專題03二次根式的運算（4個知識點11種題型2種中考考法）（原卷版）

專題03二次根式的運算（4個知識點11種題型2種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：二次根式的加法和減法知識點2：二次根式的乘法和除法知識點3：分母有理化知識點4：有理化因式【方法二】實例探索法題型1：二次根式的加法和減法題型2：二次根式加法和減法的應用題型3：二次根式的乘法題型4：二次根式的除法題型5：分母有理化題型6：解含二次根式的方程或不等式題型7：有理化因式題型8：二次根式的混合運算題型9：二次根式的應用題型10：分母有理化與完全平方公式綜合題型11：利用分母有理化比較二次根式的大小【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1：二次根式的加減法考法2：二次根式的混合運算【方法四】成果評定法【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1：二次根式的加法和減法（1）法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．（2）步驟：①如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．②把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡．③合并被開方數(shù)相同的二次根式．（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．知識點2：二次根式的乘法和除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運算也是如此．知識點3：分母有理化分母有理化是指把分母中的根號化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．例如：①＝＝；②＝＝．知識點4：有理化因式兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．一個二次根式的有理化因式不止一個．例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．【方法二】實例探索法題型1：二次根式的加法和減法1．（2022秋?嘉定區(qū)期中）計算：+﹣m．2．（2022秋?寶山區(qū)期中）計算：（6﹣）﹣（+）．3．（2022秋?寶山區(qū)期中）計算：﹣（﹣）．4．（2022秋?嘉定區(qū)校級月考）計算：+﹣2x2．5．（2022秋?虹口區(qū)校級月考）計算：﹣．6．（2022秋?嘉定區(qū)月考）計算：．7．（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）計算：（x＞0）．8．（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）計算：2+﹣12．9．（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）計算：．10．（2022秋?寶山區(qū)期中）計算：4mn﹣（﹣m）（n＞0）．題型2：二次根式加法和減法的應用12．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）化簡：+（5≤x≤8）＝．13．（2022秋?虹口區(qū)校級月考）計算：＝．14.解不等式：．15.解方程：．16．（2022秋?靜安區(qū)校級期中）已知y＝﹣，化簡+﹣．題型3：二次根式的乘法17．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┯嬎悖篲_______．18．（2022秋·上海寶山·八年級上海市泗塘中學?？计谥校┯嬎悖篲__________．19．（2022秋·上海·八年級專題練習）計算：．20．（2021秋·上海浦東新·八年級上海市建平中學西校?？茧A段練習）計算：．21．（2021秋·上?！ぐ四昙壠谥校┯嬎悖侯}型4：二次根式的除法22．（2022秋·上海奉賢·八年級校聯(lián)考期中）計算：______．23．（2022秋·上海·八年級統(tǒng)考期中）計算：______．24．（2022秋·上海·八年級校考階段練習）計算：________．25．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習）_______．26．（2021秋·上海·八年級期中）計算：題型5：分母有理化27．（2022秋?長寧區(qū)校級期中）分母有理化：＝．28．（2022秋·上海黃浦·八年級上海外國語大學附屬大境初級中學?？计谥校┓帜赣欣砘篲_____．題型6：解含二次根式的方程或不等式29．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）不等式x＞2+2x的解集是．30．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┎坏仁降慕饧莀___________．31.解關(guān)于x的不等式：（1）； （2）．32.解關(guān)于x的方程：（1）； （2）．題型7：有理化因式33．（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）的一個有理化因式是（）A． B． C． D．34．（2022秋?虹口區(qū)校級期中）寫出a+b的一個有理化因式：．題型8：二次根式的混合運算35．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┯嬎悖?6．（2022秋·上海松江·八年級?？计谥校┯嬎悖?7．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┯嬎悖?8．（2022秋·上海普陀·八年級校考期中）化簡二次根式：．39．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習）計算：40．（2022秋·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ悬S浦大同初級中學?？茧A段練習）計算：41．（2021秋·上海·八年級校考階段練習）42．