C,不為常數(shù)，故C錯(cuò)誤，對于D，不為常數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：B【變式41】（2324高二下·山東菏澤·期中）從1，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)字，使它們成等差數(shù)列，則這樣的等差數(shù)列共有（

）A．16個(gè) B．24個(gè) C．32個(gè) D．48個(gè)【答案】C【分析】分別對公差的各不同取值判斷等差數(shù)列的個(gè)數(shù)，即可求解．【詳解】解：當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7個(gè)；當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5個(gè)；當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3個(gè)；當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列有1，5，9共1個(gè)，同理，當(dāng)時(shí)，有7個(gè)，當(dāng)時(shí)，有5個(gè)，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)，故共有．故選：C．【變式42】（2324高二下·浙江·期中）對于數(shù)列，設(shè)甲：為等差數(shù)列，乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可證明充分性；由得，兩式相減，結(jié)合等差中項(xiàng)的應(yīng)用即可證明必要性.【詳解】充分性：若an則．必要性：若，則，兩式相減得，即，所以an是等差數(shù)列．所以甲是乙的充要條件.故選：C．【考點(diǎn)題型五】等差數(shù)列基本量的計(jì)算（1）在等差數(shù)列中，，或，兩個(gè)公式共涉及，，，及五個(gè)基本量，它們分別表示等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)、末項(xiàng)和前項(xiàng)和；、（2）依據(jù)方程的思想，在等差數(shù)列前項(xiàng)和公式中已知其中三個(gè)量可求另外兩個(gè)量，即“知三求二”。【例5】（2425高二上·福建龍巖·開學(xué)考試）等差數(shù)列滿足，，則該等差數(shù)列的公差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得到，進(jìn)而得到，即可求解.【詳解】由，得到，又，所以故.故選：B.【變式51】（2425高二上·全國·隨堂練習(xí)）已知等差數(shù)列，，1，…，則該數(shù)列的第20項(xiàng)為（

）A．52 B．62 C． D．【答案】A【分析】由題意先求出等差數(shù)列的首相和公差，可求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，令即可得出答案.【詳解】由題意設(shè)等差數(shù)列的首相和公差分別為，所以，所以，所以.故選：A.【變式52】（2324高二下·廣東·期中）已知兩個(gè)等差數(shù)列1，5，9，…，和1，6，11，…，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，且的前n項(xiàng)和為，則（

）A．910 B．900 C．890 D．880【答案】A【分析】先確定新數(shù)列的首項(xiàng)，再根據(jù)兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列依然是等差數(shù)列，且公差是原來兩個(gè)等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)確定公差，可求前10項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)均為1，公差分別為4，5，所以an是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，則．故選：A【變式53】（2324高二下·江西萍鄉(xiāng)·期中）等差數(shù)列中，，則（

）A．40 B．30 C．20 D．10【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，，則，解得，，．故選：B．【考點(diǎn)題型六】等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)【例6】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）等差數(shù)列中，若，為方程的兩根，則等于（

）A．10 B．15 C．20 D．40【答案】B【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求得，然后利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)求解即可.【詳解】∵，為方程的兩根，∴，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，即，∴.故選：B【變式61】（2324高二下·陜西渭南·期中）已知為等差數(shù)列，，，則（

）A．6 B．9 C．12 D．17【答案】B【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以，又，所以，又，所以，解?故選：B【變式62】（2324高二下·四川自貢·期中）在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】C【分析】直接由等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意.故選：C.【變式63】（2324高二上·甘肅定西·階段練習(xí)）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則（

）A．5 B．6 C．9 D．11【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，所以.故選：C【考點(diǎn)題型七】等差數(shù)列和的性質(zhì)【例7】（2324高二下·海南·期末）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．144 B．120 C．108 D．96【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)解題即可.【詳解】記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,則也是等差數(shù)列.由于，則成等差數(shù)列.則，解得.則成等差數(shù)列．故，則.故選：B.【變式71】（2324高二下·甘肅慶陽·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．16 B．18 C．24 D．26【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)代入計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)閍n是等差數(shù)列，所以也是等差數(shù)列，即，即，解得.故選：B.【變式72】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為30，前項(xiàng)和為90，則它的前項(xiàng)和為（

）A．130 B．150 C．180 D．210【答案】C【分析】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)即可求解.【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和中，也成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，．故選：C．【考點(diǎn)題型八】等差數(shù)列和的最值問題【例8】（2324高二下·全國·課堂例題）若數(shù)列為等差數(shù)列，為前n項(xiàng)和，，，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．和均為的最大值【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，得到，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，對于A，由，A正確；對于B，由，B正確；對于C，由，，C錯(cuò)誤；對于D，由，可得數(shù)列為遞減數(shù)列，且，則，所以和均為的最大值，D正確.故選：C【變式81】（2324高二下·陜西渭南·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，探討數(shù)列單調(diào)性，并確定非正數(shù)項(xiàng)即可得解.【詳解】等差數(shù)列中，，，則，因此數(shù)列是遞增等差數(shù)列，前5項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第6項(xiàng)起為正，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，.故選：B【變式82】（2324高一上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·月考）解關(guān)于x的不等式.【考點(diǎn)題型九】等差數(shù)列的應(yīng)用【例9】（2324高二下·北京房山·期中）世界上最古老的數(shù)學(xué)著作《萊因德紙草書》中有一道這樣的題目：把60磅面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的兩份之和的是較小的三份之和，則最小的1份為（

