考點(diǎn)27 綜合與實(shí)踐（解析版） -中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn)考點(diǎn)方法突破

考點(diǎn)27綜合與實(shí)踐

課標(biāo)對(duì)考點(diǎn)的要求

對(duì)綜合與實(shí)踐問(wèn)題，中考命題需要滿(mǎn)足下列要求：

1.結(jié)合實(shí)際情境，經(jīng)歷設(shè)計(jì)解決具體問(wèn)題的方案，并加以實(shí)施的過(guò)程，體驗(yàn)建立模型、解決問(wèn)題的過(guò)程，

并在比過(guò)程中，嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題。

2.會(huì)反思參與活動(dòng)的全過(guò)程，將研究的過(guò)程和結(jié)果形成報(bào)告或小論文，并能進(jìn)行交流，進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)活

動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.通過(guò)對(duì)有關(guān)問(wèn)題的探討，了解所學(xué)過(guò)知識(shí)（包括其他學(xué)科知識(shí)）之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步理解有關(guān)知識(shí)，發(fā)

展應(yīng)用意識(shí)和能力。

重要考點(diǎn)知識(shí)解函

綜合實(shí)踐探究題類(lèi)型比較煩雜，以問(wèn)題表現(xiàn)形式來(lái)分，大致可歸類(lèi)為開(kāi)放型、新信息型、存在型等.包

括設(shè)計(jì)具體問(wèn)題的方案，為了解決問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)實(shí)踐活動(dòng)提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出

應(yīng)用。

一、開(kāi)放型

開(kāi)放型探究題按題型結(jié)構(gòu)分為條件開(kāi)放型、結(jié)論開(kāi)放型與策略開(kāi)放型.此類(lèi)探究題注重考查學(xué)生思維的

嚴(yán)謹(jǐn)性和培養(yǎng)發(fā)散思維的能力.

二、新信息型

進(jìn)入新時(shí)代，新信息型探究題逐漸成為考查中的亮點(diǎn)，這類(lèi)題目通常都會(huì)出現(xiàn)一些新的定義概念、規(guī)

則、運(yùn)算等，如何理解和運(yùn)用題中提供的新信息是處理此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.比如“等鄰邊四邊形”、“智慧三

角形”、“勾股分割點(diǎn)”等都屬于新信息探究題.

三、存在型

存在與否型探索問(wèn)題歷來(lái)都是考查的重點(diǎn)，幾何與代數(shù)都有涉及.解決此類(lèi)問(wèn)題的一般思路為假設(shè)結(jié)論

成立或存在.結(jié)合已知條件，建立數(shù)學(xué)模型，仔細(xì)分析，層層推進(jìn)，如果能獲得相應(yīng)的結(jié)論，則假設(shè)成立，

如果出現(xiàn)矛盾則說(shuō)明原假設(shè)并不成立.

探索結(jié)論的存在性問(wèn)題，是綜合探究題之一，是開(kāi)放型試題的重點(diǎn)題型，是口考的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是

亮點(diǎn)。若在選擇題、填空題中出現(xiàn)，一般考查的難度屬于中等難度，若在選擇題或者填空題的最后一道小

題出現(xiàn)，就屬于壓軸題。但根據(jù)全國(guó)各地中考試卷看，探索結(jié)論的存在性問(wèn)題，都以壓軸大題形式出現(xiàn)，

這類(lèi)試題只是覆蓋面廣，綜合性強(qiáng)。解決問(wèn)題基本思路是：首先假設(shè)研究的數(shù)學(xué)對(duì)象存在，然后從假設(shè)出

發(fā)，結(jié)合題目條件進(jìn)行計(jì)算推理論證，若所得結(jié)論正確合理，說(shuō)明結(jié)論存在；若所得結(jié)論不合理，說(shuō)明結(jié)

論不存在。解題時(shí)要注意的是：（1）明確這類(lèi)問(wèn)題的解題思路，即假設(shè)存在法；（2）要對(duì)各方面知識(shí)理

解到位，能靈活應(yīng)用知識(shí)進(jìn)行分析、綜合、概括和推理；（R）心中一定要裝有重要的數(shù)學(xué)思想方法，比如

建構(gòu)方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化思想等，在數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)下，讓解決問(wèn)題具有方向性，避免

盲目性。（4）作圖要科學(xué)規(guī)范，便于解決問(wèn)題為宜。

四、其它類(lèi)型。

中考典例解析

【例題1】（2021山東煙臺(tái)）綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小亮將一張面積為24c層,其中一邊8c為8刖的銳角三

角形紙片（如圖1）,經(jīng)過(guò)兩刀裁剪，拼成了一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形8CDE（如圖2），則矩形的周長(zhǎng)

為cm.

圖1圖2

【答案】22.

【解析】延長(zhǎng)47交8C于點(diǎn)尸，利用三角形的面積公式求出AP,求出BE,CD,DE,可得結(jié)論.

解：延長(zhǎng)47交8C于點(diǎn)P,

圖2

*：APLBC,

尸=24,

2

???2X8XAP=24,

2

：,AP=6(cm),

由題意，AT=PT=3(cm),

:?BE=CD=PT=3(an),

?:DE=BC=8cm,

，矩形BCOE的周長(zhǎng)為8+8+3+3=22（cm）.

