新高考數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)分章節(jié)特訓(xùn)專題03頻率分布直方圖專題練習(xí)(原卷版+解析)

專題3頻率分布直方圖例1．要調(diào)查某地區(qū)高中學(xué)生身體素質(zhì)，從高中生中抽取100人進(jìn)行跳高測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)制作頻率分布直方圖如圖，現(xiàn)從成績(jī)?cè)赱120，140）之間的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，應(yīng)從[120，130）間抽取人數(shù)為b，則（）A．a(chǎn)＝0.2，b＝2 B．a(chǎn)＝0.025，b＝3 C．a(chǎn)＝0.3，b＝4 D．a(chǎn)＝0.030，b＝3例2．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量表得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）110，120）頻數(shù)1420361812估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（）A．100 B．98.8 C．96.6 D．94.4例3．“新冠肺炎”席卷全球，我國(guó)醫(yī)務(wù)工作者為了打好這次疫情阻擊戰(zhàn)，充分發(fā)揮優(yōu)勢(shì)，很快抑制了病毒，據(jù)統(tǒng)計(jì)老年患者治愈率為71%，中年患者治愈率為85%，青年患者治愈率為91%．如果某醫(yī)院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，則估計(jì)該醫(yī)院的平均治愈率是（）A．86% B．83% C．90% D．84%例4．已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均數(shù)與方差分別是a和b，若yi＝﹣2xi+3（i＝1，2，…n），且樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)與方差分別是b和a，則a﹣b＝（）A．1 B．2 C．3 D．4例5．下面定義一個(gè)同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的標(biāo)志為：“連續(xù)5次考試成績(jī)均不低于120分”．現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)連續(xù)5次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲同學(xué)：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為127，眾數(shù)為120；②乙同學(xué)：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為125，總體均值為127；③丙同學(xué)：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為135，總體均值為128，總體方差為19.8．則可以判定數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀同學(xué)為（）A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙例6．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)x=3，方差s2＝1，則數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，…，2xnA．6，6 B．9，2 C．9，6 D．9，4例7．隨著城鎮(zhèn)化的不斷發(fā)展，老舊小區(qū)的改造及管理已經(jīng)引起了某市政府的高度重視，為了了解本市甲，乙兩個(gè)物業(yè)公司管理的小區(qū)住戶對(duì)其服務(wù)的滿意程度，現(xiàn)從他們所服務(wù)的小區(qū)中隨機(jī)選擇了40個(gè)住戶，根據(jù)住戶對(duì)其服務(wù)的滿意度評(píng)分，得到A區(qū)住戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B區(qū)住戶滿意度評(píng)分的頻率分布表．B區(qū)住戶滿意度評(píng)分的頻率分布表滿意度評(píng)分分組[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]頻數(shù)4610128（Ⅰ）在圖2中作出B區(qū)住戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過頻率分布直方圖計(jì)算兩區(qū)住戶滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（其中分散程度不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；（Ⅱ）根據(jù)住戶滿意度評(píng)分，將住戶和滿意度分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分，評(píng)定為不滿意；滿意度評(píng)分在70分到89分之間，評(píng)定為滿意；滿意度評(píng)分不低于90分，評(píng)定為非常滿意．試估計(jì)哪個(gè)地區(qū)住戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？若是要選擇一個(gè)物業(yè)公司來管理老舊小區(qū)的物業(yè)，從滿意度角度考慮，應(yīng)該選擇哪一個(gè)物業(yè)公司？說明理由．例8．某校在一次期末數(shù)學(xué)測(cè)試中，為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況，從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績(jī)，被測(cè)學(xué)生成績(jī)?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿分150分），將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[65，75），第二組[75，85），……第八組[135，145]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．