2023年湖南長沙中考數(shù)學(xué)仿真卷（三）

備戰(zhàn)2023年湖南長沙中考數(shù)學(xué)仿真卷（三）一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）實數(shù)是2022的A．絕對值 B．相反數(shù) C．倒數(shù) D．以上都不正確【答案】【詳解】和2022互為相反數(shù)，故選：．2．（3分）下列運算正確的是A． B． C． D．【答案】【詳解】，故不符合題意；，故不符合題意；，故符合題意；，故不符合題意；故選：．3．（3分）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是A． B． C． D．【答案】【詳解】、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：．4．（3分）2022年2月4日至20日，第24屆冬奧會在北京和張家口舉辦，北京是唯一同時舉辦過夏季和冬季奧運會的城市．下列4個圖形是四屆冬奧會的部分圖標(biāo)，屬于軸對稱圖形的是A． B． C． D．【答案】【詳解】選項、、不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：．5．（3分）如圖，直線、被直線、所截，若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【答案】【詳解】如圖，，，，，故選：．6．（3分）如圖，點、、是上的三點，，則的度數(shù)是A． B． C． D．【答案】【詳解】對的圓心角為，對的圓周角為，，，故選：．7．（3分）下列說法中，正確的是A．為了保證大家端午節(jié)吃上放心的粽子，質(zhì)監(jiān)部門對長沙市市場上的粽子質(zhì)量實行全面調(diào)查 B．一組數(shù)據(jù)，2，5，7，7，7，4的眾數(shù)是7，中位數(shù)是7 C．明天的降水概率為，則明天的時間下雨 D．若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，，，則乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定【答案】【詳解】．為了保證大家端午節(jié)吃上放心的粽子，質(zhì)監(jiān)部門對長沙市市場上的粽子質(zhì)量實行抽樣調(diào)查，原說法錯誤，故此選項不符合題意；．一組數(shù)據(jù)，2，5，7，7，7，4的眾數(shù)是7，中位數(shù)是5，原說法錯誤，故此選項不符合題意；．明天的降水概率為，則明天不一定會下雨，原說法錯誤，故此選項不符合題意；．若平均數(shù)相同的甲、乙兩組數(shù)據(jù)，，，則乙組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，原說法正確，故此選項符合題意；故選：．8．（3分）如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯的示意圖．自動扶梯的傾斜角為，大廳兩層之間的距離為3米，則自動扶梯的長約為，，A．5米 B．4.5米 C．4米 D．3.75米【答案】【詳解】在中，，則（米，故選：．9．（3分）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．設(shè)長為步，則可列方程為A． B． C． D．【答案】【詳解】長為步，寬比長少12步，寬為步．依題意，得：．故選：．10．（3分）圖（1），在中，，點從點出發(fā)，沿三角形的邊以秒的速度逆時針運動一周，圖（2）是點運動時，線段的長度隨運動時間（秒變化的關(guān)系圖象，則圖（2）中點的坐標(biāo)是A． B． C． D．【答案】【詳解】由圖象可知：，，當(dāng)時，即點運動了，此時點在線段上，，則點為的中點，又因為，所以．所以圖（2）中的坐標(biāo)為．故選：．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）分解因式：．【答案】【詳解】原式．故答案為：．12．（3分）若關(guān)于的方程有一個解是1，則的值是．【答案】4【詳解】依題意，當(dāng)時，原方程為，解得．故答案為：4．13．（3分）某圓錐的母線長是2，底面半徑是1，則該圓錐的側(cè)面積是．【答案】【詳解】圓錐的側(cè)面積，故答案為：．14．（3分）如表顯示了用計算機(jī)模擬隨機(jī)拋擲一枚硬幣的某次實驗的結(jié)果．拋擲次數(shù)300500700900110013001500170019002000“正面向上”的次數(shù)1372333354415446507498529461004“正面向上”的頻率0.4570.4660.4790.4900.4950.5000.4990.5010.4980.502估計此次實驗硬幣“正面向上”的概率是．【答案】0.500【詳解】觀察表格發(fā)現(xiàn)：隨著試驗次數(shù)的增多，“正面向上”的頻率逐漸穩(wěn)定在常數(shù)0.500附近，所以估計此次實驗硬幣“正面向上”的概率是0.500，故答案為：0.500．15．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，的頂點為，，．以點為位似中心，在第三象限內(nèi)作與的位似比為的位似圖形，則點的坐標(biāo)為．