【例題2】（202（）?攀枝花）實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開(kāi)展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng).有兩座垂直于水平地面且高

度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線(xiàn)MN的距離皆為100cm.王詩(shī)嬤觀(guān)測(cè)到高

度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示.已知落在地

面上的影子皆與坡腳水平線(xiàn)MN互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度i=l：0.75,在不計(jì)圓柱厚

度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）若王詩(shī)嬉的身高為150?！?，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少

（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi).請(qǐng)直接回答這

個(gè)猜想是否正確？

（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為100cm,則高圓柱的高度為多少c，〃?

由題意可得：一=---,

72X

解得:x=120,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=120是分式方程的解，

王詩(shī)嬤的的影子長(zhǎng)為120cm；

（2）正確，

因?yàn)楦邎A柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽(yáng)光的光線(xiàn)與MN垂直，

則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過(guò)斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，

而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，

...高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)；

（3）如圖，為高圓柱，A/7為太陽(yáng)光，△8七為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子,

過(guò)點(diǎn)尸作尸G_LCE于點(diǎn)G,

由題意可得：BC=100,CF=100,

???斜坡坡度i=l：0.75,

DEFG14

??CE-CG-0.75-3’

???設(shè)FG=4〃i,CG=3m,在△(?尸G中，(4/n)2+(3機(jī))2=1002,

解得：〃?=20,

???CG=60,尸G=80,

：.BG=BC+CG=\60,

過(guò)點(diǎn)尸作FH_LA8于點(diǎn)H,

???同一時(shí)刻，90s?矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72c加，

FG上BE,ABVBE,FHVAB.

可知四邊形HBGF為矩形，

.90AHAH

**72-HF~BGf

onon

：.AH=務(wù)XBG=務(wù)X160=200,

/.AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280,

故高圓柱的高度為280cm.

【例題3】（2021浙江嘉興）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁(yè)例2后，進(jìn)一步開(kāi)展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩

形A8CQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°VaW900）,得到矩形A"CD1,連結(jié)BD

［探究1］如圖1,當(dāng)a=90°時(shí)，點(diǎn)C'恰好在OB延長(zhǎng)線(xiàn)上.若48=1,求8c的長(zhǎng).

［探究2］如圖2,連結(jié)AC',過(guò)點(diǎn)?！鳌稭//AC交B。于點(diǎn)M.線(xiàn)段。'M與。M相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理

由.

［探究3］在探究2的條件下，射線(xiàn)OB分別交A。'，AC'于點(diǎn)P,N（如圖3）,發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段。N,MN,PN

存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明.

圖2

【答案】見(jiàn)解析。

得到矩形AB'CD',

???點(diǎn)A,B,D'在同一直線(xiàn)上,

,

：,AD'=AD=BC=x,DC=AB,=AB=\f

：.D'B=AD'-AB=x-1,

VZBAD=ZD'=90o,

：.D'C//DA,

又???點(diǎn)。在OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，

???XDCBs叢ADB,

???-D'---C-‘-=-D--‘-B-

ADAB

?.?1二xT,

X1

解得川=里5,期=上正(不合題意，舍去)，

22

：.BC=-+y^.

2

(2)DM=DM.

證明：如圖2,連接D。,

c

圖2

*：D'M//AC,

???ZAD,M=ZD,AC.

???AD'=A。，NAD'C=/OAB=90°,D'C=AB,

：.AACD'^ADAB(SAS),

ND'AC=NADB,

：.NADB=ZAD'Mt

*：AD'=AD,

:.ZADD'=NAD。，

JNMOD'=NM。。，

：.D'M=DMx

(3)關(guān)系式為MN2=PN?OM

證明：如圖3,連接AM,

圖3

,：D'M=DM,AD'=AD,AM=AM,

A^AD'M^/\ADMCSSS),

：?/MAD'=/MAD,

?:NAMN=NMAA/NDA,NNAM=NMAD'+NNAP,

NAMN=NNAM,

:.MN=AN,

在△、人?和△可￡)4中，/ANP=/DNA,/NAP=/NDA,

：.XNPAS〉NAD,

?PNAN

??I,一,

ANDN

:.AF=PN?DN,

，MM=PN?ON.

【例題4】（2021湖南邵陽(yáng)）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑EO與母線(xiàn)A。長(zhǎng)之比為

1：2.制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,ADA.BC.將扇形4EF圍成圓錐

時(shí)，AE,4尸恰好重合.

（1）求這種加工材料的頂角^BAC的大小.

（2）若圓錐底面圓的直徑E。為5CM,求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積.（結(jié)果保留n）

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】（1）設(shè)N3AC=〃°.根據(jù)弧EF的兩種求法，構(gòu)建方程，可得結(jié)論.

（2）根據(jù)5陰=2?8。?4）7向形人所求解即可.

2

解：（1）設(shè)NBAC=〃°.

由題意得冗??！?口兀?加工Q=2DE,

180

???〃=90,???N6AC=90°.

（2）VZD=2DE=IO（cm）t

2

9QK>1

??.S陰=2?BC?AO-S扇形AM=2X10X20-0-（100-25n）c/n2.

22360

考點(diǎn)問(wèn)題綜合訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2021浙江紹興）數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從“中國(guó)結(jié)”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形放置，用2個(gè)

相同的菱形放置，得到3個(gè)菱形.下面說(shuō)法正確的是（）

圖1圖2

A.用3個(gè)相同的菱形放置，最多能得到6個(gè)菱形

B.用4個(gè)相同的菱形放置，最多能得到16個(gè)菱形

C.用5個(gè)相同的菱形放置,最多能得到27個(gè)菱形

D.用6個(gè)相同的菱形放置,最多能得到41個(gè)菱形

【答窠】B

【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，從圖形中找到出現(xiàn)的菱形的個(gè)數(shù)即可.

