數學教案：幾何概型第一課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精3。3幾何概型整體設計教材分析這部分是新增加的內容。幾何概型是另一類等可能性概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗的結果不是有限個，利用幾何概型可以很容易舉出概率為0的事件不是不可能事件的例子,概率為1的事件不是必然事件的例子.隨機模擬中的統(tǒng)計思想是用頻率估計概率,這一點與古典概型是一致的.本節(jié)的教學需要一些實物模型為教具，如教科書中的長度3米的繩子模型、例1中的隨機撒豆子的模型等。教學中應當注意讓學生實際動手操作，以使學生相信模擬結果的真實性，然后再通過計算機或計算器產生均勻隨機數進行模擬試驗,得到模擬的結果。在這個過程中，要讓學生體會結果的隨機性與規(guī)律性，體會隨著試驗次數的增加,結果的精度會越來越高。隨機數的產生與隨機模擬的教學中要充分使用信息技術，讓學生親自動手產生隨機數，進行模擬活動。第一個課時主要講授幾何概型的特點及其概率計算公式和運用幾何概型解決求某一個事件的概率的例題教學；第二課時主要是通過例題教學及用計算機隨機模擬試驗(運用Excel軟件），以及課堂練習加強學生對幾何概型的鞏固。幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗的可能結果不是有限個.它的特點是在一個區(qū)域內均勻分布，所以隨機事件的概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀、位置無關,只與該區(qū)域的大小有關.如果隨機事件所在區(qū)域是一個單點，由于單點的長度、面積、體積均為0，則它出現的概率為0,但它不是不可能事件;如果一個隨機事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，則它出現的概率為1，但它不是必然事件。教材中例1的教學可以分解為如下步驟：（1）把問題抽象成幾何概型。隨機撒一把豆子,每個豆子落在正方形內任何一點是等可能的,則落在某個區(qū)域的豆子數只與這個區(qū)域的面積大小有關(近似成正比），而與區(qū)域的位置和形狀無關，這符合幾何概型的條件，可以看成幾何概型。(2)利用幾何概型求概率的公式，得到P（豆子落入圓內）=.(3)啟發(fā)引導學生探究圓周率π的近似值，用多種方式來模擬.三維目標1。通過解決具體問題的實例去感受幾何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判斷方法。2.理解幾何概型的意義、特點,會用公式計算幾何概率.3.通過解決具體問題,體會數學在生活中的重要作用,培養(yǎng)嚴謹的思維習慣.4.學會依據具體問題的實際背景分析問題、解決問題的能力。重點難點教學重點：1.體會隨機模擬中的統(tǒng)計思想。2。用樣本估計總體。3。理解幾何概型的定義、特點、會用公式計算幾何概率.教學難點：1.等可能性的判斷與幾何概型和古典概型的區(qū)別.2.把求未知量的問題轉化為幾何概型求概率的問題.課時安排2課時教學過程第1課時導入新課設計思路一：(問題導入)根據下述試驗，回答問題：一個實驗是這樣做的,將一條5米長的繩子隨機地切斷成兩條，事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件,試問事件T發(fā)生的概率.設計思路二:(情境導入）根據下列游戲,回答相應問題：游戲規(guī)則如下：由邊長為1米的四方板構成靶子，并將此板分成四個邊長為1/2米的小方塊（如圖）。由游戲者向板中投鏢，事件A表示投中陰影部分為成功。試問投中陰影部分即事件A發(fā)生的概率。推進新課新知探究我們先來解決“導入”中設計思路一中的問題.分析：類似于古典概型，我們希望先找到基本事件組,即找到其中每一個基本事件。注意到每一個基本事件都與唯一一個斷點一一對應，故設計思路一中的實驗所對應的基本事件組中的基本事件就與線段AB上的點一一對應。若把離繩AB首尾兩端1的點記作M、N，則顯然事件T所對應的基本事件所對應的點在線段MN上。由于在古典概型中事件T的概率為T包含的基本事件個數/總的基本事件個數,但這兩個數字（T包含的基本事件個數、總的基本事件個數）在引例1中是無法找到的，不過用線段MN的長除以線段AB的長表示事件T的概率似乎也是合理的。線段AB長5,線段AM、BN長為1，則線段MN長為3解：P(T）=3/5.此結果用第一節(jié)的統(tǒng)計的方法來驗證是正確的.從上面的分析可以看到，對于一個隨機試驗，如果我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地抽取一點,而該區(qū)域內每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域內的點.這樣就可以把隨機事件與幾何區(qū)域聯系在一起。這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等。