數(shù)學教案：古典概型的特征和概率計算公式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§2古典概型2．1古典概型的特征和概率計算公式eq\o（\s\up7()，\s\do5（整體設計）)教學分析本節(jié)課是高中數(shù)學（必修3)第三章“概率”的第二節(jié)“古典概型”的第一課時，是在隨機事件的概率之后,幾何概型之前,尚未學習排列組合的情況下教學的．古典概型是一種特殊的數(shù)學模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當重要的地位．學好古典概型可以為其他概率的學習奠定基礎，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率,有利于解釋生活中的一些問題．根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學生的實際水平，通過模擬試驗讓學生理解古典概型的特征:試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現(xiàn)的等可能性，觀察類比各個試驗，歸納總結出古典概型的概率計算公式,體現(xiàn)了化歸的重要思想，掌握列舉法，學會運用數(shù)形結合、分類討論的思想解決概率的計算問題．概率教學的核心問題是讓學生了解隨機現(xiàn)象與概率的意義，加強與實際生活的聯(lián)系，以科學的態(tài)度評價身邊的一些隨機現(xiàn)象．適當?shù)卦黾訉W生合作學習交流的機會,盡量地讓學生自己舉出生活和學習中與古典概型有關的實例．使得學生在體會概率意義的同時，感受與他人合作的重要性以及初步形成實事求是的科學態(tài)度和鍥而不舍的求學精神．三維目標1．根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學生的實際水平，通過模擬試驗讓學生理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現(xiàn)的等可能性，觀察類比各個試驗，正確理解古典概型的兩大特點;樹立從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點，培養(yǎng)學生用隨機的觀點來理性地理解世界，使得學生在體會概率意義的同時，感受與他人合作的重要性以及初步形成實事求是的科學態(tài)度和鍥而不舍的求學精神．2．鼓勵學生通過觀察、類比，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，歸納總結出古典概型的概率計算公式，掌握古典概型的概率計算公式；注意公式：P（A）＝eq\f（事件A包含的可能結果數(shù)，試驗的所有可能結果數(shù))的使用條件——古典概型，體現(xiàn)了化歸的重要思想．掌握列舉法,學會運用分類討論的思想解決概率的計算問題，增強學生數(shù)學思維情趣，形成學習數(shù)學知識的積極態(tài)度．重點難點教學重點：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率．教學難點:如何判斷一個試驗是否是古典概型,分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)．課時安排1課時eq\o(\s\up7（),\s\do5(教學過程））導入新課思路1.（1）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，結果只有2個,即“正面朝上”或“反面朝上”，它們都是隨機事件．（2)一個盒子中有10個完全相同的球,分別標有號碼1,2，3,…，10，從中任取一球，只有10種不同的結果，即標號為1,2，3，…，10。思考討論根據(jù)上述情況，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點？為此我們學習古典概型，教師板書課題．思路2。將撲克牌（52張)反扣在桌上，先從中任意抽取一張，那么抽到的牌為紅心的概率有多大？是否一定要進行大量的重復試驗，用“出現(xiàn)紅心"這一事件的頻率估計概率?這樣工作量較大且不夠準確．有更好地解決方法嗎？