如圖所示，

用2個(gè)相同的菱形放置,最多能得到3個(gè)菱形;

用8個(gè)相同的菱形放置，最多能得到8個(gè)菱形,

用4個(gè)相同的菱形放置，最多能得到16個(gè)菱形，故選：B.

2.某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展動(dòng)手操作活動(dòng)，設(shè)計(jì)了如圖所示的三種圖形，現(xiàn)計(jì)劃用鐵絲按照?qǐng)D形制作相應(yīng)的造

A.甲種方案所用鐵絲最長(zhǎng)B.乙種方案所用鐵絲最長(zhǎng)

C.丙種方案所用鐵絲最長(zhǎng)D.三種方案所用鐵絲一樣長(zhǎng)

【答案】D.

【解析】考點(diǎn)是生活中的平移現(xiàn)象。分別利用平移的性質(zhì)得出各圖形中所用鐵絲的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出答案.

由圖形可得出：甲所用鐵絲的長(zhǎng)度為：2a+2b,

乙所用鐵絲的長(zhǎng)度為：2a+2b,

丙所用鐵絲的長(zhǎng)度為：2a+2b,

故三種方案所用鐵絲一樣長(zhǎng).

3.(2021浙江杭州)在“探索函數(shù)y=/+bx+c的系數(shù)a,b,c與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角

坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：A(0,2),B(1,0),C(3,1),。(2,3),發(fā)現(xiàn)這些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各

2262

【答案】A

【解析】比較任意三個(gè)點(diǎn)組成的二次函數(shù)，比較開(kāi)口方向，開(kāi)口向下，則只需把開(kāi)口向上的二次函

數(shù)解析式求出即可.

由圖象知，A、B、O組成的點(diǎn)開(kāi)口向上；

A、B、C組成的二次函數(shù)開(kāi)口向上；

B、C、。三點(diǎn)組成的二次函數(shù)開(kāi)口向下；

A、D、C三點(diǎn)組成的二次函數(shù)開(kāi)口向下；

即只需比較A、B、。組成的二次函數(shù)和A、B.

設(shè)A、B、C組成的一次函數(shù)為yi=m.，+玩什ci.

把A（4,2）,0）,5）代入上式得，

c1=2

<a4+b1+c1=3,

9aj+3bj+cj=5

解得ai=$;

8

設(shè)A、B、。組成的二次函數(shù)為y=加+加+小

把A（0,4）,0）,3）代入上式得，

c=6

,a+b+c=0，

4a+2b+c=3

解得a=5/2,

即。最大的值為巨.

2

4.（2021湖南長(zhǎng)沙）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某數(shù)學(xué)老師將1~10共十個(gè)整數(shù)依次寫(xiě)在十張不透明的卡片上

（每張卡片上只寫(xiě)一個(gè)數(shù)字，每一個(gè)數(shù)字只寫(xiě)在一張卡片上，而且把寫(xiě)有數(shù)字的那一面朝下）.他先像洗

撲克牌一樣打亂這些卡片的順序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同學(xué)叫到瓊臺(tái)上，隨機(jī)地發(fā)給每位同學(xué)

兩張卡片，并要求他們把自己手里拿的兩張卡片上的數(shù)字之和寫(xiě)在黑板上，寫(xiě)出的結(jié)果依次是：甲：11;

乙：4；丙：16；T：7；戊：17.根據(jù)以上信息，下列判斷正確的是（）

A.戊同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是8和9

B.丙同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是9和7

C.丁同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是3和4

D.甲同學(xué)手里拿的兩張卡片上的數(shù)字是2和9

【答案】A

【解析】由題意可知，一共十張卡片十個(gè)數(shù)，五個(gè)人每人兩張卡片，

???每人手里的數(shù)字不重復(fù).

由甲：11,可知甲手中的數(shù)字可能是1和10,2和9,3和8,4和7,5和6；

由乙：4,可知乙手中的數(shù)字只有1和3；

由丙：16,可知丙手中的數(shù)字可能是6和10,7和9；

由?。?,可知丁手中的數(shù)字可能是1和6,2和5,3和4；

由戊：17,可知戊手中的數(shù)字可能是7和10,8和9；

，丁只能是2和5,甲只能是4和7,丙只能是6和10,戊只能是8和9.

，各選項(xiàng)中，只有A是正確的.

二、填空題

1.（2021山東煙臺(tái)）數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量學(xué)校旗桿高度，已知無(wú)人機(jī)的飛行高度為40米，當(dāng)無(wú)

人機(jī)與旗桿的水平距離是45米時(shí)，觀(guān)測(cè)旗桿頂部的俯角為30°,則旗桿的高度約為米.（結(jié)果精確

到1米，參考數(shù)據(jù)：加=1.41,后〃73）

【答案】14.

【解析】過(guò)。點(diǎn)作OC_L4B的延長(zhǎng)線(xiàn)于C點(diǎn)，垂足為C,利用直角三角形的解法得出OC,進(jìn)而解答即可.

