數(shù)學(xué)教案：函數(shù)的應(yīng)用（Ⅱ）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7（）,\s\do5(整體設(shè)計)）教學(xué)分析教材利用3個實例介紹了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)在社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和核物理學(xué)等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用．由于本節(jié)與社會生活經(jīng)驗有聯(lián)系,建議學(xué)生課前了解相關(guān)生活的知識．三維目標(biāo)掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)在實際中的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，樹立應(yīng)用的意識．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：建立函數(shù)模型．教學(xué)難點(diǎn)：建立函數(shù)模型．課時安排1課時eq\o（\s\up7(）,\s\do5（教學(xué)過程））導(dǎo)入新課思路1.(事例導(dǎo)入）一張紙的厚度大約為0.01cm,一塊磚的厚度大約為10cm,請同學(xué)們計算將一張紙對折n次的厚度和n塊磚的厚度,列出函數(shù)關(guān)系式，并計算n＝20時它們的厚度．你的直覺與結(jié)果一致嗎?解:紙對折n次的厚度:f(n)＝0.01·2n(cm)，n塊磚的厚度:g(n)＝10n（cm），f(20）≈105m,g(20)＝2m.也許同學(xué)們感到意外，通過對本節(jié)的學(xué)習(xí)大家對這些問題會有更深的了解．思路2.（直接導(dǎo)入）請同學(xué)們回憶指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的圖象性質(zhì)，本節(jié)我們通過實例比較它們的應(yīng)用．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題）)①如果張紅購買了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示為x的函數(shù)。②正方形的邊長為x，面積為y，把y表示為x的函數(shù)。③某保護(hù)區(qū)有1單位面積的濕地，由于保護(hù)區(qū)努力,濕地每年以5%的增長率增長,經(jīng)過x年后濕地的面積為y,把y表示為x的函數(shù)。④分別用表格、圖象表示上述函數(shù).⑤指出它們屬于哪種函數(shù)模型。⑥討論它們的單調(diào)性。⑦繼續(xù)擴(kuò)大x的取值范圍，比較它們的增長差異。⑧另外還有哪種函數(shù)模型.活動：先讓學(xué)生動手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路．①總價等于單價與數(shù)量的積．②面積等于邊長的平方．③由特殊到一般，先求出經(jīng)過1年、2年、…。④列表畫出函數(shù)圖象．⑤引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)過的函數(shù)模型．⑥結(jié)合函數(shù)表格與圖象討論它們的單調(diào)性．⑦讓學(xué)生自己比較并體會．⑧另外還有與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型．討論結(jié)果：①y＝x。②y＝x2。③y＝（1＋5%）x，④如下表:x123456y＝x123456y＝x2149162536y＝(1＋5%)x1.051.101.161。221.281。34它們的圖象分別為下圖甲、乙、丙．甲乙丙⑤它們分別屬于：y＝kx＋b（直線型），y＝ax2＋bx＋c(a≠0，拋物線型)，y＝kax＋b(指數(shù)型）．⑥從表格和圖象得出它們都為增函數(shù)．⑦在不同區(qū)間增長速度不同，隨著x的增大y＝(1＋5%)x的增長速度越來越快，會遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于另外兩個函數(shù)．⑧另外還有與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型，形如y＝logax＋b，我們把它叫做對數(shù)型函數(shù)．函數(shù)模型是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型之一．許多實際問題一旦認(rèn)定是函數(shù)關(guān)系．就可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)把握問題，使問題得到解決．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例))例11995年我國人口總數(shù)是12億．如果人口的自然年增長率控制在1.25％，問哪一年我國人口總數(shù)將超過14億?解：設(shè)x年后人口總數(shù)為14億．依題意,得12·(1＋0.0125）x＝14，即(1＋0。0125)x＝eq\f（14，12).兩邊取對數(shù)，得xlg1.0125＝lg14－lg12，所以x＝eq\f（lg14－lg12,lg1.0125）≈12.4.