把“抽到紅心"記為事件B，那么事件B相當于“抽到紅心1”“抽到紅心2”……“抽到紅心K"這13種情況，而同樣抽到其他牌的共有39種情況;由于是任意抽取的，可以認為這52種情況的可能性是相等的．所以，當出現(xiàn)紅心是“抽到紅心1”“抽到紅心2”……“抽到紅心K”這13種情形之一時,事件B就發(fā)生，于是P（B)＝eq\f（13，52)＝eq\f(1，4).為此我們學習古典概型．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題）)試驗一:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”的次數(shù)，要求每個數(shù)學小組至少完成20次（最好是整十數(shù)），最后由課代表匯總;試驗二：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，分別記錄出現(xiàn)“1點”“2點”“3點”“4點”“5點"和“6點”的次數(shù)，要求每個數(shù)學小組至少完成60次（最好是整十數(shù)),最后由課代表匯總．1．用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率好不好?為什么?2．根據(jù)以前的學習,上述兩個模擬試驗的每個結果之間都有什么特點?3．什么是基本事件？基本事件具有什么特點？4．什么是古典概型？它具有什么特點？5．對于古典概型，應怎樣計算事件的概率？活動：學生展示模擬試驗的操作方法和試驗結果,并與同學交流活動感受,討論可能出現(xiàn)的情況，最后師生共同匯總方法、結果和感受．討論結果：1。用模擬試驗的方法來求某一隨機事件的概率不好，因為需要進行大量的試驗,同時我們只是把隨機事件出現(xiàn)的頻率近似地認為隨機事件的概率，存在一定的誤差．2．上述試驗一的兩個結果是“正面朝上”和“反面朝上”，它們都是隨機事件，出現(xiàn)的概率是相等的，都是0.5.上述試驗二的6個結果是“1點”“2點"“3點”“4點"“5點”和“6點”,它們也都是隨機事件，出現(xiàn)的概率是相等的,都是eq\f(1，6)。3．根據(jù)以前的學習，上述試驗一的兩個結果“正面朝上”和“反面朝上"，它們都是隨機事件；上述試驗二的6個結果“1點”“2點”“3點”“4點”“5點"和“6點"，它們都是隨機事件，像這類隨機事件我們稱為基本事件(elementaryevent）；它是試驗的每一個可能結果．基本事件具有如下的兩個特點：①任何兩個基本事件是互斥的;②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．4．在一個試驗中，如果：(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（有限性）（2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．（等可能性)我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率模型（classicalmodelsofprobability）,簡稱古典概型．如圖1，向一個圓面內(nèi)隨機地投射一個點，如果該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎？為什么？圖1因為試驗的所有可能結果是圓面內(nèi)所有的點，試驗的所有可能結果數(shù)是無限的,雖然每一個試驗結果出現(xiàn)的“可能性相同”，但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件．如圖2，某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)．你認為這是古典概型嗎?為什么？圖2不是古典概型,因為試驗的所有可能結果只有7個，而命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件．5．古典概型，隨機事件的概率計算對于試驗一，出現(xiàn)正面朝上的概率與反面朝上的概率相等，即P（“正面朝上”）＝P(“反面朝上”），由概率的加法公式，得P（“正面朝上”）＋P(“反面朝上")＝P（必然事件)＝1.