解：過(guò)。點(diǎn)作OC_L48的延長(zhǎng)線(xiàn)于。點(diǎn)，垂足為C,

6力

???當(dāng)無(wú)人機(jī)與旗桿的水平距離是45米時(shí)，觀(guān)測(cè)旗桿頂部的俯角為30°,

.??AC=45米，/C4O=3（T,

/.OC=AC-tan30°=返乂45=15?（米），

3

???旗桿的高度=40-15加F4（米）.

三、解答題

1.（2020?河南）小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖，點(diǎn)。是比上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段8c=8a小點(diǎn)A是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作。尸〃8。，交OA的延長(zhǎng)線(xiàn)

于點(diǎn)尸.當(dāng)aoc產(chǎn)為等腰三角形時(shí)，求線(xiàn)段B。的長(zhǎng)度.

小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問(wèn)題很難通過(guò)常規(guī)的推理計(jì)算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究此問(wèn)題.請(qǐng)

將下面的探究過(guò)程補(bǔ)充完整：

（1）根據(jù)點(diǎn)。在比上的不同位置，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，測(cè)量線(xiàn)段BQ,CD,的長(zhǎng)度，得到下表的幾組對(duì)

應(yīng)值.

BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0

CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40

FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0

操作中發(fā)現(xiàn):

①“當(dāng)點(diǎn)。為貿(mào)1的中點(diǎn)時(shí)，BD=5.0cinf.則上表中。的值是；

②“線(xiàn)段CF的長(zhǎng)度無(wú)需測(cè)量即可得到”.請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

（2）將線(xiàn)段B。的長(zhǎng)度作為自變量羽CD和尸。的長(zhǎng)度都是x的函數(shù)，分別記為ye和"P，并在平面直

角坐標(biāo)系直?中畫(huà)出了函數(shù)WO的圖象，如圖所示.請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出函數(shù)yco的圖象；

（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫(xiě)出：當(dāng)AOCV為等腰三角形時(shí)，線(xiàn)段

8。長(zhǎng)度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】（1）???點(diǎn)。為寬的中點(diǎn)，，第=①，??.8O=CZ）=a=5cm,

故答案為：5；

（2）???點(diǎn)A是線(xiàn)段8C的中點(diǎn)，

?*?AB=ACJ

,:CF//RD,:./F=/UDA,

又：NBAD=NC4產(chǎn)，

.?.△BAD^ACAF(AAS),:?BD=CF,

，線(xiàn)段CF的長(zhǎng)度無(wú)需測(cè)量即可得到；

(3)由題意可得：

(4)由題意畫(huà)出函數(shù)yc尸的圖象;

由圖象可得：BO=3.8c〃?或5。"或6.2cm時(shí)，ZX。。尸為等腰三角形.

2.(2020浙江寧波)［問(wèn)題］小明在學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：求不等式3+3/?x?3>0的解集.

他經(jīng)歷了如下思考過(guò)程：

［回顧］

(1)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系宜萬(wàn)中，直線(xiàn)yi=ar+b與雙曲線(xiàn)”=&交于A(1,3)和4(-3,-I),

x

則不等式以+b〉-的解集是.

X

［探究］將不等式丁+3/-x-3>0按條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

當(dāng)x=0時(shí)，原不等式不成立；

3

當(dāng)x>0時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為f+3x-1>一；

x

3

當(dāng)xVO時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為f+3x-1V-.

x

（2）構(gòu)造函數(shù)，畫(huà)出圖象：

3

設(shè)），3=*+3X-1,在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖象；

X

3

雙曲線(xiàn)》=一如圖2所示，請(qǐng)?jiān)诖俗鴺?biāo)系中畫(huà)出拋物線(xiàn)），=f+3x-1.（不用列表）

x

（3）確定兩個(gè)函數(shù)圖象公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)：

觀(guān)察所畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，猜想并通過(guò)代入函數(shù)解析式驗(yàn)證可知：滿(mǎn)足”=》的所有x的值為

［解決］

（4）借助圖象，寫(xiě)出解集：

結(jié)合“探究”中的討論，觀(guān)察兩個(gè)函數(shù)的圖象可知：不等式的解集為.

k

【解析】（1）如圖1中，觀(guān)察圖形可知：不等式—的解集為x>l或-3VxV0.

故答案為：工>1或-3Vx<0.

（2）函數(shù)》=f+3x-1的圖形如圖所示:

圖2

（3）觀(guān)察圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3,-I,1.

經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)可知：點(diǎn)（?3,-I）,點(diǎn)（?1,?3）,點(diǎn)（1,3）是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo),

滿(mǎn)足J3=J4的所有X的值為-3或-1或1.

故答案為-3或-1或1.

（4）觀(guān)察圖象，當(dāng)x>0時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為.H+3x?1>±的解集為x>l,

x

3

當(dāng)x<0時(shí)，不等式兩邊同除以x并移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為A3x-1<-的解集為xV-3或-1<x<0,

x

:.不等式3+3x2-x-3>0的解集為x>1或x<-3或?1VxVO.

故答窠為工>1或xV-3或-l<x<0.

【點(diǎn)撥】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知

識(shí)，解題的關(guān)犍是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問(wèn)題，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問(wèn)題解決，屬于中考

壓軸題.

3.（2020湖北隨州）一個(gè)問(wèn)題解決往往經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)猜想——探索歸納一問(wèn)題解決的過(guò)程，下面結(jié)合一道幾

何題來(lái)體驗(yàn)一下.