（1）求第七組的頻率，并完成頻率分布直方圖；（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值）；（3）若從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求他們的分差的絕對(duì)值小于10分的概率．例9．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x，用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．下面是居民月均用水量的抽樣頻率分布直方圖．①求直方圖中a的值；②試估計(jì)該市居民月均用水量的眾數(shù)、平均數(shù)；③設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；④如果希望85%的居民月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x，那么標(biāo)準(zhǔn)x定為多少比較合理？例10．如圖是某校高三（1）班的一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的基葉圖（圖中僅列出[50，60），[90，100）的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖．（1）求全班人數(shù)以及頻率分布直方圖中的x，y；（2）估計(jì)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）．例11．某高中數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)為了研究所在地區(qū)男高中生的身高與體重的關(guān)系，從若干個(gè)高中男學(xué)生中抽取了1000個(gè)樣本，得到如下數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)一：身高在[170，180）（單位：cm）的體重頻數(shù)統(tǒng)計(jì)體重（kg）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）人數(shù)206010010080201010數(shù)據(jù)二：身高所在的區(qū)間含樣本的個(gè)數(shù)及部分?jǐn)?shù)據(jù)身高x（cm）[140，150）[150，160）[160﹣170）[170﹣180）[180﹣190）平均體重y（kg）4553.66075（Ⅰ）依據(jù)數(shù)據(jù)一將下面男高中生身高在[170﹣180）（單位：cm）體重的頻率分布直方圖補(bǔ)充完整，并利用頻率分布直方圖估計(jì)身高在[170﹣180）（單位：cm）的中學(xué)生的平均體重；（保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（Ⅱ）依據(jù)數(shù)據(jù)一、二，計(jì)算身高（取值為區(qū)間中點(diǎn)）和體重的相關(guān)系數(shù)約為0.99，能否用線性回歸直線來刻畫中學(xué)生身高與體重的相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)說明理由；若能，求出該回歸直線方程；（Ⅲ）說明殘差平方和或相關(guān)指數(shù)R2與線性回歸模型擬合效果之間關(guān)系．（只需寫出結(jié)論，不需要計(jì)算）參考公式：b?=i=1參考數(shù)據(jù)：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．（4）728×165＝120120．例12．市政府為了節(jié)約用水，調(diào)查了100位居民某年的月均用水量（單位：t），頻數(shù)分布如下：分組[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）[2.5，3）[3，3.5）[3.5，4）[4，4.5]頻數(shù)4815222514642（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整（不必說明理由）；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)本市居民月均用水量的中位數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)本市居民月均用水量的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)由該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）．例13．某地區(qū)100居民的人均用水量（單位：t）的分組的頻數(shù)如下：[0，0.5），4；[0.5，1），8；[1，1.5），15；[1.5，2），22；[2，2.5），25；[2.5，3），14；[3，3.5），6；[3.5，4），4；[4，4.5），2．（1）列出樣本的頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖，并根據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（坐標(biāo)軸單位自定）（3）當(dāng)?shù)卣朴喠巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn)，若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi)，當(dāng)?shù)卣忉屨f，85%以上的居民不超出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)解釋對(duì)嗎？為什么？例14．某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其物理成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后畫出如下頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（Ⅰ）估計(jì)這次考試的眾數(shù)m與中位數(shù)n（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（Ⅱ）估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分．例15．