因此P（“正面朝上")＝P(“反面朝上”）＝eq\f（1，2），即P(“出現(xiàn)正面朝上”)＝eq\f(1,2）＝eq\f（“出現(xiàn)正面朝上”所包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù)）。試驗二中,出現(xiàn)各個點的概率相等,即P(“1點”）＝P(“2點”）＝P（“3點”)＝P（“4點"）＝P(“5點"）＝P(“6點”）．反復利用概率的加法公式,我們有P(“1點”）＋P（“2點”)＋P（“3點”）＋P(“4點”）＋P（“5點”）＋P(“6點”）＝P（必然事件）＝1，所以P(“1點"）＝P(“2點")＝P（“3點”)＝P(“4點”)＝P(“5點”)＝P（“6點”）＝eq\f（1，6)。進一步，利用加法公式還可以計算這個試驗中任何一個事件的概率,例如，P(“出現(xiàn)偶數(shù)點”)＝P(“2點”)＋P（“4點”）＋P（“6點"）＝eq\f(1，6）＋eq\f(1，6)＋eq\f（1，6）＝eq\f(3,6）＝eq\f(1,2），即P(“出現(xiàn)偶數(shù)點”)＝eq\f(3，6）＝eq\f（“出現(xiàn)偶數(shù)點"所包含的基本事件的個數(shù)，基本事件的總數(shù)）.因此根據(jù)上述兩則模擬試驗，可以概括總結出，古典概型計算任何事件的概率計算公式為P(A）＝eq\f（事件A包含的可能結果數(shù),試驗的所有可能結果數(shù)）.在使用古典概型的概率公式時，應該注意：①要判斷該概率模型是不是古典概型；②要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)．下面我們看它們的應用．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例））思路1例1在一個健身房里,用拉力器進行鍛煉時，需要選取2個質(zhì)量盤裝在拉力器上．有2個裝質(zhì)量盤的箱子，每個箱子中都裝有4個不同的質(zhì)量盤:2。5kg,5kg,10kg和20kg，每次都隨機地從2個箱子中各取1個質(zhì)量盤裝在拉力器上后，再拉動這個拉力器．（1)隨機地從2個箱子中各取1個質(zhì)量盤，共有多少種可能的結果?用表格列出所有可能的結果．（2）計算選取的2個質(zhì)量盤的總質(zhì)量分別是下列質(zhì)量的概率：①20kg；②30kg；③不超過10kg；④超過10kg.（3)如果一個人不能拉動超過22kg的質(zhì)量,那么他不能拉開拉力器的概率是多少？解：（1)第一個箱子的質(zhì)量盤和第二個箱子的質(zhì)量盤都可以從4種不同的質(zhì)量盤中任意選?。覀兛梢杂靡粋€“有序?qū)崝?shù)對”來表示隨機選取的結果．例如，我們用(10，20)來表示：在一次隨機的選取中，從第一個箱子取的質(zhì)量盤是10kg,從第二個箱子取的質(zhì)量盤是20kg。下表列出了所有可能結果．從表中可以看出，隨機地從2個箱子中各取1個質(zhì)量盤的所有可能結果共有16種．由于選取質(zhì)量盤是隨機的，因此這16種結果出現(xiàn)的可能性是相同的,這個試驗屬于古典概型．(2）①用A表示事件“選取的2個質(zhì)量盤的總質(zhì)量是20kg”，因為總質(zhì)量為20kg的所有可能結果只有1種，因此，事件A的概率P（A)＝eq\f(1，16）＝0.0625.②用B表示事件“選取的2個質(zhì)量盤的總質(zhì)量是30kg”,從表中可以看出，總質(zhì)量為30kg的所有可能結果共有2種，因此,事件B的概率P(B)＝eq\f(2，16)＝eq\f(1，8)＝0。125。③用C表示事件“選取的2個質(zhì)量盤的總質(zhì)量不超過10kg”．總質(zhì)量不超過10kg，即總質(zhì)量為5kg,7.5kg,10kg之一,從表中容易看出，所有可能結果共有4種，因此，事件C的概率P（C)＝eq\f(4，16）＝eq\f(1，4)＝0.25.④用D表示事件“選取的2個質(zhì)量盤的總質(zhì)量超過10kg”．總質(zhì)量超過10kg，即總質(zhì)量為12.5kg，15kg，20kg，22.5kg,25kg,30kg,40kg之一,從表中可以看出,所有可能結果共有12種，因此，事件D的概率P（D)＝eq\f(12，16）＝eq\f（3，4)＝0.75.