實際問題與一元二次方程（幾何問題和數(shù)字問題）（導學案）-九年級數(shù)學上冊同步備課系列

學習目標1.根據(jù)實際問題中的數(shù)量關系，正確列出一元二次方程。2.通過列方程解應用題體會一元二次方程在實際生活中的應用，經(jīng)歷將實際問題轉化為數(shù)學問題的過程，提高數(shù)學應用意識。思維導圖引入新課【提問】回顧列方程解決實際問題的基本步驟?【提問】計算下列圖形面積?新知探究【問題】要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？【提問1】本題要解決什么問題？【提問2】上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是多少？如何表示？【提問3】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?【問題】如果換一種設未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面問題？請你試一試?！咎釂?】中央矩形的長與寬還可以怎么表示？你能解決這個問題嗎?【問題】如圖,在一塊長為92m,寬為60m的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬都相等,水渠把耕地分成面積均為885m2的6塊小矩形，水渠應挖多寬？【提問1】你能用幾種方法表示水渠的面積？【提問2】你能解決這個問題嗎?典例分析例1等腰梯形的面積為160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求這個梯形的高。[針對訓練]1.如圖，準備在一塊長為30米，寬為24米的長方形花圃內(nèi)修建四條寬度相等，且與各邊垂直的小路，四條小路圍成的中間部分恰好是一個正方形，且邊長是小路寬度的4倍，若四條小路所占面積為80平方米，則小路的寬度為_____米．2.如圖，某農(nóng)戶準備建一個長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，若墻長為18m，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長35m，圍成長方形的養(yǎng)雞場四周不能有空隙．（1）要圍成養(yǎng)雞場的面積為150m2，則養(yǎng)雞場的長和寬各為多少？（2）圍成養(yǎng)雞場的面積能否達到200m2？請說明理由．探究新知【問題】通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡?！咎釂枴磕隳軐㈩}干內(nèi)容轉化為數(shù)學語言嗎？【提問2】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?【問題】一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和為9，并且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和為45，求這個兩位數(shù).典例分析典例2一個兩位數(shù)是一個一位數(shù)的平方，把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大252，求這個兩位數(shù)．1兩個連續(xù)奇數(shù)的積為255，若設其中較小的奇數(shù)為x，則可列方程為_________________，這兩個數(shù)分別為_______________．[能力提升]1．第十四屆國際數(shù)學教育大會（ICME—14）會徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學元素，展現(xiàn)了我國古代數(shù)學的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數(shù)符號寫出的八進制數(shù)3745，八進制是以8作為進位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0~7共8個基本數(shù)字，八進制數(shù)3745換算成十進制數(shù)是3×83+7×(1)八進制數(shù)3747換算成十進制數(shù)是______；(2)小華設計了一個n進制數(shù)234，換算成十進制數(shù)是193，求n的值．2閱讀材料，回答下列問題：反序數(shù)：有這樣一對數(shù)，一個數(shù)的數(shù)字排列完全顛倒過來變成另一個數(shù)，簡單的說，就是順序相反的兩個數(shù)，我們把這樣的一對數(shù)稱為“反序數(shù)”，比如：12的反序數(shù)是21，456的反序數(shù)是654．用方程知識解決問題：若一個兩位數(shù)，其十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大3，這個兩位數(shù)與其反序數(shù)之積為1300，求這個兩位數(shù)．3如圖，某中學課外興趣小組準備圍建一個矩形花園ABCD，其中一邊靠墻，另外三邊用總長為60m的籬笆圍成，與墻平行的一邊BC上要預留2m寬的入口（如圖中MN所示，不用籬笆），已知墻長為28m．(1)當矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300平方米；(2)能否圍成500平方米的矩形花園?若能求出BC長；若不能，說明理由．直擊中考1．（2022·江蘇泰州真題）如圖，在長為50m，寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草坪．要使草坪的面積為1260m2，道路的寬應為多少？2．（2021·山西省真題）2021年7日1日建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用一個方框圈出4個數(shù)（如圖所示），若圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為65，求這個最小數(shù)（請用方程知識解答）．課堂小結【參考答案】新知探究【問題】要設計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度？【提問1】本題要解決什么問題？（幾何問題）【提問2】上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是多少？如何表示？（封面的長寬之比是9∶7，中央的矩形的長寬之比也應是9∶7。設中央的矩形的長和寬分別是9acm和7acm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是：12(27-9a):12【提問3】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?等量關系:中央矩形的長×設上、下邊襯的寬均為9ycm，左、右邊襯的寬均為7ycm，由題意得(27-18y)(21-14y)=34×解方程得y1=6+33所以9y=1.8cm，7y=1.4cm答：上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm【問題】如果換一種設未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面問題？請你試一試。【提問4】中央矩形的長與寬還可以怎么表示？你能解決這個問題嗎?