【答案】，【詳解】以點為位似中心，在第三象限內(nèi)作與的位似比為的位似圖形，，點的坐標(biāo)為，，即，，故答案為：，．16．（3分）尊老敬老是中華民族的傳統(tǒng)美德，某校文藝社團(tuán)的同學(xué)準(zhǔn)備在“五一”假期去一所敬老院進(jìn)行慰問演出，他們一共準(zhǔn)備了6個節(jié)目，全體演員中有8人需參加兩個或兩個以上的節(jié)目演出，情況如表：演員1演員2演員3演員4演員5演員6演員7演員8節(jié)目節(jié)目節(jié)目節(jié)目節(jié)目節(jié)目從演員換裝的角度考慮，每位演員不能連續(xù)參加兩個節(jié)目的演出，從節(jié)目安排的角度考慮，首尾兩個節(jié)目分別是，，中間節(jié)目的順序可以調(diào)換，請寫出一種符合條件的節(jié)目先后順序（只需按演出順序填寫中間4個節(jié)目的字母即可）．【答案】【詳解】由題意得，首尾兩個節(jié)目分別是，，節(jié)目參演演員有1、3、5、6、8，節(jié)目參演演員有5、7，由于從演員換裝的角度考慮，每位演員不能連續(xù)參加兩個節(jié)目的演出，故可先確定第二個節(jié)目為不含演員1、3、5、6、8的節(jié)目，即節(jié)目，第三個節(jié)目為不含2、7的節(jié)目，即節(jié)目或，第五個節(jié)目為不含5、7的節(jié)目，即節(jié)目或，所以，可確定第四個節(jié)目為節(jié)目，綜上，演出順序為節(jié)目或．故答案為：．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）計算：．【答案】見解析【詳解】原式．18．（6分）先化簡，再求值：，其中．【答案】見解析【詳解】原式，當(dāng)時，原式．19．（6分）已知：如圖，直線，和直線外一點．求作：過點作直線，使得，作法：①在直線上取點，以點為圓心，長為半徑畫圓，交直線于，兩點；②連接，以點為圓心，長為半徑畫弧，交半圓于點；③作直線．直線即為所求作．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接．，．（填推理依據(jù)）．直線直線．【答案】見解析【詳解】（1）如圖，直線即為所求作．（2）證明：連接．，，（同弧或等弧所對的圓周角相等），直線直線．故答案為：，同弧或等弧所對的圓周角相等．20．（8分）中華文化源遠(yuǎn)流長，文學(xué)方面，《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》是我國古代長篇小說中的典型代表，被稱為“四大古典名著”．某中學(xué)為了了解學(xué)生對四大古典名著的閱讀情況，就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖尚不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是部，中位數(shù)是部；（2）扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為度；（3）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；（4）沒有讀過四大古典名著的兩名學(xué)生準(zhǔn)備從中各自隨機(jī)選擇一部來閱讀，請用列表或畫樹狀圖的方法求他們恰好選中同一名著的概率．【答案】（1）1，2；（2）72；（3）見解析；（4）【詳解】（1）本次調(diào)查的人數(shù)為：（人，讀2部的學(xué)生有：（人，故本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1部，中位數(shù)是（部，故答案為：1，2；（2）扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為：，故答案為：72；（3）由（1）知，讀2部的學(xué)生有6人，補全的條形統(tǒng)計圖如圖所示；（4）《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》分別用字母、、、表示，樹狀圖如下圖所示：一共有16種可能性，其中他們恰好選中同一名著的可能性有4種，故他們恰好選中同一名著的概率是，即他們恰好選中同一名著的概率是．21．（8分）2022年2月20日，北京冬奧會圓滿落幕，主題口號一起向未來倡導(dǎo)追求團(tuán)結(jié)、和平、進(jìn)步、包容的共同目標(biāo)，是更快、更高、更強(qiáng)、更團(tuán)結(jié)奧林匹克精神的中國宣揚，表達(dá)了世界需要攜手走向美好未來的共同愿望．某商店購進(jìn)了一批冬奧商品共100件（兩種商品均有購進(jìn)），每件型商品的進(jìn)價比每件型商品的進(jìn)價多30元；5件型商品進(jìn)價比6件型商品進(jìn)價總額多50元．（1）求每件型冬奧商品和型冬奧商品的進(jìn)價；（2）若商店出售型商品的售價為160元件，型商品的售價為120元件，為了慶祝中國奧運健兒奪金，商店決定將型商品的售價下調(diào)元，型商品的售價不變，且購進(jìn)型商品的數(shù)量不少于型商品數(shù)量的三分之一，請求出該商店購進(jìn)這批商品獲得最大利潤的進(jìn)貨方案．【答案】（1）每件型冬奧商品的進(jìn)價為130元，每件型冬奧商品的進(jìn)價為100元；（2）見解析【詳解】（1）設(shè)每件型冬奧商品的進(jìn)價為元，每件型冬奧商品的進(jìn)價為元，依題意得：，解得：．