（發(fā)現(xiàn)猜想）（1）如圖①，已知NAOB=70。，N400=100。，OC為N8。。的角平分線(xiàn)，則NAOC的度數(shù)

圖②

NAOB=m,ZAOD=n,。。為N3。。的角平分線(xiàn).猜想NAOC的度數(shù)（用含

m、〃的代數(shù)式表示），并說(shuō)明理山.

（問(wèn)題解決）（3）如圖②，若N4O8=20。，NAOC=90。，乙4。力=120。.若射線(xiàn)OB繞點(diǎn)O以每秒20。逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線(xiàn)OC繞點(diǎn)O以每秒10°順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線(xiàn)0。繞點(diǎn)O每秒30。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三條射線(xiàn)同時(shí)旋

轉(zhuǎn)，當(dāng)一條射線(xiàn)與直線(xiàn)04重合時(shí)，三條射線(xiàn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，其中一條射線(xiàn)是另外兩條射線(xiàn)夾

角的角平分線(xiàn)?

【答案】見(jiàn)解析。

【解析】⑴85。；

(2)VZAOB=m,ZAOD=n,ZBOD=n-m

???OC為N8。。的角平分線(xiàn)

n-m

:?/BOC=

：.ZAOC+ni

(3)設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為x秒,

則N￡)OA=120°—30x；NCQ4=90。-106；NB04=200+20i；

①當(dāng)在之前，OC為OB,0。的角平分線(xiàn)；30-20x=70-30x,占=4(舍)；

②當(dāng)4在京12之間，OD為OC,OB的角平分線(xiàn)；―30+2(比=100—50心及若：

③當(dāng)/在2和9之間，OB為OC,。。的角平分線(xiàn)：70-30x=-100+50x,由=1；

④當(dāng)/在孑和4之間，OC為OB,。。的角平分線(xiàn)；―70+30x=-30+20%x4=4.

答：經(jīng)過(guò)手,卷4秒時(shí)，其中一條射線(xiàn)是另外兩條射線(xiàn)夾角的平分線(xiàn).

【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)，

理清各個(gè)角之間存在的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程.

4.(2020?陜西)問(wèn)題提出

(1)如圖1,在RtZ\A8C中，NACB=90°,AC>BC,NAC8的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)O.過(guò)點(diǎn)O分別作OE

_L4C,DFLBC.垂足分別為E,F,則圖1中與線(xiàn)段CE相等的線(xiàn)段是.

問(wèn)題探究

(2)如圖2,AB是半圓。的直徑，A3=8.P是油上一點(diǎn)，且兩=2黑，連接AP,BP.N4P8的平分線(xiàn)

交48于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C分別作CE_LAP,CFLBP,垂足分別為E,F,求線(xiàn)段C尸的長(zhǎng).

問(wèn)題解決

(3)如圖3,是某公園內(nèi)“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖.已知。0的直徑,48=70m，點(diǎn)C在。。上，且

CA=CB.P為AB上一點(diǎn),連接CP并延長(zhǎng)，交OO于點(diǎn)D.連接AD,BD.過(guò)點(diǎn)尸分別作PE_LA。，PF

1BD,重足分別為E,F.按設(shè)計(jì)要求，四邊形PED/內(nèi)部為室內(nèi)活動(dòng)區(qū)，陰影部分是戶(hù)外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其

余部分為綠化區(qū).設(shè)4P的長(zhǎng)為x(/n),陰影部分的面積為y(〃P).

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②按照“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)4P的長(zhǎng)度為30m時(shí)，整體布局比較合理.試求當(dāng)AP=30加

時(shí).室內(nèi)活動(dòng)區(qū)(四邊形PEDF)的面積.

c

【解析】(1)VZACB=90°,DE±AC,DF±BC,

???四邊形CEOF是矩形，

???CO平分NAC8,DE1AC,DF工BC,

:?DE=DF,

，四邊形CED/是正方形，

:?CE=CF=DE=DF,

故答案為:CF、DE、DF；

(2)連接。P,如圖2所示：

*：AB是半圓O的直徑，PB=2PA,

1

--0

/.ZAPB=90°360

???/A8尸=30°,

同（1）得：四邊形PEb是正方形，

???PF=CF,

在R5P3中，PB=AB*cosZABP=8XcosSO0=8X卑=4、氏

在RdCM中，^=^BC=^h=J=^CF,

?:PB=PF+BF,

：.PB=CF+BF,

即：4v^3=CF+V3CF,

解得：CF=6-2>/3；

（3）①:AB為OO的直徑，

:./ACR=/ADR=90°,

，：CA=CB,

:.^ADC=/BDC,

同（1）得：四邊形OEP尸是正方形，

:.PE=PF,NAPE+N5P尸=90°,ZPEA=ZPFB=90°,

???將&4PE繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△<PF,PA'=PA,如圖3所示:

則A'、RB三點(diǎn)共線(xiàn)，ZAPE=ZA1PF,

：.ZA1PF+ZBPF=90<>,即NA'PB=90°,

：?S△丹aS,BF=S4MB=3弘?P8=3（70?X）,

在RtAACB中，AC=BC=容AB=yx70=35>/2,

1

c-X

.o=c2=2（35V2）2=1225,

，y=S△例，B+S^ACB=>（70-x）+1225=一1f+35X+1225；

②當(dāng)AP=30時(shí)，A'P=30,PB=AB-AP=10-30=40,

在Rl^A'PB中,由勾股定理得：A'B=V^P2+PB2=V302+402=50,

,/SmPB='B*PF='P,

11

A-X50XPF=4x40X30,

22

解得：P尸=24,

；?S四曲形「￡。產(chǎn)=0產(chǎn)=242=576(/n2),

，當(dāng)4P=30小時(shí).室內(nèi)活動(dòng)區(qū)(四邊形PEQP)的面積為576//.

c

圖3圖2

5.（2021山東濟(jì)寧）研究立體圖形問(wèn)題的基本思路是把立體圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題.

