專(zhuān)題22.7矩形的判定-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)題典

20212022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【滬教版】專(zhuān)題22.7矩形的判定姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿(mǎn)分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫(xiě)在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2021?虹口區(qū)二模）在四邊形中，，下列選項(xiàng)中，不能判定四邊形為矩形的是A．且 B．且 C．且 D．且【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】、，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)不符合題意；、，，四邊形是平行四邊形，，，，平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)不符合題意；、，，，，四邊形是平行四邊形，，故選項(xiàng)符合題意；、，，，，，，的長(zhǎng)為、間的距離，又，，，四邊形是矩形，故選項(xiàng)不符合題意；故選：．2．（2021?嘉定區(qū)二模）下列四個(gè)命題中，真命題是A．對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形 C．以一條對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的四邊形是菱形 D．對(duì)稱(chēng)軸互相垂直的四邊形是矩形【分析】根據(jù)平行四邊形、菱形、矩形的判定定理即可判斷．【解析】對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形是平行四邊形判定定理，是真命題，故符合題意；對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形是假命題，故不符合題意；以一條對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的四邊形可能是“箏”形，以一條對(duì)角線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸的四邊形是菱形是假命題，故不符合題意；對(duì)稱(chēng)軸互相垂直的四邊形是矩形是假命題，故不符合題意，故選：．3．（2020春?無(wú)棣縣期末）下列說(shuō)法不正確的是A．兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B．對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形 C．一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 D．對(duì)角線(xiàn)互相平分且垂直的四邊形是菱形【分析】根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，選項(xiàng)不符合題意；、對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形，選項(xiàng)不符合題意；、三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，選項(xiàng)符合題意；、對(duì)角線(xiàn)互相平分且垂直的四邊形是菱形，選項(xiàng)不符合題意；故選：．4．（2021?長(zhǎng)壽區(qū)自主招生）如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，，，那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定四邊形是矩形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)矩形的判定定理：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形分別進(jìn)行分析即可．【解析】、，，，，，即對(duì)角線(xiàn)平分且相等，四邊形為矩形，正確；、，，，，，即對(duì)角線(xiàn)平分且相等，四邊形為矩形，正確；、，，，無(wú)法得出，故無(wú)法得出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而無(wú)法得出四邊形是矩形，錯(cuò)誤；、，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，是矩形，正確；故選：．5．（2020?冷水江市一模）要判斷一個(gè)四邊形門(mén)框是否為矩形，在下面四個(gè)擬定方案中，正確的方案是A．測(cè)量對(duì)角線(xiàn)是否相互平分 B．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等 C．測(cè)量對(duì)角線(xiàn)是否互相垂直 D．測(cè)量其中三個(gè)角是否是直角【分析】由矩形的判定即可得出結(jié)論．【解析】三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，在下面四個(gè)擬定方案中，正確的方案是，故選：．6．（2020?楊浦區(qū)二模）已知在四邊形中，，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，那么下列條件中能判定這個(gè)四邊形是矩形的是A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)矩形的判定方法，一一判斷即可解決問(wèn)題．【解析】、，，無(wú)法得出四邊形是平行四邊形，故無(wú)法判斷四邊形是矩形．故錯(cuò)誤；、，，，，得出四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形．故正確；、，，，，，，，，，四邊形是菱形，無(wú)法判斷四邊形是矩形．故錯(cuò)誤；、，可無(wú)法判斷四邊形是矩形，故錯(cuò)誤；故選：．7．（2020?河南一模）在菱形中，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，再添加一個(gè)條件，仍不能判定四邊形是矩形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解析】、，菱形，不能判定是矩形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、，根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且，知，對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形可得是矩形，故本選項(xiàng)正確；、，根據(jù)對(duì)角線(xiàn)相等的菱形是矩形，故本選項(xiàng)正確；、，則，根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形可得四邊形是菱形，故本選項(xiàng)正確．