（3)用E表示事件“不能拉開拉力器"，即總質(zhì)量超過了22kg.總質(zhì)量超過22kg是指總質(zhì)量為22.5kg,25kg，30kg,40kg之一,從表中可以看出，這樣的可能結果共有7種,因此，不能拉開拉力器的概率P(E）＝eq\f（7，16)≈0.44。點評：在這個例子中，我們用列表的方法列出了所有可能的結果．在計算古典概率時，只要所有可能結果的數(shù)量不是很多,列舉法是我們常用的一種方法．例2單選題是標準化考試中常用的題型，一般是從A，B，C,D四個選項中選擇一個正確答案．如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案．假設考生不會做，他隨機地選擇一個答案，問他答對的概率是多少？活動:學生閱讀題目，搜集信息，交流討論，教師引導，解決這個問題的關鍵,即討論這個問題什么情況下可以看成古典概型．如果學生掌握或者掌握了部分考查內(nèi)容,這都不滿足古典概型的第2個條件——等可能性,因此，只有在假定學生不會做，隨機地選擇了一個答案的情況下，才可以化為古典概型．解：這是一個古典概型，因為試驗的可能結果只有4個：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D,即基本事件共有4個，考生隨機地選擇一個答案是A,B,C,D的可能性是相等的．從而由古典概型的概率計算公式，得P(“答對")＝eq\f(“答對"所包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))＝eq\f（1,4）＝0。25。點評:古典概型解題步驟：(1）閱讀題目，搜集信息；(2）判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件;（3）求出基本事件總數(shù)n和事件A所包含的結果數(shù)m；（4）用公式P（A)＝eq\f（m,n）求出概率并下結論。變式訓練1．拋擲兩枚均勻硬幣,求出現(xiàn)兩個正面朝上的概率．解：試驗的所有可能結果為：(正,正)，（正，反），（反，正），(反，反）．這里四個基本事件是等可能發(fā)生的，故屬古典概型．故出現(xiàn)兩個正面朝上的概率為eq\f(1,4).2．一次投擲兩顆骰子，求出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率．解法一：設A表示“出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù)”，用(i,j)記“第一顆骰子出現(xiàn)i點，第二顆骰子出現(xiàn)j點”，i,j＝1,2,…,6.顯然出現(xiàn)的36個基本事件的概率是相等的，其中A包含的基本事件個數(shù)為k＝3×3＋3×3＝18，故P（A）＝eq\f（1,2)。解法二：若把一次試驗的所有可能結果取為：（奇,奇)，(奇，偶)，（偶，奇），(偶，偶)，則它們發(fā)生的概率相等．基本事件總數(shù)n＝4，A包含的基本事件個數(shù)k＝2，故P（A）＝eq\f(1,2）。解法三：若把一次試驗的所有可能結果取為:｛點數(shù)和為奇數(shù)｝,｛點數(shù)和為偶數(shù)}，兩者發(fā)生的概率也相等,基本事件總數(shù)n＝2，A所包含基本事件數(shù)為1,故P（A）＝eq\f（1，2)。點評：找出所有的基本事件,必須是等概率的．解法二中倘若解為：(兩個奇)，(一奇一偶)，（兩個偶）當作基本事件組成樣本空間，則得出P（A）＝eq\f(1，3）,錯的原因就是它不是等概率的．例如P（兩個奇）＝eq\f(1，4），而P(一奇一偶）＝eq\f（1，2)。本例又告訴我們，同一問題可取不同的基本事件解答。例3同時擲兩個骰子，計算：(1)一共有多少種不同的結果？（2)其中向上的點數(shù)之和是5的結果有多少種？(3)向上的點數(shù)之和是5的概率是多少?解：(1）擲一個骰子的結果有6種．我們把兩個骰子標上記號1，2以便區(qū)分，由于1號骰子的每一個結果都可與2號骰子的任意一個結果配對，組成同時擲兩個骰子的一個結果，因此同時擲兩個骰子的結果共有36種．