（1）閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線(xiàn)所成的角，就是將直線(xiàn)平移使其相交所成的角.

例如，正方體ABCO-A'B'CD1（圖1）,因?yàn)樵谄矫鍯C中，CC//AA\AAr與AB相交

于點(diǎn)4,所以直線(xiàn)AB與A4'所成的N8/L4'就是既不相交也不平行的兩條直線(xiàn)48與CC'所成的角.

解決問(wèn)題

如圖1,已知正方體ABCD-4'B'C〃，求既不相交也不平行的兩直線(xiàn)84'與AC所成角的大小.

圖1圖2

（2）如圖2,M,N是正方體相鄰兩個(gè)面上的點(diǎn)；

①下列甲、乙、丙三個(gè)圖形中，只有一個(gè)圖形可以作為圖2的展開(kāi)圖，這個(gè)圖形是一；

②在所選正確展開(kāi)圖中，若點(diǎn)/到A5,的距離分別是2和5,點(diǎn)N到36BC的距離分別是4和3,P

是A8上一動(dòng)點(diǎn)，求PM+PN的最小值.

【答案】見(jiàn)解析。

【分析】（1）如圖1中，連接BC'.證明△?!'BC'是等邊三角形，推出NBA'C=60°,由題意可知

/C：A1"是兩條直線(xiàn)AC與AA'所成的角.

（2）根據(jù)立方體平面展開(kāi)圖的特征，解決問(wèn)題即可.

（3）如圖丙中，作點(diǎn)N關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K,連接MK交A。于P,連接PN,此時(shí)PM+PN的值最小，最

小值為線(xiàn)段MK的值，過(guò)點(diǎn)M作MJJ_NK于利用勾股定理求出MK即可.

：2BC'是等邊三角形，

C=60°,

,:ACUZC,

???NC'A'B是兩條直線(xiàn)AC與84'所成的角，

???兩直線(xiàn)歷T與AC所成角為60°.

（2）①觀(guān)察圖形可知，圖形丙是圖2的展開(kāi)圖，

故答案為：丙.

②如圖丙中，作點(diǎn)N關(guān)于A。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K，連接MK交A。于P,連接PM此時(shí)PM+/W的值最小，最小值

為線(xiàn)段MK的值，過(guò)點(diǎn)M作M/_LNK于J.

丙

由題意在RtZXMKJ中，NA/JK=90°,M/=5+3=8,JK=8-(4-2)=6,

AA//C=VMJ2+JK2=V82+62=10,

???PM+PN的最小值為10.

6.（2021浙江紹興）拓展小組研制的智能操作機(jī)器人，如圖1,水平操作臺(tái)為/,高A3為50的，連桿5c

長(zhǎng)度為70s?,C是轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，且4A

（1）轉(zhuǎn)動(dòng)連桿8C,手臂8,使NABC=143°,如圖2,求手臂端點(diǎn)。離操作臺(tái)/的高度。上的長(zhǎng)（精確

到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin53°*0.8,cos53c^06）

（2）物品在操作臺(tái)/上，距離底座A端110cm的點(diǎn)M處，轉(zhuǎn)動(dòng)連桿8C,手臂端點(diǎn)。能否碰到點(diǎn)M?請(qǐng)說(shuō)

明理由.

圖1圖2

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)。作CP_LAE于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)8作8QJ_CP于點(diǎn)。

：.ZCBQ=53°,

在RtzXBCQ中，CQ=BC?sin530比70X0.8=56cm,

■:CDHI,

/.DE=CP=CQ+PQ=56+50=106cm.

(2)當(dāng)B,C,。共線(xiàn)時(shí)

80=60+70=130cm,AB=50cmt

在RdABO中，AB2+AD2=BD2,

.\AD=\20cm>1lOcw.

，手臂端點(diǎn)。能碰到點(diǎn)

7.（2021浙江紹興）問(wèn)題：如圖，在oABCO中，AB=8,ZDAB,NA8C的平分線(xiàn)4E,F,求石尸的長(zhǎng).

答案：EF=2.

探究：（1）把“問(wèn)題”中的條件“4B=8”去掉，其余條件不變.

①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)尸重合時(shí)，求A8的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，求E尸的長(zhǎng).

（2）把“問(wèn)題”中的條件“A5=8,AD=5,f去掉，其余條件不變，O,E,F相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，

求池的值.

【解析】（1）①證NQ￡4=/D4E,得。七=A￡>=5,同理即可求解；

②由題意得。E=OC=5,再由。尸=BC=5,即可求解；

（2）分三種情況，由（1）的結(jié)果結(jié)合點(diǎn)C,D,E,尸相鄰兩點(diǎn)間的距離相等，分別求解即可.