故選：．8．（2018?上海）已知平行四邊形，下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是A． B． C． D．【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解析】、，，所以，可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，正確；、不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形，錯(cuò)誤；、，對(duì)角線(xiàn)相等，可推出平行四邊形是矩形，故正確；、，所以，可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，正確；故選：．9．（2019春?普陀區(qū)期末）如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，，，那么下列條件中不能判定四邊形是矩形的是A． B． C． D．【分析】有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形，依據(jù)矩形的判定進(jìn)行判斷即可．【解析】．當(dāng)，時(shí)，四邊形是平行四邊形，再依據(jù)，可得四邊形是矩形；．當(dāng)，時(shí)，四邊形不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形；．當(dāng)，時(shí)，，再根據(jù)，可得，進(jìn)而得到，即可得到四邊形是矩形；．當(dāng)，時(shí)，，即可得出四邊形是平行四邊形，再依據(jù)，可得四邊形是矩形；故選：．10．（2019?普陀區(qū)二模）如圖，的對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)得到一個(gè)新的四邊形，如果添加下列四個(gè)條件中的一個(gè)條件：①；②；③；④，可以使這個(gè)新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形形狀和四邊形的對(duì)角線(xiàn)位置、數(shù)量關(guān)系有關(guān)，利用三角形中位線(xiàn)性質(zhì)可得：當(dāng)對(duì)角線(xiàn)垂直時(shí)，所得新四邊形是矩形．逐一對(duì)四個(gè)條件進(jìn)行判斷．【解析】順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形形狀和四邊形的對(duì)角線(xiàn)位置、數(shù)量關(guān)系有關(guān)，利用三角形中位線(xiàn)性質(zhì)可得：當(dāng)對(duì)角線(xiàn)垂直時(shí)，所得新四邊形是矩形．①，新的四邊形成為矩形，符合條件；②四邊形是平行四邊形，，．，．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，．所以新的四邊形成為矩形，符合條件；③四邊形是平行四邊形，．，．．，四邊形是矩形，連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形是菱形，不符合條件；④，，，即平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，新四邊形是矩形．符合條件．所以①②④符合條件．故選：．二．填空題（共8小題）11．（2017春?松江區(qū)期末）已知四邊形中，，，如果添加一個(gè)條件，即可判定該四邊形是矩形，那么所添加的這個(gè)條件可以是或．【分析】當(dāng)或時(shí)，四邊形是矩形．只要證明四邊形是平行四邊形即可．【解析】當(dāng)或時(shí)，四邊形是矩形．理由：，當(dāng)或時(shí)，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形．12．（2020春?雨花區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形中，若，則四邊形是矩形．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的判定可得，可得，由矩形的判定可得平行四邊形是矩形．【解析】四邊形是平行四邊形，，，，，，平行四邊形是矩形，故答案為矩形．13．（2020春?涿鹿縣期中）在四邊形中，對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)且，互相平分，若添加一個(gè)條件使得四邊形是矩形，則這個(gè)條件可以是或有個(gè)內(nèi)角等于90度（填寫(xiě)一個(gè)即可）．【分析】因?yàn)樵谒倪呅沃?，?duì)角線(xiàn)與互相平分，所以四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定條件，可得在不添加任何輔助線(xiàn)的前提下，要使四邊形成為矩形，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是一個(gè)角是直角或者對(duì)角線(xiàn)相等，從而得出答案．【解析】對(duì)角線(xiàn)與互相平分，四邊形是平行四邊形，要使四邊形成為矩形，需添加一個(gè)條件是：或有個(gè)內(nèi)角等于90度．故答案為：或有個(gè)內(nèi)角等于90度．14．（2021?永嘉縣校級(jí)模擬）已知，，小明按如下步驟作圖，①以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；②連接，，則四邊形為矩形．【分析】直接利用基本作圖方法得出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而利用矩形的判定方法得出答案．【解析】四邊形為矩形．理由：，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形．故答案為：矩形．15．（2020春?房山區(qū)期末）在四邊形中，有以下四個(gè)條件：①；②；③；④．從中選取三個(gè)條件，可以判定四邊形為矩形．則可以選擇的條件序號(hào)是①③④．【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論．【解析】當(dāng)具備①③④這三個(gè)條件，能得到四邊形是矩形．理由如下：，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；故答案為：①③④．16．（2020春?