所以13年后，即2008年我國人口總數(shù)將超過14億．點(diǎn)評：增長率問題通常與指數(shù)函數(shù)有關(guān).變式訓(xùn)練光線通過一塊玻璃，其強(qiáng)度要損失10％，把幾塊這樣的玻璃重疊起來，設(shè)光線原來的強(qiáng)度為k，通過x塊玻璃以后強(qiáng)度為y.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;（2)通過多少塊玻璃以后,光線強(qiáng)度減弱到原來的eq\f(1,3)以下．（lg3≈0.4771)解:（1）光線經(jīng)過1塊玻璃后強(qiáng)度為（1－10％)k＝0。9k；光線經(jīng)過2塊玻璃后強(qiáng)度為（1－10%）·0。9k＝0。92k；光線經(jīng)過3塊玻璃后強(qiáng)度為（1－10％)·0.92k＝0.93k；光線經(jīng)過x塊玻璃后強(qiáng)度為0.9xk.∴y＝0。9xk（x∈N＋）．（2)由題意，知0。9xk＜eq\f（k，3)，∴0.9x＜eq\f(1，3)。兩邊取對數(shù)，xlg0.9＜lgeq\f(1,3).∵lg0。9＜0，∴x＞eq\f(lg\f(1，3)，lg0.9)?！遝q\f(lg\f(1,3）,lg0.9)＝eq\f(lg3，1－2lg3)≈10。4，∴xmin＝11?！嗤ㄟ^11塊玻璃以后，光線強(qiáng)度減弱到原來的eq\f(1,3)以下.例2有一種儲蓄按復(fù)利計算利息，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式．如果存入本金1000元，每期利率2。25%，試計算5期后的本利和是多少（精確到0。01元）？解:已知本金為a元：1期后的本利和為y1＝a＋a×r＝a(1＋r）；2期后的本利和為y2＝a(1＋r)＋a(1＋r）r＝a（1＋r）2;3期后的本利和為y3＝a(1＋r)3；……x期后的本利和為y＝a（1＋r)x。將a＝1000(元），r＝2。25％,x＝5代入上式得y＝1000×(1＋2。25%)5＝1000×1。02255。由計算器算得y＝1117。68（元）．所以復(fù)利函數(shù)式為y＝a(1＋r)x，5期后的本利和為1117。68元.變式訓(xùn)練某地現(xiàn)有森林面積為1000hm2，每年增長5％，經(jīng)過x（x∈N＋）年,森林面積為yhm2，寫出x、y間的函數(shù)關(guān)系式，并求出經(jīng)過5年，森林的面積．解：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝1000(1＋5%)x（x∈N＋），經(jīng)過5年，森林的面積為1000(1＋5％）5＝1276.28（hm2)。例3一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500g，按每年10%衰減:（1）求t年后，這種放射性元素質(zhì)量ω的表達(dá)式；（2)由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期．（精確到0.1）．解:（1)最初的質(zhì)量為500g，經(jīng)過1年，ω＝500（1－10%)＝500×0.91，經(jīng)過2年，ω＝500×0。92，…由此推知,t年后,ω＝500×0。9t。(2）解方程500×0。9t＝250。0．9t＝0。5,lg0。9t＝lg0.5，tlg0.9＝lg0.5，t＝eq\f(lg0。5,lg0。9）≈6.6。所以這種放射性元素的半衰期約為6。6年.變式訓(xùn)練抽氣機(jī)每次抽出容器內(nèi)空氣的60％，要使容器內(nèi)的空氣少于原來的0.1%，則至少要抽（)A．6次B．7次C．8次D．9次解析:設(shè)至少要抽x次,則(1－60％)x＜eq\f（0。1,100).解得x＞7，即最少要抽8次．答案：Ceq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練））1．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表:身高∕cm60708090100110120130140150160170體重∕kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226。8631.1138。8547.2555.05（1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個函數(shù)模型的解析式．(2）若體重超過相同身高男性體重的1.2倍為偏胖，低于0。8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm,體重為78kg的在校男生的體重是否正常？活動:學(xué)生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實際，可以提示引導(dǎo)：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖．觀察發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)的連線是一條向上彎曲的曲線．根據(jù)這些點(diǎn)的分布情況，可以考慮用y＝a·bx這一函數(shù)模型來近似刻畫這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系．解:（1）以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖（下圖甲）．