（2022秋·上海奉賢·八年級校聯(lián)考期中）計算：．43．（2022秋·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ羞M才實驗中學校考期中）化簡44．（2022秋·上海黃浦·八年級上海外國語大學附屬大境初級中學校考期中）計算：．45．（2021秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習）已知非零實數(shù)a，b滿足，求代數(shù)式的值．題型9：二次根式的應用46．（2021秋·上海普陀·八年級?？计谥校┑妊切斡袃蓷l邊長分別為2cm、3cm，它的周長為_____．47．（2022秋·上海寶山·八年級統(tǒng)考期中）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長為、、，記，那么其面積．如果某個三角形的三邊長分別為，，時，其面積介于整數(shù)和之間，那么的值是______．48．（2022秋·上海·八年級專題練習）已知三角形三邊之長能求出三角形的面積嗎？海倫公式告訴你計算的方法是：，其中表示三角形的面積，分別表示三邊之長，表示周長之半，即．我國宋代數(shù)學家秦九韶提出的“三斜求積術(shù)”與這個公式基本一致，所以這個公式也叫“海倫秦九韶公式”．請你利用公式解答下列問題．（1）在中，已知，，，求的面積；（2）計算（1）中的邊上的高．題型10：分母有理化與完全平方公式綜合49．（2022秋?寶山區(qū)校級期中）已知：x＝，y＝，求x2+xy+y2的平方根．50．（2022秋·上海虹口·八年級?？计谥校┮阎蟮闹担?1．已知，，求的值．52.已知，求代數(shù)式的值．題型11：利用分母有理化比較二次根式的大小53.不求方根的值比較與的大?。痉椒ㄈ糠抡鎸崙?zhàn)法考法1：二次根式的加減法1．（2018?上海）下列計算﹣的結(jié)果是（）A．4 B．3 C．2 D．考法2：二次根式的混合運算2．（2017?上海）計算：+（﹣1）2﹣+（）1．【方法四】成功評定法一、單選題1．（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學?？计谥校┫铝姓f法中，正確的是（

）A．與互為倒數(shù)B．若則C．若與是同類二次根式，則與3不一定相等D．若，則2．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．3．（2021秋·上海普陀·八年級?？计谥校┫铝薪Y(jié)論正確的是（）A．的有理化因式可以是B．C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）D．是最簡二次根式4．（2021秋·上海普陀·八年級校考期中）已知a＝，b＝2+，則a，b的關(guān)系是（）A．相等 B．互為相反數(shù)C．互為倒數(shù) D．互為有理化因式5．（2021秋·上?！ぐ四昙壠谥校胺帜赣欣砘笔俏覀兂Ｓ玫囊环N化簡的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)，如：對于，設(shè)，易知，故，由，解得，即．根據(jù)以上方法，化簡后的結(jié)果為（）A． B． C． D．6．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知m、n是正整數(shù)，若+是整數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)對（m，n）為（）A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是二、填空題7．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┯嬎悖海?．（2021秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┯嬎悖?；．9．（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┑挠欣砘蚴綖椋?0．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”）．11．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谥校┮阎獎t的倒數(shù)為．12．（2022秋·上海奉賢·八年級校考期中）計算：=．13．（2022秋·上海普陀·八年級?？计谥校┯嬎悖海?4．（2020秋·上海浦東新·八年級校考期中）不等式的解集是．15．（2023秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谀M足等式的正整數(shù)對的個數(shù)有個16．（2022秋·上海靜安·八年級上海市市西中學?？计谥校┍容^大?。海?7．（2021秋·上?！ぐ四昙壠谥校┮阎猘+b＝﹣8，ab＝6，則的值為．18．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谥校┰O(shè)為的小數(shù)部分，為的小數(shù)部分，則值為．三、解答題19．（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┯嬎悖海?0．（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┯嬎悖海?1．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┯嬎悖?2．（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學?？计谥校┯嬎悖?3．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谥校┯嬎悖?4．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市南洋模范中學校考期中）已知，求的值25．（2022秋·上海閔行·八年級上海市閔行區(qū)莘松中學校考期中）先化簡，再求值：，其中.26．（2021秋·上?！ぐ四昙壠谥校┮阎?，請化簡并求值：27．（2021秋·上?！ぐ四昙壠谥校┮阎螅旱闹担?8．（2022秋