石城縣期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)以每秒的速度運(yùn)動(dòng)，以每秒的速度從點(diǎn)出發(fā)，在、兩點(diǎn)之間做往返運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)為止（同時(shí)點(diǎn)也停止），這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為或或時(shí)，、、、四點(diǎn)組成矩形．【分析】根據(jù)已知可知：當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)將由運(yùn)動(dòng)，根據(jù)矩形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論．【解析】根據(jù)已知可知：當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)將由運(yùn)動(dòng)，四邊形是矩形，，，，若，則四邊形是矩形，由題意得，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)與重合，無(wú)法構(gòu)成矩形，故舍去，故答案為：或或．17．（2021春?陽(yáng)新縣期末）如圖，在中，，，，是上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則線(xiàn)段的最小值是．【分析】連接，利用勾股定理列式求出，判斷出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)相等可得，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短可得時(shí)，線(xiàn)段的值最小，然后根據(jù)三角形的面積公式列出求解即可．【解析】如圖，連接．，，，，，，，四邊形是矩形，，由垂線(xiàn)段最短可得時(shí)，線(xiàn)段的值最小，此時(shí)，，即，解得：，．故答案為：．18．（2021?永嘉縣校級(jí)模擬）已知平面上四點(diǎn)，，，，直線(xiàn)將四邊形分成面積相等的兩部分，則的值為．【分析】根據(jù)、、、四點(diǎn)坐標(biāo)得到四邊形為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)當(dāng)直線(xiàn)過(guò)矩形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)把矩形的面積分成相等的兩部分，然后把中點(diǎn)坐標(biāo)代入即可計(jì)算出的值．【解析】點(diǎn)，，，，四邊形為矩形，直線(xiàn)將四邊形分成面積相等的兩部分，直線(xiàn)過(guò)矩形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，而矩形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，．故答案為．三．解答題（共6小題）19．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知四邊形是平行四邊形，將邊延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)、，與交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，求證：四邊形是矩形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，，再由．得，且，即可得出結(jié)論；（2）證，中由平行四邊形的性質(zhì)得，，則，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）四邊形是平行四邊形，，，，，且，四邊形是平行四邊形；（2）四邊形是平行四邊形，，，，，，，由（1）得：四邊形是平行四邊形，，，，平行四邊形是矩形．20．（2021春?定南縣期末）如圖，中，，平分交于點(diǎn)，平分的外角，且．求證：四邊形是矩形．【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)的定義和垂直的判定得出，進(jìn)而利用矩形的判定解答即可．【解答】證明：是的平分線(xiàn)，，是的平分線(xiàn)，，，，即，，，，即，，四邊形是矩形．21．（2020春?虹口區(qū)期末）如圖，在中，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，聯(lián)結(jié)、．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是矩形．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到，，求得，由全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線(xiàn)的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到，推出四邊形是平行四邊形，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，于是得到結(jié)論．【解答】證明：（1）四邊形是平行四邊形，，，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，，，，在和中，，，，；（2），，是的中位線(xiàn)，，，四邊形是平行四邊形，，，，是的中點(diǎn)，，，四邊形是矩形．22．（2020?莘縣二模）如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，且，連接．（1）求證：；（2）如果，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）先由，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可證，而是中點(diǎn)，那么，，利用可證，那么有，又，從而有；（2）四邊形是矩形．由于平行等于，易得四邊形是平行四邊形，又，，利用等腰三角形三線(xiàn)合一定理，可知，即，那么可證四邊形是矩形．【解答】證明：（1），，是的中點(diǎn)，，，，，，；（2）四邊形是矩形．理由：，是的中點(diǎn)，，，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，即，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形．23．（2019春?閔行區(qū)期末）如圖，在中，為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，為延長(zhǎng)線(xiàn)上的任一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、．（1）求證：四邊形是平行四邊形：（2）當(dāng)為邊的中點(diǎn)，且時(shí)，求證：四邊形為矩形．【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案；（2）證明，由矩形的判定方法可得出結(jié)論．