根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可以考慮用y＝a·bx作為刻畫這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm關(guān)系的函數(shù)模型．如果取其中的兩組數(shù)據(jù)（70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（7。9＝a·b70，,47。25＝a·b160.）)用計算器算得a≈2,b≈1.02.這樣，我們就得到一個函數(shù)模型:y＝2×1。02x.將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式，或作出上述函數(shù)的圖象(下圖乙)，可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說明它能較好地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系．（2)將x＝175代入y＝2×1。02x，得y＝2×1。02175，由計算器算得y≈63.98。由于78÷63.98≈1。22＞1。2,所以這個男生偏胖．甲乙2．在自然界中，有些種群的世代是隔離，即每一代的生活周期是分離的，例如很多一年生草本植物，在當(dāng)年結(jié)實后死亡,第二年種子萌發(fā)產(chǎn)生下一代．假設(shè)一個理想種群，其每個個體產(chǎn)生2個后代，又假定種群開始時有10個個體，到第二代時，種群個體將上升為20個,以后每代增加1倍，依次為40,80，160,…，試寫出計算過程，歸納種群增長模型，說明何種情況種群上升，種群穩(wěn)定，種群滅亡．活動：學(xué)生仔細(xì)審題,理解題目的含義，教師指導(dǎo)，注意歸納總結(jié)．解：設(shè)Nt表示t世代種群的大小,Nt＋1表示t＋1世代種群的大小，則N0＝10;N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；…。由上述過程歸納成最簡單的種群增長模型，由下式表示：Nt＋1＝R0·Nt，其中R0為世代凈繁殖率．如果種群的R0速率年復(fù)一年地增長，則N1＝R0N0,N2＝R0N1＝R02N0，N3＝R0N2＝Req\o\al（3，0)N0，…Nt＝Req\o\al(t,0)N0。R0是種群離散增長模型的重要參數(shù)，如果R0＞1，種群上升;R0＝1，種群穩(wěn)定；0＜R0＜1,種群下降；R0＝0，雌體沒有繁殖，種群在一代中死亡．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升)）某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關(guān)系的圖象（如下圖所示)．假設(shè)其關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，并給出下列說法：①此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②在第5個月時,野生水葫蘆的面積就會超過30m2；③野生水葫蘆從4m2蔓延到12m2只需1。5個月；④設(shè)野生水葫蘆蔓延到2m2、3m2、6m2所需的時間分別為t1、t2、t3,則有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫蘆在第1到第3個月之間蔓延的平均速度等于在第2到第4個月之間蔓延的平均速度．哪些說法是正確的？解：①說法正確．∵關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，∴可設(shè)y＝ax（a＞0且a≠1）．∴由圖知2＝a1.∴a＝2，即底數(shù)為2。②∵25＝32＞30，∴說法正確．③∵指數(shù)函數(shù)增加速度越來越快,∴說法不正確．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴說法正確．⑤∵指數(shù)函數(shù)增加速度越來越快，∴說法不正確．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié))）活動：學(xué)生先思考或討論,再回答．教師提示、點(diǎn)撥，及時評價．引導(dǎo)方法:從基本知識和基本技能兩方面來總結(jié)．小結(jié)：（1)建立函數(shù)模型；(2）利用函數(shù)圖象性質(zhì)分析問題、解決問題．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè))）課本習(xí)題3-4A2、3、4。eq\o(\s\up7（）,\s\do5(設(shè)計感想））本節(jié)設(shè)計由學(xué)生熟悉的素材入手，結(jié)果卻出乎學(xué)生的意料，由此使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣．課本中兩個例題不僅讓學(xué)生學(xué)會了函數(shù)模型的應(yīng)用，而且體會到它們之間的差異；我們補(bǔ)充的例題與之相映生輝,是課本的補(bǔ)充和提高,其難度適中是各地高考模擬經(jīng)常選用的素材．其中拓展提升中的問題緊貼本節(jié)主題，很好地體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)，是一個不可多得的素材．