（2)在上面的所有結果中，向上的點數(shù)之和為5的結果有(1，4)，(2，3)，（3，2)，（4，1)，其中第一個數(shù)表示1號骰子的結果，第二個數(shù)表示2號骰子的結果．(3）由于所有36種結果是等可能的，其中向上點數(shù)之和為5的結果（記為事件A）有4種，因此，由古典概型的概率計算公式可得P(A)＝eq\f(4,36）＝eq\f(1，9）。例4假設儲蓄卡的密碼由4個數(shù)字組成,每個數(shù)字可以是0,1，2,…，9十個數(shù)字中的任意一個．假設一個人完全忘記了自己的儲蓄卡密碼,問他到自動取款機上隨機試一次密碼就能取到錢的概率是多少？圖3解：一個密碼相當于一個基本事件，總共有10000個基本事件，它們分別是0000，0001，0002，…，9998,9999.隨機地試密碼，相當于試到任何一個密碼的可能性都是相等的，所以這是一個古典概型．事件“試一次密碼就能取到錢”由1個基本事件構成,所以P（“試一次密碼就能取到錢”)＝eq\f(1,10000)。發(fā)生概率為eq\f（1，10000)的事件是小概率事件，通常我們認為這樣的事件在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的，也就是通過隨機試驗的方法取到儲蓄卡中的錢的概率是很小的．但我們知道，如果試驗很多次，比如100000次，那么這個小概率事件是可能發(fā)生的．所以，為了安全,自動取款機一般允許取款人最多試3次密碼，如果第4次輸入的號碼仍是錯誤的，那么取款機將“沒收”儲蓄卡．另外,為了使通過隨機試驗的方法取到儲蓄卡中的錢的概率更小,現(xiàn)在儲蓄卡可以使用6位數(shù)字作密碼．人們?yōu)榱朔奖阌洃?，通常用自己的生日作為儲蓄卡的密碼．當錢包里既有身份證又有儲蓄卡時，密碼泄密的概率很大．因此用身份證上的號碼作密碼是不安全的．思路2例1一個口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球,2只黑球,從中一次摸出兩個球，問：(1)共有多少個基本事件？(2）摸出的兩個都是白球的概率是多少？活動：可用枚舉法找出所有的等可能基本事件．解:（1)分別記白球為1,2,3號，黑球4,5號，從中摸出2只球，有如下基本事件〔摸到1,2號球用(1,2)表示〕：(1，2），(1,3),（1,4)，(1,5），(2，3），(2,4)，（2，5)，(3,4），（3,5),(4,5)．因此，共有10個基本事件．(2）上述10個基本事件發(fā)生的可能性是相同的,且只有3個基本事件是摸到兩個白球(記為事件A），即(1，2），（1，3），(2，3)，故P（A)＝eq\f(3，10）。即共有10個基本事件，摸到兩個白球的概率為eq\f(3，10).變式訓練將一顆骰子先后拋擲兩次，觀察向上的點數(shù)，問：（1）共有多少種不同的結果？(2）兩數(shù)的和是3的倍數(shù)的結果有多少種？（3)兩數(shù)的和是3的倍數(shù)的概率是多少？分析：(1）將骰子拋擲1次,它出現(xiàn)的點數(shù)有1,2，3,4,5，6這6種結果．先后拋擲兩次骰子,第一次骰子向上的點數(shù)有6種結果，第2次又有6種可能的結果，于是一共有6×6＝36種不同的結果．(2）第1次拋擲，向上的點數(shù)為1，2,3,4，5，6這6個數(shù)中的某一個，第2次拋擲時都可以有兩種結果，使向上的點數(shù)和為3的倍數(shù)（例如：第一次向上的點數(shù)為4，則當?shù)?次向上的點數(shù)為2或5時，兩次的點數(shù)的和都為3的倍數(shù)），于是共有6×2＝12種不同的結果．（3)記“向上點數(shù)和為3的倍數(shù)”為事件A,則事件A的結果有12種,因為拋兩次得到的36種結果是等可能出現(xiàn)的,所以所求的概率為P(A）＝eq\f(12，36）＝eq\f（1,3）.解:（1)先后拋擲2次，共有36種不同的結果；（2）兩數(shù)的和是3的倍數(shù)的結果有12種；(3）兩數(shù)的和是3的倍數(shù)的概率為eq\f（1，3）.點評：也可以利用圖表來數(shù)基本事件的個數(shù)(如圖4)：圖4例2從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．活動：學生思考或交流，教師引導，每次取出一個，取后不放回，其一切可能的結果組成的基本事件是等可能發(fā)生的，因此可用古典概型解決．