解：（1）①如圖1所不：

圖1

???四逅形ABCD是平行四邊形,

，CO=AB=8,BC=AD=5,

???NOEA=NBAE,

TAE平分NOAB,

???NDAE=NBAE,

ZDEA=ZDAE,

：.DE=AD=5,

同理：BC=CF=5t

???點(diǎn)E與點(diǎn)尸重合,

：,AB=CD=DE+CF=10；

②如圖3所示:

圖2

???點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,

：?DE=DC=5,

":CF=BC=5,

.??點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合,

：.EF=DC=5^

（2）分三種情況：

①如圖3所示：

同（1）得：AD=DEt

???點(diǎn)C,。，E,尸相鄰兩點(diǎn)間的距離相等,

同（1）得：AD=DE=CF,

?:DF=FE=CE,

?.--A--D—_—2;

AB6

③如圖5所示：

c

AB

屋5

同（1）得：AD=DE=CF,

?：DF=DC=CE,

AAD=2;

AB

綜上所述，坦的值為n或2.

AB35

8.【材料閱讀】

地球是一個(gè)球體，任意兩條相對(duì)的子午線(xiàn)都組成一個(gè)經(jīng)線(xiàn)圈（如圖1中的.人們?cè)诒卑肭蚩捎^(guān)測(cè)到北

極星，我國(guó)古人在觀(guān)測(cè)北極星的過(guò)程中發(fā)明了如圖2所示的具尺（古人稱(chēng)它為“復(fù)矩”），尺的兩邊互

相垂直，角頂系有一段棉線(xiàn)，棉線(xiàn)末端系一個(gè)銅錘，這樣棉線(xiàn)就與地平線(xiàn)垂直.站在不同的觀(guān)測(cè)點(diǎn)，當(dāng)工

具尺的長(zhǎng)邊指向北極星時(shí)，短邊與棉線(xiàn)的夾角a的大小是變化的.

【實(shí)際應(yīng)用】

觀(guān)測(cè)點(diǎn)力在圖1所示的。。上，現(xiàn)在利用這個(gè)工具尺在點(diǎn)力處測(cè)得a為31。，在點(diǎn)力所在子午線(xiàn)往北的另

一個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)H用同樣的工具尺測(cè)得a為67；國(guó)是。。的直徑，PQLON.

（1）求N/W的度數(shù)；

（2）己知0P=6400^7,求這兩個(gè)觀(guān)測(cè)點(diǎn)之間的距離即。。上標(biāo)的長(zhǎng).（IT取3.1）

【答窠】見(jiàn)解析。

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)夕的切線(xiàn)面交。V延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)EHD\RC干D,67/1用/交火于點(diǎn)￡如圖所示:

則/戚=67°,

°：/慚/BHD=ZDHC=9N,

???/〃初=/力￡=67°,

?：ONHBH,

，/收=/儂=67°,

???/此=90°-67°=23°,

,：PQLON,

工NFOE=9Q0,

，/物9=90°-23°=67°；

(2)同(1)可證N/YM=31°,

工/AOB=/POB?/POA=67°-31°=36°,

???定=36X兀X6400=3968(km).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)；熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)和弧長(zhǎng)公式

是解題的關(guān)鍵.

9.（2020年浙江舟山）在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起,

使點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合（如圖1）,其中NACB=NDFE=90°,BC=EF=3cm,AC=DF=4cm,

并進(jìn)行如下研究活動(dòng).

活動(dòng)一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連結(jié)AE,BD（如圖2）,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移.

【思考】圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片DEF平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形ABDE為矩形(如圖3).求AF的長(zhǎng).

活動(dòng)二：在圖R中，取AD的中點(diǎn)0,再將紙片DFF繞點(diǎn)。順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a度a<90),連結(jié)0R,

0E(如圖4).

【探究】當(dāng)EF平分NAEO時(shí)，探究OF與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】【思考】

由全等三角形的性質(zhì)得出AB=DE,ZBAC=ZEDF,則AB〃DE,可得出結(jié)論；

【發(fā)現(xiàn)】

連接BE交AD于點(diǎn)0,設(shè)AF=x(cm),則OA=OE=￡(x+4),得出OF=OA-AF=2-￡x,由勾股定理可

^(2-4X)2+32=Y(X+4)2*解方程求出x,則AF可求出；

【探究】

如圖2,延長(zhǎng)0F交AE于點(diǎn)H,證明△EFOgAEFH(ASA),得出EO=EH,FO=FH,則NEH0=NEOH=/OBD

=ZODB,可證得△EOHgAOBD(AAS),得出BD=OH,則結(jié)論得證.

解：【思考】四邊形ABDE是平行四邊形.

證明：如圖，VAABC^ADEF,

AAB=DE,ZBAC=ZEDF,

，AB〃DE,

,四逅形ABDE是平行四邊形；

【發(fā)現(xiàn)】如圖1,連接BE交AD于點(diǎn)0,

圖1

???四邊形ABDE為矩形，

.*.OA=OD=OB=OE,

設(shè)AF=x(cm),則OA=OE=,(x+4),

AOF=OA-AF=2--^x,

2

在RtaoFE中，???OF2+EF2=OE2,

???(2^-X)2+32=^(X+4)2-

解得：x=N，

4

9

.*.AF=4cm.