設正中央的矩形長和寬分別為9xcm，7xcm由題意得9x×7x=34則x1=33故上、下邊襯的寬度為27?9x2左、右邊襯的寬度為21?7x2答：上、下邊襯的寬度為1.8cm，左、右邊襯的寬度為1.4cm【問題】如圖,在一塊長為92m,寬為60m的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬都相等,水渠把耕地分成面積均為885m2的6塊小矩形，水渠應挖多寬？【提問1】你能用幾種方法表示水渠的面積？1.設水渠寬為xm，將所有耕地的面積拼在一起，變成一個新的矩形，它的長為(92–2x)m,寬(60-x)m.新矩形的面積為5310m2。（利用“圖形經(jīng)過移動，它的面積大小不會改變”的道理）2.設水渠寬為xm，水渠的總面積為92x+2×60x-2x2，耕地總面積-水渠面積=5310m2?！咎釂?】你能解決這個問題嗎?解法1：設水渠的寬應挖xm.(92-2x)（60-x）=6×885解得x1=105(舍去），x2=1答：水渠應挖1米寬解法2：設水渠的寬應挖xm.92×60-92x-2×60x+2x2=6×885解得x1=105(舍去），x2=1答：水渠應挖1米寬典例分析例1等腰梯形的面積為160cm2，上底比高多4cm，下底比上底多16cm，求這個梯形的高。解：設這個梯形的高為xcm，則上底為(x+4)cm，下底為(x+20)cm.根據(jù)題意得12整理，得x2+12x-160=0解得x1=8,x2=－20(不合題意，舍去)答：這個梯形的高為8cm.[針對訓練]1.如圖，準備在一塊長為30米，寬為24米的長方形花圃內(nèi)修建四條寬度相等，且與各邊垂直的小路，四條小路圍成的中間部分恰好是一個正方形，且邊長是小路寬度的4倍，若四條小路所占面積為80平方米，則小路的寬度為___1.25__米．2.如圖，某農(nóng)戶準備建一個長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，若墻長為18m，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長35m，圍成長方形的養(yǎng)雞場四周不能有空隙．（1）要圍成養(yǎng)雞場的面積為150m2，則養(yǎng)雞場的長和寬各為多少？（2）圍成養(yǎng)雞場的面積能否達到200m2？請說明理由．解：1）設養(yǎng)雞場的寬為xm，根據(jù)題意得：x（35﹣2x）＝150，解得：x1＝10，x2＝7.5，當x1＝10時，35﹣2x＝15＜18，當x2＝7.5時35﹣2x＝20＞18，（舍去），則養(yǎng)雞場的寬是10m，長為15m．2）設養(yǎng)雞場的寬為xm，根據(jù)題意得：x（35﹣2x）＝200，整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因為方程沒有實數(shù)根，所以圍成養(yǎng)雞場的面積不能達到200m2。探究新知【問題】通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡。【提問】你能將題干內(nèi)容轉化為數(shù)學語言嗎？周瑜三十歲當東吳都督，去世時的年齡是兩位數(shù)（不小于30歲），十位數(shù)字比個位數(shù)字小三，個位數(shù)字的平方等于他去世時的年齡?！咎釂?】本題中的等量關系是什么？你能解決這個問題嗎?等量關系：周瑜去世時的年齡=年齡個位數(shù)字的平方?！驹斀狻拷猓涸O周瑜去世時的年齡的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x?3，依題意得：10x?3解得x1=5，當x=5時，25<30，（不合題意，舍去），當x=6時，36>30（符合題意），答：周瑜去世時的年齡為36歲。【問題】一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和為9，并且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和為45，求這個兩位數(shù).【詳解】設個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為9?x.得x1=3∴這個兩位數(shù)為36或63.典例分析典例2一個兩位數(shù)是一個一位數(shù)的平方，把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大252，求這個兩位數(shù)．【詳解】設一位數(shù)為x，則兩位數(shù)為x2則根據(jù)題意可得：100x+x2整理得：x2分解得：x?4x?7解得：x1=4，答：這個兩位數(shù)為16或49．1兩個連續(xù)奇數(shù)的積為255，若設其中較小的奇數(shù)為x，則可列方程為________xx+2=255_________，這兩個數(shù)分別為______?17,?15或15,17____[能力提升]1．第十四屆國際數(shù)學教育大會（ICME—14）會徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學元素，展現(xiàn)了我國古代數(shù)學的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計數(shù)符號寫出的八進制數(shù)3745，八進制是以8作為進位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0~7共8個基本數(shù)字，八進制數(shù)3745換算成十進制數(shù)是3×83+7×(1)八進制數(shù)3747換算成十進制數(shù)是______；(2)小華設計了一個n進制數(shù)234，換算成十進制數(shù)是193，求n的值．【詳解】（1）3×（2）由題意，得2n解得n1=9，2閱讀材料，回答下列問題：反序數(shù)：有這樣一對數(shù)，一個數(shù)的數(shù)字排列完全顛倒過來變成另一個數(shù)，簡單的說，就是順序相反的兩個數(shù)，我們把這樣的一對數(shù)稱為“反序數(shù)”，比如：12的反序數(shù)是21，456的反序數(shù)是654．用方程知識解決問題：若一個兩位數(shù)，其十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大3，這個兩位數(shù)與其反序數(shù)之積為1300，求這個兩位數(shù)．【詳解】解：設這個兩位數(shù)的個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為x+3，根據(jù)題意得：10x+3∴10x+30+x10x+x+3=1300，即∴121x∴x解得x=2或x=?5（舍去），∴10x+3∴這個兩位數(shù)為52．3如圖，某中學課外興趣小組準備圍建一個矩形花園ABCD，其中一邊靠墻，另外三邊用總長為60m的籬笆圍成，與墻平行的一邊BC上要預留2m寬的入口（如圖中MN所示，不用籬笆），已知墻長為28m．(1)當矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300平方米；(2)能否圍成500平方米的矩形花園?若能求出BC長；若不能，說明理由．【詳解】（1）設矩形花園BC的長為x米，則其寬為12（60﹣x+2依題意列方程得：12（60﹣x+2）x＝300，解這個方程得：x1＝12，x2＝50，∵28＜50，∴x2＝50（不合題意，舍去），∴x＝12．答：當矩形的長BC為12米時，矩形花園的面積為300平方米；（2）設矩形花園BC的長為x米，則其寬為12（60﹣x+2）米，依題意列方程得：12（60﹣x+2）x＝△＝622﹣4000＝﹣156＜0，則該方程無解，即不能圍成500平方米的矩形花園．答：不能圍成500平方米的矩形花園．直擊中考1．（2022·江蘇泰州真題）如圖，在長為50m，寬為38m的矩形地