解：每次取出一個,取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結果組成的基本事件有6個,即(a1，a2）和（a1，b2）,(a2，a1）,(a2，b1），(b1,a1)，（b1，a2）．其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品，用A表示“取出的兩件中,恰好有一件次品”這一事件，則A由(a1，b1)，(a2，b1）,(b1，a1）,（b1，a2）這4個基本事件組成，因而P(A)＝eq\f(4，6)＝eq\f（2，3).思考在上例中，把“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回"，其余條件不變，求取出的兩件中恰好有一件次品的概率。有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結果有:（a1，a1），(a1，a2)，（a1，b1），（a2，a1），（a2，a2)，（a2，b1)，（b1，a1)，(b1，a2),(b1，b1)，由9個基本事件組成,由于每一件產(chǎn)品被取到的機會均等,因此可以認為這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“恰有一件次品”這一事件，則B包含了（a1,b1),(a2，b1），（b1，a1)，(b1，a2)這4個基本事件．因而P（B）＝eq\f(4,9）。點評：（1）在連續(xù)兩次取出過程中,（a1，b1)與（b1，a1）不是同一個基本事件，因為先后順序不同．(2)無論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”，每一件產(chǎn)品被取出的機會都是均等的.變式訓練現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件,其中8件為正品，2件為次品．（1)如果從中取出一件,然后放回,再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；(2)如果從中一次取3件,求3件都是正品的概率．分析：(1）為有放回抽樣；(2）為不放回抽樣.解：（1）有放回地抽取3次，按抽取順序(x，y，z)記錄結果，則x,y,z都有10種可能,所以試驗結果有10×10×10＝103種；設事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有8×8×8＝83種，因此,P(A)＝eq\f(83,103)＝0.512。(2）方法一:可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄（x,y,z)，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結果為10×9×8＝720種．設事件B為“3件都是正品”,則事件B包含的基本事件總數(shù)為8×7×6＝336,所以P(B）＝eq\f（336,720)≈0.467。方法二：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序(x,y，z)記錄結果，則x有10種可能,y有9種可能,z有8種可能，但(x,y,z），(x，z，y)，(y,x，z),（y,z，x），(z，x，y），（z,y,x)是相同的，所以試驗的所有結果有10×9×8÷6＝120，按同樣的方法，事件B包含的基本事件個數(shù)為8×7×6÷6＝56，因此P(B）＝eq\f（56,120）≈0.467.點評：關于不放回抽樣，計算基本事件個數(shù)時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導致錯誤。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓練）)本節(jié)練習1,2，3.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（拓展提升）)一個各面都涂有色彩的正方體，被鋸成1000個同樣大小的小正方體，將這些正方體混合后，從中任取一個小正方體，求：（1)有一面涂有色彩的概率；（2）有兩面涂有色彩的概率；(3）有三面涂有色彩的概率．