為應(yīng)對(duì)新冠疫情，重慶市于2020年1月24日啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)機(jī)制，要求市民少出門，少聚集，于是快遞業(yè)務(wù)得到迅猛發(fā)展．為滿足廣大市民的日常生活所需，某快遞公司以優(yōu)厚的條件招聘派送員，現(xiàn)給出了兩種日薪薪酬方案，甲方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪150元，每日前55單沒有獎(jiǎng)勵(lì)，超過55單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)10元．（Ⅰ）請(qǐng)分別求出這兩種薪酬方案中日薪y(tǒng)（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）根據(jù)該公司所有派送員10天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)與天數(shù)滿足以下表格：日均派送單數(shù)5054565860頻數(shù)（天）23221回答下列問題：①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為X（單位：元），試分別求出這10天中甲、乙兩種方案的日薪X的平均數(shù)及方差；②結(jié)合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想，若你去應(yīng)聘派送員，選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由．（參考數(shù)據(jù)：172＝289，372＝1369）例16．2019年起，全國(guó)地級(jí)及以上城市全面啟動(dòng)生活垃圾分類工作，垃圾分類投放逐步成為居民的新時(shí)尚．為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了某市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）：“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾300703080可回收垃圾302103030有害垃圾20206020其他垃圾10201060（1）分別估計(jì)廚余垃圾和有害垃圾投放正確的概率；（2）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，d，其中a＞0，a+b+c+d＝800．當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c，d的方差s2最大時(shí)，寫出a，b，c，d的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)s2的值．例17．某市教育局為了解全市高中學(xué)生在素質(zhì)教育過程中的幸福指數(shù)變化情況，對(duì)8名學(xué)生在高一，高二不同學(xué)習(xí)階段的幸福指數(shù)進(jìn)行了一次跟蹤調(diào)研．結(jié)果如表：學(xué)生編號(hào)12345678高一階段幸福指數(shù)9593969497989695學(xué)生編號(hào)12345678高二階段幸福指數(shù)9497959695949396（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)情況，分別計(jì)算出兩組數(shù)據(jù)的平均值及方差；（2）請(qǐng)根據(jù)上述結(jié)果，就平均值和方差的角度分析，說明在高一，高二不同階段的學(xué)生幸福指數(shù)狀況，并發(fā)表自己觀點(diǎn)．例18．2020年1月，教育部《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》印發(fā)，自2020年起，在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”）．強(qiáng)基計(jì)劃聚焦高端芯片與軟件、智能科技、新材料、先進(jìn)制造和國(guó)家安全等關(guān)鍵領(lǐng)域以及國(guó)家人才緊缺的人文社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．新材料產(chǎn)業(yè)是重要的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，如圖是我國(guó)2011﹣2019年中國(guó)新材料產(chǎn)業(yè)市場(chǎng)規(guī)模及增長(zhǎng)趨勢(shì)圖．其中柱狀圖表示新材料產(chǎn)業(yè)市場(chǎng)規(guī)模（單位：萬億元），折線圖表示新材料產(chǎn)業(yè)市場(chǎng)規(guī)模年增長(zhǎng)率（%）．（1）求從2012年至2019年，每年新材料產(chǎn)業(yè)市場(chǎng)規(guī)模年增長(zhǎng)量的平均數(shù)（精確到0.1）；（2）從2015年至2019年中隨機(jī)挑選兩年，求兩年中至少有一﹣年新材料產(chǎn)業(yè)市場(chǎng)規(guī)模年增長(zhǎng)率超過20%的概率；（3）由圖判斷，從哪年開始連續(xù)三年的新材料產(chǎn)業(yè)市場(chǎng)規(guī)模的方差最大．（結(jié)論不要求證明）

專題3頻率分布直方圖例1．要調(diào)查某地區(qū)高中學(xué)生身體素質(zhì)，從高中生中抽取100人進(jìn)行跳高測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)制作頻率分布直方圖如圖，現(xiàn)從成績(jī)?cè)赱120，140）之間的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，應(yīng)從[120，130）間抽取人數(shù)為b，則（）A．a(chǎn)＝0.2，b＝2 B．a(chǎn)＝0.025，b＝3 C．a(chǎn)＝0.3，b＝4 D．a(chǎn)＝0.030，b＝3【解析】解：由題得10×（0.005+0.035+a+0.020+0.010）＝1，所以a＝0.030．在[120，130）之間的學(xué)生人數(shù)為：100×10×0.030＝30人，在[130，140）之間的學(xué)生人數(shù)為：100×10×0.020＝20人，在[120，140）之間的學(xué)生人數(shù)為：100×（10×0.030+0.020）＝50人，又用分層抽樣的方法在[120，140）之間的學(xué)生50人中抽取5人，即抽取比例為：110所以成績(jī)?cè)赱120，130）之間的學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)，30×110=故選：D．