4

【探究】BD=2OF,

證明：如圖2,延長(zhǎng)OF交AE于點(diǎn)H,

/.Z0^B=Z0BA=Z0DE=ZOED,OA=OB=OE=OD,

???ZOBD=ZODB,ZOAE=ZOEA,

AZABD+ZBDE+ZDEA+ZEAB=360°,

AZABD+ZBAE=180°,

??,AE〃BD,

ZOHE=ZODB,

???EF平分NOEH,

:.ZOEF=ZHEF,

VZEFO=ZEFH=90°,EF=EF,

.,.△EFO^AEFH（ASA）,

AEO=EH,FO=FH,

JZEH0=NE0H=Z0BD=ZODB,

/.△EOH^AOBD（AAS）,

ABD=OH=2OF.

10.（2021齊齊哈爾）綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式.通過(guò)活動(dòng)可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動(dòng)手動(dòng)腦能力，拓

展思推空間，豐富數(shù)學(xué)體驗(yàn).讓我們一起動(dòng)手來(lái)折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會(huì)活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣.

折一折：將正方形紙片A8CQ折疊，使邊48、4。都落在對(duì)角線(xiàn)AC上，展開(kāi)得折痕AE、AF,連接EE

如圖1.

（1）ZE4F=。，寫(xiě)出圖中兩個(gè)等腰三角形：（不需要添加字母）；

轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的NE4尸繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊6C、CD于點(diǎn)P、Q,連接尸Q,如圖2.

（2）線(xiàn)段BP、PQ、。。之間的數(shù)量關(guān)系為；

（3）連接正方形對(duì)角線(xiàn)3D,若圖2中的NPA。的邊AP、AQ分別交對(duì)角線(xiàn)5。于點(diǎn)M、點(diǎn)M如圖3,

剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，如圖4.

(4)求證：BM2+DN2=MN2.

【答案】(1)45,AABC,AADC：(2)BP+DQ=PQ；(3)五:(4)見(jiàn)解析

【解析】(1)由翻折的性質(zhì)可知：^DAF=ZFAC,ZBAE=ZEAC,ZE4F=ZMC+ZE4C，根據(jù)

正方形的性質(zhì)：AB=BC=CD=AD.ZBAD=90°=ZDAF+ZFAC-^-ZBAE-^-ZEAC，則

ZE4F=-ZBA￡>=45°,△48C,“UX?為等腰三角形；

2

(2)如圖：將△4OQ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，證明△APQgAA尸Q'全等，即可得出結(jié)論；

(3)證明△ACQsZXABM即可得出結(jié)論；

(4)根據(jù)半角模型，將AWN順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，連接W，可得DN=BN'，通過(guò)ZkAMN絲△4VW'得

出MN=MN',△BMN'為直角三角形，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)由翻折的性質(zhì)可知：^DAF=ZFAC,ZBAE=ZEAC

???48co為正方形

.?.ZBAD=90°,AB=BC=CD=AD

.?.△ABC,△ADC為等腰三角形

???ABAD=ZDAF+ZE4C+^BAE+^EAC

ABAD=2(ZE4C+ZE4C)

?.?ZE4F=ZFAC+ZEAC

ZEAF=-/BAD=-x90°=45°

22

(2)如圖：將△AD。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

ff

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AQ=AQfDQ=BQZDAQ=ZBAQ

由(1)中結(jié)論可得NPAQ=45。

?.?他8為正方形，NBA。=90。

/.ZBAP+ZDAQ=45°

4AQ'+NBA尸=45。

ZPAQ=ZPAQf

/.在AAPQ和△APQ'中

AP=AP

?NPAQ=NPAQ'

AQ=AQf

..AAPO^/XAPff

PQ=PQ

?.?PQ=BQ'+BP

?.PQ=DQ+BP

(3)AC為正方形ABC。對(duì)角線(xiàn)

/.AC=41AB

Q

ZABM=ZACQ=45fABAC=45°

ZPAQ=45°

ZBAM=45°-ZPAC,ZCAg=45°-ZPAC

NBAM=ZCAQ

/./XABMs/XACQ

CQAC=V2

（4）如圖：將△4ON順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，連接MN',

由（2）中的結(jié)論可證△AMN'附△4W/V

:.MN=MN'

???ZD=45°,ZABD=45°

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ND=ZABN'=45。,DN=BN'

4MBN'=ZABD+AABN'=90°

，在心△MBN'中有6M2+BN'1=MN"

?i-BM?+DN?=MN?

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，能夠綜合運(yùn)用這些性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

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度進(jìn)行了測(cè)量.如圖所示，在山坡上的A點(diǎn)測(cè)得塔底5的仰角NB4C=13°,塔頂O的仰角ND4C=38°,

斜坡A3=50米，求寶塔3。的高（精確到1米）.

（參考數(shù)據(jù)：sinl3°^0.22,cosl3°*0.97,tan130=0.23,sin380~0.62,cos380=0.79,tan380-0.78）

【答案】27米.

【解析】要求用）的長(zhǎng)，由題意知可先求出AC、CO的長(zhǎng).再利用〃力=CO-AC求出的長(zhǎng).

在Rtz\48C中，sinNBAC=弛，cosNBAC=螞，

ABAB

ABC=AB^\nZBAC=AB*sin13°^50X0.22=11（米）；

AC=48?cosN8AC=AB?cosl3°^50X0.97=48.5（米）；

在RI/X4OC中，tan/￡）AC=空，

AC

，CO=AC?ianNO4C=4C?tan38°^48.5X0.78-37.83（米）；

：.BD=CD-BC^37.83-11=26.83^27（米）.

答：寶塔3。的高約為27米.

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