第02講探索平行線的性質(zhì)（2大考點(diǎn)7種題型強(qiáng)化訓(xùn)練）（原卷版）

第02講探索平行線的性質(zhì)（2大考點(diǎn)+7種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）1.認(rèn)識(shí)并掌握平行線的性質(zhì)；2.運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理及有條理的表達(dá)；3．理解和掌握平行線的性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用于求角的關(guān)系；4．能夠靈活運(yùn)用平行線的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明．知識(shí)點(diǎn)1：平行線的性質(zhì)1、性質(zhì)1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。簡(jiǎn)稱為：兩直線平行，同位角相等。2、性質(zhì)2：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡(jiǎn)稱為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。3、性質(zhì)3：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡(jiǎn)稱為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。知識(shí)點(diǎn)2：平行線的性質(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系平行線的性質(zhì)和判定中的條件和結(jié)論恰好相反，在“兩條直線被第三條直線所截”的前提下，從同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，推出兩直線平行，這是平行線的判定；而從兩直線平行推出同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，這是平行線的性質(zhì)。性質(zhì)判定二者的因果關(guān)系如下：性質(zhì)判定題型一：兩直線平行同位角相等【例1】．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)校考期末）請(qǐng)把下列證明過(guò)程補(bǔ)充完整．已知：如圖，平分，點(diǎn)D、E分別在、上，且．求證：．

證明：∵平分（已知），∴______（______）．∵（已知），∴______（______）．∴______（______）．【變式1】．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平分，F(xiàn)在上，G在上，與相交于點(diǎn)H，，試說(shuō)明．（請(qǐng)通過(guò)填空完善下列推理過(guò)程）解：∵（已知），（______)．∴______（______）．∴（______）．∴______（______）．∵平分（______），∴______（______）．∴（______）．【變式2】．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，且直線被直線所截．

(1)求證：；(2)若，試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【變式3】．（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，），解答下列問(wèn)題．(1)如圖①，當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)B在的內(nèi)部作則度；(2)如圖②，點(diǎn)G在上，過(guò)點(diǎn)G作．①當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；②用含有和的式子表示；③當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作，直接寫出的度數(shù)．題型二：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等【例2】．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)校考周測(cè)）如圖，已知，平分，＝，求的度數(shù)．

【變式1】．（2023下·江蘇鹽城·七年級(jí)?？计谀┤鐖D：在中，平分外角，且．求證：．

【變式2】．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)?？计谥校┩瓿上旅娴耐评碚f(shuō)明：已知：如圖，，分別平分和．

求證：．證明：∵分別平分和（已知），∴，（①______）．∵（已知），∴（②______）．∴（等量代換）．∴（③______）．∴（④______）．【變式3】．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)G在上．

(1)如圖1，在、上分別取點(diǎn)M、N，連接，點(diǎn)F在上，已知平分，平分，若，，求，的度數(shù)．(2)如圖2，平分，平分，反向延長(zhǎng)交于K，設(shè)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，用含x的代數(shù)式表示．(3)如圖3，已知，，平分，平分，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系_________________題型三：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)【例3】．（2023下·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，．求和的度數(shù)．

【變式1】．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，．與相等嗎？為什么？

【變式2】．（2023下·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為了美化夜景，在某段道路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)激光燈．如圖，燈A射線自開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且a、b滿足．假定主道路是平行的，即，且．

(1)填空：_______，_______，_______；(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)之前，燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)之前，若射出的光束交于點(diǎn)C，過(guò)C作交于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)求出其取值范圍．【變式3】．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知兩條直線被直線所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)M，且．

(1)判斷直線與直線是否平行，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，點(diǎn)G是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），平分交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)N，設(shè)．①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若，求α的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．題型四：根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系【例4】．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知的平分線交于點(diǎn)F．探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【變式1】．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，．過(guò)點(diǎn)A作．

(1)判斷是否平分，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），平分交射線于E，過(guò)點(diǎn)E作于F．①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，若，求的度數(shù)；②點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并說(shuō)明理由．【變式2】．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學(xué)研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索問(wèn)題的解．

(1)如圖1，，點(diǎn)E為、之間的一點(diǎn)．求證：．(2)如圖2，，點(diǎn)E、F、G、H為、之間的四點(diǎn)．則______．(3)如圖3，，則______．【變式3】．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示的格線彼此平行．小明在格線中作，并探究角之間的數(shù)量關(guān)系．

(1)如圖1，他先在一條格線上取一點(diǎn)，作出，當(dāng)時(shí)，________；（注：、是角的兩邊與格線所成的角）(2)如圖2，他又在兩條格線之間取一點(diǎn)，作出，請(qǐng)?zhí)骄?、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（注：、是角的兩邊與格線所成的角）(3)如圖3，點(diǎn)、、、在格線上，點(diǎn)在格線之間，平分，平分，若，則________．題型五：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【例5】．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)C，D在直線上，，，的角平分線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若，求的度數(shù)．