解:在1000個小正方體中,一面涂有色彩的有82×6個，兩面涂有色彩的有8×12個,三面涂有色彩的有8個，故（1）有一面涂有色彩的概率為P1＝eq\f（384，1000)＝0。384；(2)有兩面涂有色彩的概率為P2＝eq\f(96,1000)＝0.096;（3）有三面涂有色彩的概率為P3＝eq\f(8，1000)＝0。008。答：（1）一面涂有色彩的概率為0。384;(2)有兩面涂有色彩的概率為0。096；（3)有三面涂有色彩的概率為0。008.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結）)1．古典概型我們將具有(1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；（有限性）(2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(等可能性)這樣兩個特點的概率模型稱為古典概率概型，簡稱古典概型．2．古典概型計算任何事件的概率計算公式P（A)＝eq\f(事件A包含的可能結果數(shù),試驗的所有可能結果數(shù))。3．求某個隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)的常用方法是列舉法(畫樹狀圖和列表),應做到不重不漏．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作業(yè)）)本節(jié)練習4.eq\o(\s\up7（）,\s\do5（設計感想）)本節(jié)課的教學通過提出問題，引導學生發(fā)現(xiàn)問題,經(jīng)歷思考交流概括歸納后得出古典概型的概念，由兩個問題的提出進一步加深對古典概型的兩個特點的理解；再通過學生觀察類比推導出古典概型的概率計算公式．這一過程能夠培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力．在解決概率的計算上，讓學生感受求基本事件個數(shù)的一般方法,從而化解由于沒有學習排列組合而學習概率這一教學困惑．由此，整個教學設計可以在教師的期盼中實施．eq\o（\s\up7()，\s\do5(備課資料)）一、備選習題1．在40根纖維中，有12根的長度超過30mm,從中任取一根，取到長度超過30mm的纖維的概率是(）．A。eq\f（30,40） B。eq\f(12，40） C.eq\f(12，30) D．以上都不對解析：在40根纖維中，有12根的長度超過30mm，即基本事件總數(shù)為40，且它們是等可能發(fā)生的,所求事件包含12個基本事件，故所求事件的概率為eq\f(12，40）.答案：B2．盒中有10個鐵釘，其中8個是合格的,2個是不合格的，從中任取一個恰為合格鐵釘?shù)母怕适?)．A.eq\f(1,5) B.eq\f(1，4) C。eq\f(4,5） D。eq\f（1,10)解析:從盒中任取一個鐵釘包含基本事件總數(shù)為10，其中抽到合格鐵釘（記為事件A)包含8個基本事件，所以，所求概率為P（A)＝eq\f（8,10）＝eq\f（4，5)。答案：C3．在大小相同的5個球中，2個是紅球，3個是白球,若從中任取2個，則所取的2個球中至少有一個紅球的概率是________．解析:記大小相同的5個球分別為紅1，紅2，白1，白2，白3，則基本事件為：(紅1，紅2）,(紅1,白1)，（紅1，白2），（紅1，白3），（紅2，白1),（紅2，白2)，(紅2，白3），（白1，白2）,（白1，白3)，（白2，白3）共10個,其中至少有一個紅球的事件包括7個基本事件，所以,所求事件的概率為eq\f（7，10）.答案：eq\f（7，10)4．拋擲2顆質(zhì)地均勻的骰子，求點數(shù)和為8的概率．解：在拋擲2顆骰子的試驗中，每顆骰子均可出現(xiàn)1點，2點，…，6點6種不同的結果，我們把兩顆骰子標上記號1,2以便區(qū)分，由于1，2號骰子分別有6種不同的結果，因此同時擲兩顆骰子的結果共有6×6＝36種，在所有結果中，向上的點數(shù)之和為8的結果有（2，6）,(3，5)，(4,4），（5，3)，（6，2）5種，所以，所求事件的概率為eq\f(5，36）.5．