教學(xué)設(shè)計(jì)6：1-1-1 正弦定理

高中數(shù)學(xué)課程PAGEPAGE71.1.1正弦定理教學(xué)目標(biāo)：1．讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類基本問(wèn)題.2．通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力.3．通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.4．培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過(guò)程.教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器，直尺，量角器.教學(xué)過(guò)程：（一）結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)師生活動(dòng)：每天我們都在科技樓里學(xué)習(xí)，對(duì)科技樓熟悉嗎？那大家知道科技樓有多高嗎？給大家一個(gè)皮尺和測(cè)角儀，你能測(cè)出樓的高度嗎？學(xué)生思考片刻，教師引導(dǎo).生1：在樓的旁邊取一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，再用一個(gè)標(biāo)桿，利用三角形相似.師：方法可行嗎？生2：B點(diǎn)位置在樓內(nèi)不確定，故BC長(zhǎng)度無(wú)法測(cè)量，一次測(cè)量不行.師：你有什么想法？生2：可以再取一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)D.師：多次測(cè)量取得數(shù)據(jù)，為了能與上次數(shù)據(jù)聯(lián)系，我們應(yīng)把D點(diǎn)取在什么位置？生2：向前或向后師：好，模型如圖（2）：我們?cè)O(shè)，,CD=10m,那么我們能計(jì)算出AB嗎？生3：由求出AB.師：很好，我們可否換個(gè)角度，在Rt中，能求出AD,也就求出了AB.在中，已知兩角，也就相當(dāng)于知道了三個(gè)角，和其中一個(gè)角的對(duì)邊，要求出AD，就需要我們來(lái)研究三角形中的邊角關(guān)系.師：探究一般三角形中的邊角關(guān)系，我們應(yīng)從我們最熟悉的特殊三角形入手！生4：直角三角形.師：直角三角形的邊與角之間存在怎樣的關(guān)系？生5：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則有，，又,則從而在直角三角形ABC中，（二）證明猜想，得出定理師生活動(dòng)：教師：那么，在斜三角形中也成立嗎？用幾何畫板演示，用多媒體的手段對(duì)結(jié)論加以驗(yàn)證！但特殊不能代替一般，具體不能代替抽象，這個(gè)結(jié)果還需要嚴(yán)格的證明才能成立，如何證明哪？前面探索過(guò)程對(duì)我們有沒(méi)有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié).（以下證明過(guò)程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述）學(xué)生6：思考得出=1\*GB3①在中，成立，如前面檢驗(yàn).=2\*GB3②在銳角三角形中，如圖5設(shè)，，作：，垂足為在中，在中，同理，在中，=3\*GB3③在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，，，，作交的延長(zhǎng)線于.在中，在中，同銳角三角形證明可知教師：我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即師：我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)了平面向量，向量是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具，而且和向量的聯(lián)系緊密，那么同學(xué)們能否用向量的知識(shí)證明正弦定理？學(xué)生要思考一下.師：觀察式子結(jié)構(gòu)，里面有邊及其邊的夾角，與向量的哪一部分知識(shí)有關(guān)？生7：向量的數(shù)量積師：那向量的數(shù)量積的表達(dá)式是什么？生8：師：表達(dá)式里是角的余弦，我們要證明的式子里是角的正弦.生：利用誘導(dǎo)公式.師：式子變形為：,師：很好，那我們就用向量來(lái)證明正弦定理，同學(xué)們請(qǐng)?jiān)囈辉?！學(xué)生討論合作，就可以解決這個(gè)問(wèn)題教師：由于時(shí)間有限，對(duì)正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)下去再探索.設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷證明猜想的過(guò)程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程.（三）利用定理，解決引例師生活動(dòng)：教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問(wèn)題.學(xué)生：馬上得出在中，（四）了解解三角形概念設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識(shí)的完整性教師：一般地，把三角形的三個(gè)角、、和它們的對(duì)邊、、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會(huì)用新的知識(shí)，新的定理，解決問(wèn)題更方便，更簡(jiǎn)單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)的欲望.（五）運(yùn)用定理，解決例題師生活動(dòng)：教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問(wèn)題.學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問(wèn)題類型：=1\*GB3①如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；=2\*GB3②如果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角，如.師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書的目的是規(guī)范解題步驟.例1：在中，已知∠，∠，cm，解三角形.【解析】“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個(gè)角∠C，再由正弦定理求其他兩邊.解：由題意得，∠C=180°-30°-45°=105°由正弦定理得，，例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長(zhǎng)精確到1cm）.解：根據(jù)正弦定理，因?yàn)椋迹?，所以，或?）當(dāng)時(shí)，，cm（2）當(dāng)時(shí)，，（六）嘗試小結(jié)：教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容.學(xué)生：思考交流，歸納