【變式1】．（2023下·江蘇鹽城·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在和上，平分，過(guò)點(diǎn)D作．已知，求的度數(shù)是多少？

【變式2】．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，直線EF分別交、于點(diǎn)E、F，平分，，求的度數(shù)．

【變式3】．（2023下·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，一副三角板（，，，）按如圖①放置，其中點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)B，C均在直線上，且平分．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖②，若將繞B點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為F，G）．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒；①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若邊，求t的值；②若在繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，繞E點(diǎn)以每秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為K、T），請(qǐng)直接寫出與平行時(shí)t的值．題型六：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【例6】．（2023下·七年級(jí)單元測(cè)試）光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1＝∠2．(1)如圖2，已知鏡子MO與鏡子ON的夾角∠MON＝90°，請(qǐng)判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角為50°，當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為°，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；(3)如圖4，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)、C點(diǎn)以3度/秒和1度/秒的速度同時(shí)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t秒，在射線AB轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間t．【變式1】．（2023下·江蘇·七年級(jí)期中）如圖1，某段道路，兩旁安裝了兩個(gè)探照燈M和N．燈M光束從開(kāi)始旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈N光束從開(kāi)始旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)．燈M轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度，燈N轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈M轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)如圖2，燈M光束先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒后，燈N光束才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)．①直接寫出燈M光束和燈N光束，燈先回轉(zhuǎn)；(填M或N)②在燈M光束回轉(zhuǎn)之前，當(dāng)兩燈的光束平行時(shí)，求t的值；(2)如圖3，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，且均不回轉(zhuǎn)．連接，且，若兩燈光束交于點(diǎn)E，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由．【變式2】．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺(tái)燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架、為固定支撐桿，支架可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．

(1)如圖2，當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，恰好與平行，求支架與水平方向的夾角的度數(shù)；(2)若將圖2中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，求此時(shí)與水平方向的夾角的度數(shù)．題型七：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度【例7】．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，垂足為D，點(diǎn)E在上，，垂足為F．(1)與平行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)已知，求的度數(shù)．【變式1】．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【變式2】．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)光線經(jīng)過(guò)鏡面反射時(shí)，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等例如：在圖①、圖②中，都有．設(shè)鏡子與的夾角．(1)如圖①，若，判斷入射光線與反射光線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖②，若，入射光線與反射光線的夾角．探索α與β的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖③，若，設(shè)鏡子與的夾角，入射光線與鏡面的夾角，已知入射光線從鏡面開(kāi)始反射，經(jīng)過(guò)n（n為正整數(shù)，且）次反射，當(dāng)?shù)趎次反射光線與入射光線平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出γ的度數(shù)．（可用含有m的代數(shù)式表示）一、單選題1．（2023上·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行B．平行于同一條直線的兩直線平行C．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等D．不相交的兩條直線必平行2．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，與互為補(bǔ)角，，則的度數(shù)是（

）

A．117° B．63° C．100° D．80°3．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，將一副三角板按如圖方式擺放，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．4．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線和之間，連接和的平分線交于點(diǎn)Q，下列等式正確的是（）

A．B．C． D．5．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的高，若交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是（

）

A． B． C． D．6．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，給出條件：①；②；③且；④且，其中能推出的條件是（）

A．① B．② C．②③ D．③④7．（2023上·江蘇淮安·七年級(jí)淮安市徐楊中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，下列推理及所說(shuō)理由正確的是（

）A．因?yàn)?，所以．理由：同位角相等，兩直線平行B．因?yàn)?，所以．理由：同位角相等，兩直線平行C．因?yàn)椋裕碛桑簝芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等D．因?yàn)?，所以．理由：兩直線平行，同位角相等8．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，給出下列條件：；；③且；④且，其中能推出的條件正確的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2023下·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．10．（2023下·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，平分，平分，，，則（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，，記，則m的值為．

12．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊含有角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上，如果那么的度數(shù)=°．

13．（2023下·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的的度數(shù)是度．

14．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，，則．

15．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，，，則的度數(shù)等于．

16．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，過(guò)點(diǎn)A的直線，若，則．

17．（2023下·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期中）一條古稱在稱物時(shí)的狀態(tài)如圖所示，已知，則．

18．（2023下·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，將直角三角尺的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)分別落在a、b上．若，則等于°．

三、解答題19．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，平分，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接、，與相交于點(diǎn)，．

(1)證明：；(2)若，，求．20．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，F(xiàn)、G是、上的兩點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，平分，求的度數(shù)．21．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，分別與相交于點(diǎn)G、點(diǎn)H，，試說(shuō)明．

22．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，分別與