例2．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量表得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）110，120）頻數(shù)1420361812估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）（）A．100 B．98.8 C．96.6 D．94.4【解析】解：平均數(shù)x→故選：D．例3．“新冠肺炎”席卷全球，我國(guó)醫(yī)務(wù)工作者為了打好這次疫情阻擊戰(zhàn)，充分發(fā)揮優(yōu)勢(shì)，很快抑制了病毒，據(jù)統(tǒng)計(jì)老年患者治愈率為71%，中年患者治愈率為85%，青年患者治愈率為91%．如果某醫(yī)院有30名老年患者，40名中年患者，50名青年患者，則估計(jì)該醫(yī)院的平均治愈率是（）A．86% B．83% C．90% D．84%【解析】解：利用求加權(quán)平均數(shù)的公式解得：30×71%+40×85%+50×91%30+40+50故選：D．例4．已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn（n∈N*）的平均數(shù)與方差分別是a和b，若yi＝﹣2xi+3（i＝1，2，…n），且樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)與方差分別是b和a，則a﹣b＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：由題意得：?2a+3=ba=4b，解得：a=43b=1故選：A．例5．下面定義一個(gè)同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的標(biāo)志為：“連續(xù)5次考試成績(jī)均不低于120分”．現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)連續(xù)5次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：①甲同學(xué)：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為127，眾數(shù)為120；②乙同學(xué)：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為125，總體均值為127；③丙同學(xué)：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為135，總體均值為128，總體方差為19.8．則可以判定數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀同學(xué)為（）A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙【解析】解：在①中，甲同學(xué)：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為127，眾數(shù)為120，所以前三個(gè)數(shù)為120，120，127，則后兩個(gè)數(shù)肯定大于127，故甲同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，故①成立；在②中，5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為125，總體均值為127，可以找到很多反例，如：118，119，125，128，145，故乙同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀，故②不成立；在③中，5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為135，總體均值為128，總體方差為19.8設(shè)x1＜x2＜x3＜x4，則丙的方差為15[（x1﹣128）2+（x2﹣128）2+（x3﹣128）2+（x4﹣128）2+（135﹣128）2∴（x1﹣128）2+（x2﹣128）2+（x3﹣128）2+（x4﹣128）2＝50，∴（x1﹣128）2≤50，得|x1﹣128|≤5，∴x1≥128﹣5＞120，∴丙同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，故③成立．∴數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀有甲和丙2個(gè)同學(xué)．故選：C．例6．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)x=3，方差s2＝1，則數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，…，2xnA．6，6 B．9，2 C．9，6 D．9，4【解析】解：由題意若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)x=3，方差s2可得x1+x2+…+xn＝3n，則：2x1+3+x2+3+…+xn+3＝2（x1+x2+…+xn）+3n＝9n，所以數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均數(shù)為9．又S2=1n[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（xn﹣3）所以[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（xn﹣3）2]＝n，所以1n[（2x1+3﹣9）2+（2x2+3﹣9）2+…+（2xn+3﹣9）2]=4n[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（xn則數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，…，2xn+3的平均數(shù)和方差分別為9，4．故選：D．例7．隨著城鎮(zhèn)化的不斷發(fā)展，老舊小區(qū)的改造及管理已經(jīng)引起了某市政府的高度重視，為了了解本市甲，乙兩個(gè)物業(yè)公司管理的小區(qū)住戶對(duì)其服務(wù)的滿意程度，現(xiàn)從他們所服務(wù)的小區(qū)中隨機(jī)選擇了40個(gè)住戶，根據(jù)住戶對(duì)其服務(wù)的滿意度評(píng)分，得到A區(qū)住戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B區(qū)住戶滿意度評(píng)分的頻率分布表．