答：每件型冬奧商品的進(jìn)價為130元，每件型冬奧商品的進(jìn)價為100元．（2）設(shè)購進(jìn)型商品件，則購進(jìn)型商品件，依題意得：，解得：．設(shè)該商店將100件冬奧商品全部售出后獲得的利潤為元，則．當(dāng)，即時，隨的增大而增大，此時該商店購進(jìn)這批商品獲得最大利潤的進(jìn)貨方案為：購進(jìn)99件型商品，1件型商品；當(dāng)，即時，的值與的值無關(guān)，該商店購進(jìn)這批商品獲得的利潤不變；當(dāng)，即時，隨的增大而減小，此時該商店購進(jìn)這批商品獲得最大利潤的進(jìn)貨方案為：購進(jìn)25件型商品，75件型商品．答：當(dāng)時，該商店購進(jìn)這批商品獲得最大利潤的進(jìn)貨方案為：購進(jìn)99件型商品，1件型商品；當(dāng)時，該商店購進(jìn)這批商品獲得的利潤不變；當(dāng)時，該商店購進(jìn)這批商品獲得最大利潤的進(jìn)貨方案為：購進(jìn)25件型商品，75件型商品．22．（9分）如圖，是的直徑，點是上一點，的平分線交于點，過點垂直于的直線交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）如圖，，求的直徑．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：為的平分線，，又，，，，，又，即，，則為圓的切線；（2）解：連接，如圖所示，為圓的直徑，，在中，，在中，，，，又，，則，即圓的直徑為．23．（9分）在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，橫坐標(biāo)不相等，則稱這兩點互為雅對稱，其中一點叫做另一點的雅點．如點，互為雅對稱，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為．（1）直線上是否存在點的雅對稱點？若存在，求出點的雅點，若不存在，請說明理由．（2）若點的雅點恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，且的面積為3，求的值；（3）拋物線上恰有兩個點與點互為雅對稱，且這兩個點之間的距離不超過6，請求出的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）8或；（3）且或【詳解】（1）存在，由雅對稱點的定義可得，點的雅對稱點的縱坐標(biāo)為．將代入得，．解得，存在，點的雅點為；（2）由題意得，點的縱坐標(biāo)為，設(shè)，當(dāng)時，分別過點、作軸，作軸，、交于點，由題意得，，，，，，即．解得，，代入反比例函數(shù)得；當(dāng)時，分別過點、作軸于，作軸于，由題意得，，．，，即，解得，，代入反比例函數(shù)得．綜上，的值為8或；（3）令，則，，拋物線上恰有兩個點與點關(guān)于軸縱對稱，△，，設(shè)兩個點的橫坐標(biāo)分別為、，，，，，，，①當(dāng)時，，且，解得，且，；與點關(guān)于軸縱對稱，這兩個點不能是，將代入得，，解得，，且；②當(dāng)時，，且，解得，且，；綜上，的取值范圍為且或．24．（10分）我們不妨約定：若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，則把該函數(shù)稱為“函數(shù)”，其圖象上關(guān)于直線對稱的兩點叫做一對“點”．根據(jù)該約定，完成下列各題：（1）在下列關(guān)于的函數(shù)中，是“函數(shù)”的，請在相應(yīng)題目后面的括號中打“”，不是“函數(shù)”的打“”①；②；③．（2）關(guān)于的函數(shù)是常數(shù)）是“函數(shù)”嗎？如果是，寫出距離為的一對“點”坐標(biāo)；如果不是，請說明理由；（3）若關(guān)于的“函數(shù)”，，是常數(shù)，的一對“點”，、分別位于軸、軸上，求同時滿足下列兩個條件的“函數(shù)”的解析式：①該“函數(shù)”截軸所得的線段長為2；②該“函數(shù)”截直線所得的線段長為．【答案】見解析【詳解】（1）①不是軸對稱圖形，故不是“函數(shù)”；②是軸對稱圖形，其中一條對稱軸為，故滿足定義，是“函數(shù)”；③，關(guān)于對稱滿足定義，是“函數(shù)”．故答案為：①，②，③；（2），當(dāng)時，，則直線過定點，根據(jù)定義，其圖象關(guān)于直線對稱，如圖，設(shè)直線與坐標(biāo)軸分別交于點，，根據(jù)定義，，關(guān)于對稱，，由，令，則，令，則，，解得或，或時，是“函數(shù)”，當(dāng)時，，當(dāng)時，，以為圓心，為半徑作圓，則圓與，的交點的距離為，如圖，設(shè)，為與直線的交點，則，即為所求的點，設(shè)，則，即，解得，，一對點的坐標(biāo)分別為與；（3）該函數(shù)截軸所得的線段長為2，令，設(shè)兩根分別為，．則，，即①，該“函數(shù)”截直線所得的線段長為，過點，分別作坐標(biāo)軸的垂線交于點，如圖，，在上，則是等腰直角三角形，則，聯(lián)立，得，設(shè)兩根分別為，，，，即②，根據(jù)定義可知一對“點“、分別位于軸、軸上，則，由，令，得，解得：或，令，則，則或，即③，聯(lián)立①②③并整理得，，解得：或