用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型（geometricprobabilitymodel)一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內部一個區(qū)域d內”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A)=。這里要求D的測度不為0,其中“測度”的意義依D確定，當D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應的“測度”分別是長度、面積和體積等.類似于設計思路一的解釋,完全可以把設計思路二中的實驗所對應的基本事件組與大的正方形區(qū)域聯系在一起，即事件組中的每一個基本事件與大正方形區(qū)域中的每一個點一一對應，則事件A所包含的基本事件就與陰影正方形中的點一一對應，這樣我們用陰影正方形的面積除以大正方形的面積表示事件A的概率是合理的.這一點我們完全可以用設計思路一的方法驗證其正確性。解：P（A）=（1/2）2/12=1/4。在某些情況中,可把實驗中基本事件組中的每一個基本實驗與某一個幾何區(qū)域D中的點一一對應起來，這個區(qū)域可以是一段曲線（一維區(qū)域），或一個平面區(qū)域（二維區(qū)域).這樣在實驗中某一事件A，就可與幾何區(qū)域D中的子區(qū)域d表示了，如下圖：試驗:從D中隨機地取一點；事件發(fā)生：所取的點屬于d；事件未發(fā)生:所取的點不屬于d。這樣事件A的概率如何計算呢?在設計思路一中，P（A）=子區(qū)域d的長度/區(qū)域D的長度=3/5。在設計思路二中,P（A)=子區(qū)域d的面積/區(qū)域D的面積=1/4。從上面的分析可以看到，對于一個隨機試驗,如果我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地抽取一點，而該區(qū)域內每一點被取到的機會都一樣;而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域內的點。這樣就可以把隨機事件與幾何區(qū)域聯系在一起。這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型（geometricprobabilitymodel）一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內部一個區(qū)域d內”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A）=。這里要求D的測度不為0，其中“測度"的意義依D確定，當D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應的“測度”分別是長度、面積和體積等。通過對以上兩個設計思路的分析，我們看到事件A的概率用子區(qū)域d的大小與幾何區(qū)域D大小的比值來表示是合理的.當子區(qū)域d和幾何區(qū)域D是一維區(qū)域時，它們的大小用它們的長度來表示；當子區(qū)域d和幾何區(qū)域D是二維區(qū)域時，它們的大小用它們的面積來表示；當子區(qū)域d和幾何區(qū)域D是三維區(qū)域時，它們的大小用它們的體積來表示.為定義統(tǒng)一，若幾何區(qū)域的大小我們稱為這個區(qū)域的“測度”，則P（A）=子區(qū)域d的測度/區(qū)域D的測度.由于幾何區(qū)域d是幾何區(qū)域D的子集,于是我們有0≤d的測度≤D的測度，在不等式兩側同時除以D的測度（一般假定其為正數）則有，即0≤P≤1，這個不等式表明幾何概型的概率在0和1之間。注意到當p（A）＝0時,d的測度一定為0（一個點的長度是0，一條曲線的面積是0）,且當p(A)=1時,d的測度必須等于D的測度。幾何概型的基本特點是：（1）在每一次隨機試驗中，不同的試驗結果有無窮多個，即基本事件有無限個;(2）在這個隨機試驗中，每個試驗結果出現的可能性相等，即基本事件的發(fā)生是等可能的。從幾何概型具有的特點來看，幾何概型與古典概型的區(qū)別在于，幾何概型是無限多個等可能事件的情形,而古典概型中的等可能事件只是有限個.應用示例思路1例1判斷下列試驗中事件A發(fā)生的概率是古典概型，還是幾何概型。（1）拋擲兩顆骰子,求出現兩個“4點”的概率；(2）如圖中有一個轉盤，甲乙兩人玩轉盤游戲，規(guī)定當指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率.分析：本題考查的是幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性和等可能性.而幾何概型則是在試驗中出現無限多個結果，且與事件的區(qū)域長度有關。