B區(qū)住戶滿意度評(píng)分的頻率分布表滿意度評(píng)分分組[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]頻數(shù)4610128（Ⅰ）在圖2中作出B區(qū)住戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過頻率分布直方圖計(jì)算兩區(qū)住戶滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（其中分散程度不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；（Ⅱ）根據(jù)住戶滿意度評(píng)分，將住戶和滿意度分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分，評(píng)定為不滿意；滿意度評(píng)分在70分到89分之間，評(píng)定為滿意；滿意度評(píng)分不低于90分，評(píng)定為非常滿意．試估計(jì)哪個(gè)地區(qū)住戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？若是要選擇一個(gè)物業(yè)公司來管理老舊小區(qū)的物業(yè)，從滿意度角度考慮，應(yīng)該選擇哪一個(gè)物業(yè)公司？說明理由．【解析】解：（Ⅰ）作出如圖所示的頻率分布直方圖，B區(qū)住戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示A區(qū)住戶滿意度評(píng)分的平均值為45×0.1+55×0.2+65×0.3+75×0.2+85×0.15+95×0.05＝67.5；B區(qū)住戶滿意度評(píng)分的平均值為55×0.1+65×0.15+75×0.25+85×0.3+95×0.2＝78.5．通過比較兩區(qū)住戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B區(qū)住戶滿意度評(píng)分比較集中，而A區(qū)住戶滿意度評(píng)分比較分散．（Ⅱ）記D表示事件：“A區(qū)住戶的滿意度等級(jí)為不滿意”，記E表示事件：“B區(qū)住戶的滿意度等級(jí)為不滿意”，則P（D）＝（0.010+0.020+0.030）×10＝0.6，P（E）＝（0.010十0.015）×10＝0.25，所以A區(qū)住戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率較大．若是要選擇一個(gè)物業(yè)公司來管理老舊小區(qū)的物業(yè)，從滿意度等級(jí)為滿意來考慮，應(yīng)該選擇乙物業(yè)公司來為小區(qū)服務(wù)，這樣的話小區(qū)住戶滿意度會(huì)高一些．例8．某校在一次期末數(shù)學(xué)測(cè)試中，為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況，從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績(jī)，被測(cè)學(xué)生成績(jī)?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿分150分），將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[65，75），第二組[75，85），……第八組[135，145]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．（1）求第七組的頻率，并完成頻率分布直方圖；（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值）；（3）若從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求他們的分差的絕對(duì)值小于10分的概率．【解析】解：（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：1﹣（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0.004）×10＝0.08．完成頻率分布直方圖如下：（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分為：70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.016×10+100×0.030×10+110×0.020×10+120×0.006×10+130×0.008×10+140×0.004×10＝102．（3）樣本成績(jī)屬于第六組的有0.006×10×50＝3人，樣本成績(jī)屬于第八組的有0.004×10×50＝2人，從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，基本事件總數(shù)n=C他們的分差的絕對(duì)值小于10分包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C∴他們的分差的絕對(duì)值小于10分的概率p=m例9．我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x，用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．下面是居民月均用水量的抽樣頻率分布直方圖．①求直方圖中a的值；②試估計(jì)該市居民月均用水量的眾數(shù)、平均數(shù)；③設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；④如果希望85%的居民月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x，那么標(biāo)準(zhǔn)x定為多少比較合理？【解析】解：①由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1，∵頻率＝（頻率/組距）*組距，∴0.5×（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）＝1，解得：a＝0.3，∴a的值為0.3；②由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民月均用水量的眾數(shù)為2+2.52估計(jì)該市居民月均用水量的平均數(shù)為：0.5（0.25×0.08+0.75×0.16+1.25×0.3+1.75×0.4+2.25×0.52+2.75×0.3+3.25×0.12+3.75×0.08+4.25×0.04）＝2.035（噸）．