eq\o(\s\up7（)，\s\do5(備課資料))［備選例題］例1某公司一年需要一種計算機(jī)元件8000個，每天需同樣多的元件用于組裝整機(jī)．該元件每年分n次進(jìn)貨，每次購買元件的數(shù)量均為x,購一次貨需手續(xù)費(fèi)500元．已購進(jìn)而未使用的元件要付庫存費(fèi),可以認(rèn)為平均庫存量為eq\f(1,2)x件，每個元件的庫存費(fèi)是一年2元．請核算一下，每年進(jìn)貨幾次花費(fèi)最??？解：無論分幾次進(jìn)貨,公司進(jìn)貨的總數(shù)是8000個元件，元件費(fèi)用是固定不變的，影響總費(fèi)用變化的量只是庫存費(fèi)和購貨手續(xù)費(fèi),若想減少庫存費(fèi)，就要增加進(jìn)貨次數(shù)，而進(jìn)貨次數(shù)的增加又使手續(xù)費(fèi)的總量增加了，這就需要將二者對總費(fèi)用的影響用數(shù)學(xué)關(guān)系表示清楚,進(jìn)而求最小的花費(fèi)．設(shè)購進(jìn)8000個元件的總費(fèi)用為F，一年總庫存費(fèi)為E，手續(xù)費(fèi)為H，其他費(fèi)用為C（C為常數(shù))，則E＝2×eq\f（1,2）x,H＝500×eq\f(8000，x)，x＝eq\f(8000,n)（n≥1，n∈Z），所以F＝E＋H＋C＝2×eq\f(1，2）x＋500×eq\f（8000,x）＋C＝eq\f（8000，n）＋500n＋C＝500（eq\f(16，n）＋n)＋C＝500（eq\f（4，\r(n）)－eq\r（n））2＋4000＋C≥4000＋C,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4，\r（n）)＝eq\r(n），即n＝4時，總費(fèi)用最少,故以每年進(jìn)貨4次為宜．例2電聲器材廠在生產(chǎn)揚(yáng)聲器的過程中，有一道重要的工序：使用AB膠粘合揚(yáng)聲器中的磁鋼與夾板．長期以來，由于對AB膠的用量沒有一個確定的標(biāo)準(zhǔn),經(jīng)常出現(xiàn)用膠過多，膠水外溢;或用膠過少，產(chǎn)生脫膠，影響了產(chǎn)品質(zhì)量．經(jīng)過實驗,已有一些恰當(dāng)用膠量的具體數(shù)據(jù)（見下表)．序號12345678910磁鋼面積/cm211。019.426.246。656.667。2125。2189。0247.1443。4用膠量/g0。1640。3960。4040.6640。8120。9721。6882.864。0767。332現(xiàn)在需要提出一個既科學(xué)又簡便的方法來確定磁鋼面積與用膠量的關(guān)系．解：我們?nèi)〈配撁娣ex為橫坐標(biāo)、用膠量y為縱坐標(biāo)，建立直角坐標(biāo)系．根據(jù)上表數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，得出下圖．從圖中我們清楚地看到這些點(diǎn)基本上分布在一條直線附近．畫出這條直線，使圖上的點(diǎn)比較均勻地分布在直線兩側(cè)．用函數(shù)y＝ax＋b表示用膠量與磁鋼面積的關(guān)系．取點(diǎn)（56.6,0。812），（189.0,2。86），將它們的坐標(biāo)代入y＝ax＋b，得方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（0.812＝56。6a＋b，，2.86＝189.0a＋b。))解得a＝0。01547，b＝－0。06350.這條直線是y＝0.01547x－0。06350。點(diǎn)評：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后,將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律．這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．在自然科學(xué)和社會科學(xué)中，很多規(guī)律、定律都是先通過實驗,得到數(shù)據(jù)，再通過數(shù)據(jù)擬合得到的．例3某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵,且獎金y（單位:萬元）隨著利潤x(單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25％.現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0。25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個模型能符合公司的要求？活動：學(xué)生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實際，可以提示引導(dǎo):某個獎勵模型符合公司要求，就是依據(jù)這個模型進(jìn)行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%，由于公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元，所以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤．于是只需在區(qū)間[10，1000]上,檢驗三個模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步結(jié)論，再通過具體計算，確認(rèn)結(jié)果．解：借助計