）A．磅 B．磅 C．磅 D．磅【答案】D【分析】結(jié)合題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)五個(gè)人從小到大所得面包為、、、、，設(shè)其公差為，則由題意可得，即，整理可得，又，即，即有，即，即最小的1份為磅.故選：D.【變式91】（2425高二下·全國·單元測試）有一個(gè)三人報(bào)數(shù)游戲：首先報(bào)數(shù)字1，然后報(bào)兩個(gè)數(shù)字2、3，接下來報(bào)三個(gè)數(shù)字4、5、6，然后輪到報(bào)四個(gè)數(shù)字7、8、9、10，依次循環(huán)，直到報(bào)出10000，則報(bào)出的第2024個(gè)數(shù)字為（

）A．5983 B．5984 C．5985 D．以上都不對【答案】B【分析】由數(shù)列的求和公式求解．【詳解】由題意知，A第n次報(bào)數(shù)的個(gè)數(shù)為：，則A第n次報(bào)完數(shù)后共報(bào)的個(gè)數(shù)為：，再代入正整數(shù)n，使得，則，解得n的最小值為37，得，而A第37次報(bào)時(shí)，3人總共報(bào)了次，當(dāng)A第109次報(bào)完數(shù)，3人總的報(bào)數(shù)個(gè)數(shù)為：，則A報(bào)出的第2035個(gè)數(shù)字為5995，故A報(bào)出的第2024個(gè)數(shù)字為：，故選：B【變式92】（2425高二上·全國·隨堂練習(xí)）“珠算之父”程大位是我國明代著名的數(shù)學(xué)家，他的應(yīng)用巨著《算法統(tǒng)宗》中有一首“竹筒容米”問題：“家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均平，下頭三節(jié)六升六，上梢四節(jié)四升四，唯有中間兩節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”（注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容積依次相差同一數(shù)量）用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識求得中間兩節(jié)竹的容積為（

）A．3.4升 B．2.4升 C．2.3升 D．3.6升【答案】A【分析】根據(jù)題意建立數(shù)列模型，由等差數(shù)列定義可求得首項(xiàng)和公差，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)從下至上各節(jié)的容積分別為，由題意知為等差數(shù)列，公差為，因?yàn)?，即，解得所以．故選：A【考點(diǎn)題型十】等比數(shù)列的定義【例10】（2324高二下·遼寧·期中）（1）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)p；（2）設(shè)，是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，，證明：數(shù)列不是等比數(shù)列．【答案】（1）或；（2）證明見解析【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義及等比中項(xiàng)的性質(zhì)待定系數(shù)計(jì)算即可；（2）利用等比數(shù)列的定義，證前三項(xiàng)不符合等比數(shù)列定義即可.【詳解】（1）∵是等比數(shù)列，∴，將代入上式，得，即，整理得：．解得：或；（2）設(shè)，的公比分別為p，q，，，為證不是等比數(shù)列，只需證：．事實(shí)上，，．由于，，又，不為零，則，因此，，故不是等比數(shù)列．【變式101】（2324高二下·浙江·開學(xué)考試）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列中可能存在三項(xiàng)成等比數(shù)列【答案】BC【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，求出的值，求出、，利用等差數(shù)列的定義可判斷AB選項(xiàng)；利用反證法結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷CD選項(xiàng).【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，所以，，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，故B正確，A錯(cuò)誤；（反證法）假設(shè)數(shù)列中存在三項(xiàng)、、能構(gòu)成等比數(shù)列，即成立，由上可得，所以，，整理得：，所以，，可得，可得，整理可得，可得，與已知條件矛盾，所以，數(shù)列中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列，同理可知，數(shù)列中任意三項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.【變式102】（2425高二上·全國·課堂例題）判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列：(1)；(2)；(3).【答案】(1)是等比數(shù)列(2)不是等比數(shù)列(3)答案見解析【分析】（1）（2）（3）由等比數(shù)列定義判斷或證明即可.【詳解】（1）記數(shù)列為an，則．，數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比為3；（2）記數(shù)列為an，則，，，…，，數(shù)列an不是等比數(shù)列．（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋詳?shù)列是等比數(shù)列，且公比為；綜上所述，當(dāng)時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列.【變式103】（2324高二下·陜西西安·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列；(3)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求該數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)數(shù)列不為等比數(shù)列(3)數(shù)列為等差數(shù)列，【分析】（1）分和兩種情況，根據(jù)與之間的關(guān)系分析求解；（2）由（1）可知：，取前三項(xiàng)檢驗(yàn)即可；（3）由（1）可知：，利用等差數(shù)列的定義以及求和公式分析求解.【詳解】（1）因?yàn)?，若，可得；若，可得；由于不符合，所?（2）由（1）可知：，則，可知，所以數(shù)列不為等比數(shù)列.（3）因?yàn)椋瑒t，由（1）可知：，則，可知數(shù)列是以首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以該數(shù)列的前項(xiàng)和.【考點(diǎn)題型十一】等比數(shù)列的基本量計(jì)算【例11】（2425高二上·福建龍巖·開學(xué)考試）等比數(shù)列中，若，則公比為（）A．1 B．－2 C．2 D．2或－2【答案】C【分析】由等比數(shù)列定義得，結(jié)合已知即可得解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，因?yàn)?，所以，故選：C.【變式111】（2024高二·全國·專題練習(xí)）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則．【答案】【分析】運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式構(gòu)造方程組，解出首項(xiàng)和公比，即可求出【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，①由，可得解得②所以．③故答案為：．【變式112】（2425高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）在等比數(shù)列中：(1)若，，求和；(2)若，，求．【答案】(1)或(2)【分析】（1）（2）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上所述：或.（2）因?yàn)椋瑒t，即．又因?yàn)椋瑒t，即．兩式相除得，所以．【考點(diǎn)題型十二】等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)【例12】（2324高二下·貴州畢節(jié)·期末）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)性質(zhì)可解.【詳解】，則，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，知道,則，則，即，則.故選：C.【變式121】（2324高二下·北京大興·期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以.故選：.【變式122】（2324高二下·山東日照·期末）已知等比數(shù)列，，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由題意，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意是一元二次方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理有，而對于等比數(shù)列而言，，從而.故選：C.【考點(diǎn)題型十三】等比數(shù)列和的性質(zhì)【例13】（2324高二下·遼寧沈陽·期中）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則的值為（