豆的高矮性狀的遺傳由其一對基因決定，其中決定高的基因記為D，決定矮的基因記為d，則雜交所得第一子代的一對基因為Dd，若第二子代的D，d基因的遺傳是等可能的,求第二子代為高莖的概率(只要有基因D則其就是高莖，只有兩個基因全是d時，才顯現(xiàn)矮莖）．解：由于第二子代的D，d基因的遺傳是等可能的，可以將各種可能的遺傳情形都枚舉出來．Dd與Dd的搭配方式共有4種：DD，Dd，dD，dd,其中只有第四種表現(xiàn)為矮莖，故第二子代為高莖的概率為eq\f（3，4）＝0.75.答：第二子代為高莖的概率為0.75。思考：第三子代高莖的概率呢？二、古典概型經(jīng)典案例分析如果說你們班里有50人，那么我愿意和你打賭,你們班里至少有一對生日相同的人，你愿意站在我的反面和我打賭嗎？如果說你能夠清楚地找到基本事件，分析好復雜事件包含了多少個基本事件，就能夠通過有理數(shù)的除法計算出概率，當然，分析清楚基本事件不可缺少的就是一種順序的觀點,可能有時候，用順序的觀點看問題會產(chǎn)生一些不必要的麻煩，但是往往在你忽略了順序的時候，產(chǎn)生了一種錯覺，于是就使你的先進的思想在這里因為你的大意退化到了中世紀以前的水平．那么充分小心的你,可能也會犯錯誤,甚至會感到頭疼,因為記數(shù)也是一門技術，不一定都很簡單．好了言歸正傳，我們?nèi)匀挥懻撨@個關于生日的賭局．我看起來是有著十分的把握(或者說接近十分的把握，因為十分就成了必然事件，顯然，你看得出這個不是一個必然的事件，嚴格地說我有接近十分的把握)，如果你曾經(jīng)了解過一些關于這個問題的結論，你也可能不會愿意和我打賭,那么我們是如何來處理這個問題呢？我們想通過兩個經(jīng)典的案例來說明這個問題．設有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去?。╪≤N)，求下列事件的概率．指定的n個房間各有一個人住；恰好有n個房間，其中各住一個人．（這里必須得有一些排列組合的內(nèi)容，也就要求讀者具有排列組合的知識）先看清楚這個問題里面的基本事件是什么呢？是把n個人隨機地安排到N個房間里的所有的情況,分別記n個人為a1,a2，…，an，房間為A1，A2,…，AN，每個安排的結果作為一個基本事件,比如，可以把所有的人放到房間A1里,也可以在第一個房間里放一個人，假定是a1,這個就是一個基本事件，也就是每個安排的結果都是一個基本事件．那么有多少個這樣的基本事件呢？我們就得借助于乘法原理了,可以考慮到整個的安排是分步進行的，先安排a1，再安排a2，依次下去,這個中間的順序是沒有問題的,因為我們只關心某人在某個房間,而不關心他是先到還是后到．第一個人可以有N個房間選住，第二個人仍然有N個房間選住，……也就是說每個人都有N種可能的情況，于是，所有人的可能的情況就是＝Nn.這就是基本事件的個數(shù)，這里面也談到了一個關于順序的問題，我們自行地在這個事件里面安排進了順序，這是一個重要的思想方法．接下來統(tǒng)計我們需要的有利事件的個數(shù),我們要求是指定的n個房間各有一個人住,那么，關于這n個房間的安排問題就不用我們操心了,我們只是看一下人與房間的搭配問題，于是，就可以得出概率：P（A)＝eq\f(n！,Nn）.我們可以換個角度來看一下,如果我們認為是把房間安排給人，那么，n個指定的房間就會被列成一個順序,于是，第一個房間有n種可能性,第二個房間就會少了一種，即n－1種，以此類推，結論與我們前面的一樣，那么，我們?nèi)绻呀y(tǒng)計基本事件的方式也變換一下呢？結論可能會有些不妥，因為如果考慮第一個房間有n種選擇方式，第二個房間也有n種選擇方式，以此類推，就會得到基本事件的個數(shù)是nN個,顯然，結論是不同的，哪一個出了什么問題呢?你只要稍加思考可能就會得出結論,這個問題的對應是有問題的,假設，我們的第一間房間分配給了a1，那么，第二間房間就不應該再分配給他了,但在剛才的過程中沒有體現(xiàn)出來，那么就是說，我們可能統(tǒng)計錯了一些情況，同時,有些人也可能分配不到房間．那么,我們做個改進，認為第一間房間有n種選擇方式，第二間房間有n－1種行不行呢？顯然這個改進更不成功,甚至有了荒唐的結論，因為這里的有些房間可能是可以不分配給任何人的，那么看來這幾個只有最初的一個方案可行．同時,我們也得到了一個關于代數(shù)的結論：n！≤Nn.這個命題的具體的限制由你