解:(1）拋擲兩顆骰子,出現的可能結果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；（2）游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結果,而且不難發(fā)現“指針落在陰影部分”,概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長度有關，因此屬于幾何概型.點評：區(qū)別某一個問題是屬于古典概型還是屬于幾何概型，要注意抓住它們的特點:幾何概型是無限多個等可能事件的情形,而古典概型中的等可能事件只是有限個。例2在一個量杯中裝有1升的水,其中含有一個細菌，現在用一個小杯子從中取出0.1升的水,求這個小杯子所取出的水中含有這個細菌的概率。分析：細菌在量杯的水中的分布可以看成是隨機的，因此符合幾何概型的特點，所以可以運用幾何概型概率的解法來求解.解：細菌在水中的分布看成是隨機的，符合幾何概型的特點，從這個量杯中取出的0.1升水看成區(qū)域d,所有的1升水看成區(qū)域D，記事件A為“小杯子所取出的水中含有這個細菌",則P(A)==0.1.答:這個小杯子所取出的水中含有這個細菌的概率為0。1.點評：在本題中,“測度”是體積；基本事件（這個細菌可以生存在這1升水的任何區(qū)域）有無限多個,同時因為是隨機分布的，即基本事件是等可能的，所以符合幾何概型的特點，因此，選擇幾何概型的計算方法計算概率.例3將正方形ABCD等分成九個小正方形，并用紅、黃、藍三種顏色涂成如圖所示的圖案，向正方形ABCD內隨機投點，分別求下列事件的概率.(1）點落在紅色區(qū)域；（2）點落在紅色或藍色區(qū)域；(3)點落在黃色或藍色區(qū)域。分析:因為投點時是隨機的，而且點落在正方形是隨機分布的,因此，符合幾何概型的特點,所以,用幾何概型計算概率的方法來解.解：(1）記事件A為“點落在紅色區(qū)域”，假設正方形ABCD的面積為9個單位,則P(A）=.（2)記事件B為“點落在紅色或藍色區(qū)域"，同樣假設正方形ABCD的面積為9個單位，則P（B）=.（3)記事件C為“點落在黃色或藍色區(qū)域"，同樣假設正方形ABCD的面積為9個單位，則P（C)=。點評：在本題中，計算概率時所涉及的“測度”是正方形的面積，因此,準確判斷幾何圖形的面積是解決“測度”是幾何圖形的面積的幾何概型問題的關鍵.例4甲、乙兩人相約在上午9：00至10：00之間在某地見面，可是兩人都只能在那里停留5分鐘。問兩人能夠見面的概率有多大？分析：由于甲、乙兩人是隨機出現在約會地點,而且在每一時刻出現是等可能的，因此用幾何概型來解。解：為（9+x）小時，乙到的時間為（9＋y）小時，則0≤x≤1，0≤y≤1.點（x,y）形成直角坐標系中的一個邊長為1的正方形，以(0，0)，(1,0）,（0,1），（1，1）為頂點（如圖）.由于兩人都只能停留5分鐘即小時，所以在｜x－y|≤時，兩人才能會面.由于｜x－y|≤是兩條平行直線x－y=,y－x=之間的帶狀區(qū)域，正方形在這兩個帶狀區(qū)域是兩個三角形，其面積之和為（1－)×（1－）=(）2，從而帶形區(qū)域在這個正方形內的面積為1－(）2=，因此所求的概率為.點評：本題將時間看成是“測度",因此，建立適當的“測度”是解決本題的關鍵。思路2例1有一段長為10米的木棍，現要將其截成兩段，要求每一段都不小于3米，則符合要求的截法的概率是多大?分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是說只能在距兩端都為3米的中間的4米中截，這是一道非常典型的與長度有關的幾何概型問題.解:記兩段木棍都不小于3米為事件A，則P(A）=。點評：本題中“測度”為長度。例2飛鏢隨機地投擲在如圖所示的靶子上，（1)在每一個靶子中,飛鏢投到區(qū)域A、B、C的概率分別為多少？(2)在靶子1中，分別投中區(qū)域A或B的概率是多少?(3)在靶子2中，飛鏢沒有投中區(qū)域C的概率是多少？（假設每一次投擲都沒有脫靶)（靶子1是正三角形，三角形內的三條線段是三角形的頂點與重心的連線；靶子2中水平線是圓的直徑，豎直的線段是垂直于直徑的半徑）分析:由于飛鏢投中的位置是隨機的，因此,投中的結果有無數個,而飛鏢投中任何位置的可能性相等,因此，本題符合幾何概型的特點，所以運用幾何概型的概率計算方法來求解。解：(1）在靶子1中分別記“飛鏢投到區(qū)域A、B、C”為事件A、B、C,設正三角形的面積為S，則三個小三角形的面積（也就是區(qū)域A、B、C的面積）都是正三角形面積的,即每個小三角形的面積都是，所以，P(A)=P（B）=P（C)=。在靶子2中分別記“飛鏢投到區(qū)域A、B、C”為事件A1、B1、C1,設圓的面積為S1，則區(qū)域A的面積為，區(qū)域B、C的面積為,因此，P（A1)=,P(B1）=P(C1)=.(2）記事件D為“在靶子1中，分別投中區(qū)域A或B”,所以，P(D)=.(3)記事件E為“在靶子2中，飛鏢沒有投中區(qū)域C”，則有P(E)=.點評:在本題的飛鏢的投擲中，因為是隨機投擲，且沒有脫靶,因此，符合幾何概型的特點，所以用幾何概型來計算有關的概率。在本題中的“測度”是面積.例3如圖，正方形ABCD內接于半圓，現向半圓內隨機投一點，求該點落在正方形內的概率。