）A．30 B．35 C．40 D．75【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的片段和性質(zhì)列式運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，則也是等比數(shù)列，即，又，，所以，解得.故選：B.【變式131】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為1012，偶數(shù)項(xiàng)之和為2024，則這個(gè)數(shù)列的公比為（

）A．8 B． C．4 D．2【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，所以．故選：D.【變式132】（2324高二下·江西吉安·期末）設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【分析】法一：由性質(zhì)可得答案；法二：求出，再求出其公比為2，則，化簡即可.【詳解】法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，顯然當(dāng)時(shí)不合題意，則不等于1，則，令，則有，由題意，得.法二：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.，為等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，化簡得.故選：C.【變式133】（2324高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）已知等比數(shù)列an共有項(xiàng)，其和為，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】設(shè)奇數(shù)項(xiàng)和為,偶數(shù)項(xiàng)和為,再根據(jù)題意利用等比數(shù)列性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和為,偶數(shù)項(xiàng)和為,則，解得，而奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)相同，所以公比.故選：B【考點(diǎn)題型十四】等比數(shù)列前n項(xiàng)積的最值【例14】（多選）（2324高二上·江蘇南京·期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)積為，且滿足條件，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然數(shù)等于4044【答案】AD【分析】先由條件分類討論得到，，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】，，，同號，且或，若，則不同號；若，則，不滿足要求；故可得，，故A正確；，且，可得，故B錯(cuò)；，又，且最大，故C錯(cuò)；，且為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，使成立的最大自然數(shù)等于4044，故D正確.故選：AD.【變式141】（多選）（2324高二下·山東濰坊·階段練習(xí)）記等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，且滿足，則（）A． B．C．是數(shù)列中的最大項(xiàng) D．【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，由等比數(shù)列性質(zhì)得到；B選項(xiàng)，；C選項(xiàng)，得到，C正確；D選項(xiàng)，由等比數(shù)列性質(zhì)得到，故D正確.【詳解】A選項(xiàng)，由等比數(shù)列性質(zhì)得，A正確；B選項(xiàng)，，故，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)公比為，因?yàn)椋?，故，故是?shù)列中的最大項(xiàng)，C正確；D選項(xiàng)，由等比數(shù)列性質(zhì)得，故，D正確.故選：ACD【變式142】（多選）（2324高二下·陜西渭南·期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列中的最大值是 D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】ABC【分析】根據(jù)題中條件，分析出an為單調(diào)遞減的數(shù)列，，.A選項(xiàng)利用即可判斷正確；B選項(xiàng)利用等比中項(xiàng)即可判斷正確；C選項(xiàng)可分析出數(shù)列中多少項(xiàng)比大即可判斷；D選項(xiàng)，利用C的判斷，可判斷D的正誤.【詳解