③由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為0.5×（0.12+0.08+0.04）＝12%，∴全市月均用水量不低于3噸的人數(shù)為：30×12%＝3.6（萬）；④由頻率分布直方圖得月均用水量低于2.5噸的頻率為：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）＝0.73＜85%，月均用水量低于3噸的頻率為：0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）＝0.88＞85%，∴x＝2.5+0.5×0.85?0.73例10．如圖是某校高三（1）班的一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的基葉圖（圖中僅列出[50，60），[90，100）的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖．（1）求全班人數(shù)以及頻率分布直方圖中的x，y；（2）估計(jì)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）．【解析】解：（1）分?jǐn)?shù)在[50，60）的頻率為0.020×10＝0.2，由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在[50，60）之間的頻數(shù)為5，所以全班人數(shù)為50.2分?jǐn)?shù)在[90，100）之間的頻數(shù)為2，由225=10y，解得又10x＝1﹣10×（0.036+0.024+0.020+0.008），解得x＝0.012．（2）由頻率分布直方圖，計(jì)算平均數(shù)為x=由0.2+0.24+0.36＝0.80，所以中位數(shù)在[70，80）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為m，則0.20+0.24+（m﹣70）×0.036＝0.5，解得m≈71.67，所以中位數(shù)約為71.67．例11．某高中數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)為了研究所在地區(qū)男高中生的身高與體重的關(guān)系，從若干個(gè)高中男學(xué)生中抽取了1000個(gè)樣本，得到如下數(shù)據(jù)．?dāng)?shù)據(jù)一：身高在[170，180）（單位：cm）的體重頻數(shù)統(tǒng)計(jì)體重（kg）[50，55）[55，60）[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）人數(shù)206010010080201010數(shù)據(jù)二：身高所在的區(qū)間含樣本的個(gè)數(shù)及部分?jǐn)?shù)據(jù)身高x（cm）[140，150）[150，160）[160﹣170）[170﹣180）[180﹣190）平均體重y（kg）4553.66075（Ⅰ）依據(jù)數(shù)據(jù)一將下面男高中生身高在[170﹣180）（單位：cm）體重的頻率分布直方圖補(bǔ)充完整，并利用頻率分布直方圖估計(jì)身高在[170﹣180）（單位：cm）的中學(xué)生的平均體重；（保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（Ⅱ）依據(jù)數(shù)據(jù)一、二，計(jì)算身高（取值為區(qū)間中點(diǎn)）和體重的相關(guān)系數(shù)約為0.99，能否用線性回歸直線來刻畫中學(xué)生身高與體重的相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)說明理由；若能，求出該回歸直線方程；（Ⅲ）說明殘差平方和或相關(guān)指數(shù)R2與線性回歸模型擬合效果之間關(guān)系．（只需寫出結(jié)論，不需要計(jì)算）參考公式：b?=i=1參考數(shù)據(jù)：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．（4）728×165＝120120．【解析】解：（1）身高在[170，180）的總?cè)藬?shù)為：20+60+100+100+80+20+10+10＝400，體重在[55﹣60）的頻率為：60400體重在[70﹣75）的頻率為：80400平均體重為：52.5×0.05+57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.25+72.5×0.2+77.5×0.05+82.5×0.025+87.5×0.025≈66.4，（2）因?yàn)閞＝0.99→1，線性相關(guān)很強(qiáng)，故可以用線性回歸直線來刻畫中學(xué)生身高與體重的相關(guān)，x=145+155+165+175+1855b?a?所以回歸直線方程為：y?（3）殘差平方和越小或相關(guān)指數(shù)R2越接近于1，線性回歸模型擬合效果越好．例12．市政府為了節(jié)約用水，調(diào)查了100位居民某年的月均用水量（單位：t），頻數(shù)分布如下：分組[0，0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）[2.5，3）[3，3.5）[3.5，4）[4，4.5]頻數(shù)4815222514642（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整（不必說明理由）；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)本市居民月均用水量的中位數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)本市居民月均用水量的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)由該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）．【解析】解：（1）頻率分布直方圖如圖所示：（2）∵0.04+0.08+0.15+0.22＝0.49＜0.5，∴中位數(shù)為2+0.5?0.49（3）由頻率分布直方圖得平均數(shù)為：0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02＝2.02．例13．