分析:由于點是隨機投入半圓中，因此，符合幾何概型的特點，考慮用幾何概型的概率計算方法來求解.解：設半圓的半徑為R，正方形ABCD的邊長為x,由平面幾何知識可知：x2=(R－）（R+)，得x2=R2。記該點“落入正方形內"為事件A，則P（A)=≈0.51。點評：根據實際問題的背景，本題符合幾何概型的特點,本題的“測度”是面積.例4某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多于10分鐘的概率。分析：假設他在0～60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的，但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻，不能用古典概型公式計算隨機事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率。因為客車每小時一班,他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的,所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關，而與該時間段的位置無關，這符合幾何概型的條件。解：記事件A“等待的時間不多于10分鐘”，我們所關心的事件A恰好是到站等車的時刻位于［50，60］這一時間段內，因此由幾何概型的概率公式，得P(A)=，即此人等車時間不多于10分鐘的概率為.點評：在本題中,到站等車的時刻X是隨機的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的,因此符合幾何概型的特點，所以用幾何概型概率的計算方法來求解.知能訓練1。在500mL的水中有一個草履蟲，現從中隨機取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現草履蟲的概率是（）A.0.5B.0。4C.0。004D.不能確定2。平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r〈a的硬幣任意擲在這個平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率.3。某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤（如圖），并規(guī)定：顧客每購買100元的商品,就能獲得一次轉動轉盤的機會。如果轉盤停止時，指針正好對準紅、黃或綠的區(qū)域，顧客就可以獲得100元、50元、20元的購物券（轉盤等分成20份）.甲顧客購物120元，他獲得購物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的購物券的概率分別是多少？4。（丈夫與妻子相遇問題）一位丈夫和他的妻子要上街購物,他們決定在下午4：00到5:00之間在某一街角相會,他們約好當其中一個先到后一定要等另一人15分鐘。若另一人仍不到則離去。試問這對夫婦能夠相遇的概率為多大？假定他們到達約定地點的時間是隨機的且都在約定的一小時之內.解答:1。C（提示：由于取水樣的隨機性，所求事件A：“在取出2mL的水樣中有草履蟲”的概率等于水樣的體積與總體積之比2500=0。004)2。把“硬幣不與任一條平行線相碰”的事件記為事件A,為了確定硬幣的位置，由硬幣中心O向靠得最近的平行線引垂線OM，垂足為M，如圖所示，這樣線段OM長度（記作OM）的取值范圍就是[o，a］，只有當r＜OM≤a時硬幣不與平行線相碰,所以所求事件A的概率就是P（A）=。3。甲顧客購物的錢數在100元到200元之間，可以獲得一次轉動轉盤的機會，轉盤一共等分了20份,其中1份紅色、2份黃色、4份綠色，這符合幾何概型的條件,因此對于顧客來說：P（獲得購物券）=；P（獲得100元購物券）=；P（獲得50元購物券)=；P（獲得20元購物券）=.4。設x和y為下午4：00以后丈夫和妻子分別到達約定地點的時間（以分鐘計數）,則他們所有可能的到達時間都可由有序數對（x，y）來表示，這里0＜x＜60，0＜y<60，基本事件組所對應的幾何區(qū)域即為邊長為60的正方形區(qū)域(如下圖）,為使得兩夫婦相遇，他們的到達時間必須在相距15分鐘的間隔之內，用數學符號表示即為絕對值不等式｜x-y｜＜15（例如當妻子比丈夫晚到14分鐘時，他們是可以相遇的，這時，只需注意到x—y＝－14，即給出|x-y|＝14,不等式滿足）,而基本事件組所對應的幾何區(qū)域中｜x-y|＜15的圖形構成事件r發(fā)生的區(qū)域，事件r的陰影部分和R的區(qū)域如圖所示.因此P(r）=.點評：依據實際問題，建立相應的數學模型,將問題轉化為幾何概型問題是關鍵所在.課堂小結通過這幾節(jié)課的學習，已經有三種方法來求隨機事件發(fā)生的概率了。這三種方法分別是一、通過做試驗的方法得到隨機事件發(fā)生的頻率,以此來近似估計隨機事件的概率；二、用古典概型的公式來計算隨機事件發(fā)生的概率;三、用幾何概型的公式來計算隨機事件發(fā)生的概率。用古典概型的公式或幾何概型的公式來計算事件發(fā)