某地區(qū)100居民的人均用水量（單位：t）的分組的頻數(shù)如下：[0，0.5），4；[0.5，1），8；[1，1.5），15；[1.5，2），22；[2，2.5），25；[2.5，3），14；[3，3.5），6；[3.5，4），4；[4，4.5），2．（1）列出樣本的頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖，并根據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；（坐標(biāo)軸單位自定）（3）當(dāng)?shù)卣朴喠巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn)，若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi)，當(dāng)?shù)卣忉屨f，85%以上的居民不超出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)解釋對(duì)嗎？為什么？【解析】解：（1）分組頻數(shù)頻率[0，0.5）40.04[0.5，1）80.08[1，1.5）150.15[1.5，2）220.22[2，2.5）250.25[2.5，3）140.14[3，3.5）60.06[3.5，4）40.04[4，4.5）20.02（2）：頻率分布直方圖如下圖，由圖知，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2.25．（3）人均月用水量在3t以上的居民的比例為6%+4%+2%＝12%，即大約是有12%的居民月均用水量在3t以上，88%的居民月均用水量在3t以下，因此，政府的解釋是正確的．例14．某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其物理成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后畫出如下頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（Ⅰ）估計(jì)這次考試的眾數(shù)m與中位數(shù)n（結(jié)果保留一位小數(shù)）；（Ⅱ）估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分．【解析】解：（Ⅰ）眾數(shù)是最高小矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以眾數(shù)為m＝75（分）；（3分）前三個(gè)小矩形面積為0.01×10+0.015×10+0.015×10＝0.4，∵中位數(shù)要平分直方圖的面積，∴n=70+0.5?0.4（Ⅱ）依題意，60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為（0.015+0.03+0.025+0.005）*10＝0.75所以，抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是75%（11分）利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6＝45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71估計(jì)這次考試的平均分是71分．（14分）例15．為應(yīng)對(duì)新冠疫情，重慶市于2020年1月24日啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng)機(jī)制，要求市民少出門，少聚集，于是快遞業(yè)務(wù)得到迅猛發(fā)展．為滿足廣大市民的日常生活所需，某快遞公司以優(yōu)厚的條件招聘派送員，現(xiàn)給出了兩種日薪薪酬方案，甲方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪150元，每日前55單沒有獎(jiǎng)勵(lì)，超過55單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)10元．（Ⅰ）請(qǐng)分別求出這兩種薪酬方案中日薪y(tǒng)（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）根據(jù)該公司所有派送員10天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)與天數(shù)滿足以下表格：日均派送單數(shù)5054565860頻數(shù)（天）23221回答下列問題：①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為X（單位：元），試分別求出這10天中甲、乙兩種方案的日薪X的平均數(shù)及方差；②結(jié)合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想，若你去應(yīng)聘派送員，選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由．（參考數(shù)據(jù)：172＝289，372＝1369）【解析】解：（1）甲方案，y＝100+n；乙方案，y=150，n≤55（2），①甲方案中，根據(jù)已知表格可計(jì)算出日平均派送單數(shù)為2×50+3×54+2×56+2×58+6010=55，方差為0.2×（50﹣55）2+0.3×（54﹣55）2+0.2×（56﹣55）2+0.2×（58﹣55）2+0.1×（60﹣55）所以，由（1）中變量之間的關(guān)系，可以指，甲方案的日薪X的平均數(shù)為155，方差為9.8．乙方案中，日薪X的平均數(shù)為[5×150+160×2+180×2+200]×0.1＝163，日薪方差為0.5×（150﹣163）2+0.2×（160﹣163）2+0.2×（180﹣163）2+0.1×（200﹣163）2＝213.4．（3）若去應(yīng)聘派送員，我會(huì)選擇乙方案，從平均數(shù)的角度來看，乙方案的平均薪酬更高，同時(shí)更有激勵(lì)作用．例16．2019年起，全國(guó)地級(jí)及以上城市全面啟動(dòng)生活垃圾分類工作，垃圾分類投放逐步成為居民的新時(shí)尚．為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了某市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）：“廚余垃圾”箱“可回收垃圾”箱“有害垃圾”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾300703080可回收垃圾302103030有害垃圾20206020其他垃圾10201060（1）分別估計(jì)廚余垃圾和有害垃圾投放正確的概率；（2）假設(shè)廚