重難點專項突破09相似三角形中的“手拉手”旋轉模型

重難點專項突破09相似三角形中的“手拉手”旋轉模型【知識梳理】“手拉手”旋轉型模型展示：如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來.Com]【考點剖析】例1、如圖，D為△ABC內一點，E為△ABC外一點，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求證：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.證明：(1)∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠1＝∠2.又∠3＝∠4，∴△ABD∽△CBE.(2)∵△ABD∽△CBE，∴eq\f(AB,CB)＝eq\f(DB,EB).∴eq\f(AB,DB)＝eq\f(CB,EB).又∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE.例2.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D 與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB 相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（1）如圖1，當射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證∽，則 此時______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時間方向旋轉，設旋轉角為．其 中，問的值是否改變？請說明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF圖1圖2圖3【答案】（1）8；（2）不改變．【解析】（1）略；（2）易證，得：．又，，．【總結】本題考查旋轉的相關知識，等腰三角形，“一線三等角”得相似等的相關知識．例3.如圖，已知和是兩個全等的等腰直角三角形，且 ，的頂點E與的斜邊BC的中點重合．將繞 點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于 點Q．（1）如圖1，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：≌；（2）如圖2，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：∽；并求當BP=a， 時，P、Q兩點間的距離（用含a的代數(shù)式表示）．AABCDEFABCDEFPPQ圖1圖2Q【答案】（1）略；（2）．【解析】（1）是中點，．，． ，．．（2），而，． ，， ，， ， ． 在中，， ，． 在中，．【總結】本題考查了“一線三等角”相似模型．例4.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內不與點A，C重合的任意一點．連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當α＝60°時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當α＝90°時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．【分析】（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O．證明△CAP≌△BAD（SAS），即可解決問題．（2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．證明△DAB∽△PAC，即可解決問題．（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．證明AD＝DC即可解決問題．②如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：DA＝DC解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，延長CP交BD的延長線于E，設AB交EC于點O．∵∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°，故答案為1，60°．（2）如圖2中，設BD交AC于點O，BD交PC于點E．∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵＝＝，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OABB＝45°，∴直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為45°．（3）如圖3﹣1中，當點D在線段PC上時，延長AD交BC的延長線于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四點共圓，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，設AD＝a，則DC＝AD＝a，PD＝a，∴＝＝2﹣．如圖3﹣2中，當點P在線段CD上時，同法可證：DA＝DC，設AD＝a，則CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴＝＝2+．【過關檢測】一．選擇題（共4小題）1．（2020秋?霍邱縣期末）如圖，△ABC≌△ADE且BC、DE交于點O，連接BD、CE，則下列四個結論：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE，其中一定成立的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)全等三角形的性質判斷即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，但不能得出DB＝CE，故選：C．【點評】此題考查了全等三角形的性質．找到全等三角形的對應邊和對應角是解此題的關鍵．2．（2023?合肥一模）已知：△ABC中，AD是中線，點E在AD上，且CE＝CD，∠BAD＝∠ACE．則的值為（）A． B． C． D．【分析】先利用等腰三角形的性質及外角與內角的關系說明∠B＝∠DAC，再判斷△ABC∽△DAC，利用相似三角形的性質用CE表示出AC，最后代入比例得結論．【解答】解：∵AD是AC邊上的中線，∴2CD＝BC．∵CE＝CD，∴∠ADC＝∠CED．∴∠DAC+∠ACE＝∠B+∠BAD．∵∠BAD＝∠ACE，∴∠B＝∠DAC．又∵∠ACD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAC．∴．∴AC2＝BC?CD＝2CD2＝2CE2．∴AC＝CE．＝＝．故選：B．【點評】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、三角形外角與內角的關系等知識點是解決本題的關鍵．3．（2022?瑤海區(qū)三模）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，連接CC'，將CC′沿C′B′方向平移至EB'，連接BE，若CC'＝，則BE的長為（）A．1 B． C． D．2【分析】連接BB′，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得＝，再利用相似三角形的性質可得＝，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，從而利用等式的性質可得∠BAB′＝∠CAC′，進而可證△BAB′∽△CAC′，然后利用相似三角形的性質可得∠BB′A＝∠CC′A，＝＝，再利用平移的性質可得CC′∥B′E，＝＝，從而利用平行線的性質可得∠BB′E＝30°，最后證明△BCA∽△BEB′，從而可得∠BEB′＝90°，進而在Rt△BEB′中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【解答】解：連接BB′，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，∴cos30°＝＝，∵△ABC∽△AB'C'，∴＝，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，∴∠BAC+∠CAB′＝∠B′AC′+∠CAB′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∴△BAB′∽△CAC′，∴∠BB′A＝∠CC′A，＝＝，由平移得：CC′＝B′E＝，CC′∥B′E，∴＝＝，∵CC′∥B′E，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠BB′A+∠BB′E＝180°，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠CC′A+∠BB′E＝180°，∴∠AC′B′+∠AB′C′+∠BB′E＝180°，∵∠AC′B′＝90°，∠B′AC′＝30°，∴∠AB′C′＝90°﹣∠B′AC′＝60°，∴∠BB′E＝30°，∴∠BB′E＝∠CAB＝30°，∴△BCA∽△BEB′，∴∠BEB′＝∠ACB＝90°，∴BE＝B′E?tan30°＝×＝，故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，平移的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．4．（2021秋?鳳陽縣期末）如圖，點P在△ABC的邊AC上，若要判定△ABP∽△ACB，則下列添加的條件不正確的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，逐項判斷即可．【解答】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，A、當∠ABP＝∠C時，滿足兩組角對應相等，可判斷△ABP∽△ACB，故A不符合題意；B、當∠APB＝∠ABC時，滿足兩組角對應相等，可判斷△ABP∽△ACB，故B不符合題意；C、當＝時，滿足兩邊對應成比例且夾角相等，可判斷△ABP∽△ACB，故C不符合題意；D、當＝時，其夾角不相等，則不能判斷△ABP∽△ACB，故D符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵，即在兩個三角形中，滿足三邊對應成比例、兩邊對應成比例且夾角相等或兩組角對應相等，則這兩個三角形相似．二．填空題（共2小題）5．（2020秋?蚌埠月考）如圖，△ABC≌△ADE且BC、DE交于點O，連接BD、CE，則下列四個結論①BC＝DE；②∠ABC＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有①②③．【分析】由全等三角形的性質依次判斷即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC∴∠BAD＝∠CAE故答案為：①②③【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，靈活運用全等三角形的性質是本題的關鍵．6．（2022?安徽模擬）在數(shù)學探究活動中，小明進行了如下操作：如圖，將兩張等腰直角三角形紙片ABC和CDE如圖放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分別與AB邊相交于M、N兩點．請完成下列探究：（1）若AC＝2，則AN?BM的值為4；（2）過M作MF⊥AC于F，若＝，則的值為．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質可得∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，可得∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，即可證明△ACN∽△BMC，可得＝，即可求解；（2）過點C作CG⊥AB于點G，可得∠CGN＝∠CFM＝90°，由等腰直角三角形的性質可得∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，從而可得∠NCG＝∠MCF，可證得△GCN∽△FCM，可得＝＝，設CG＝4k，則CF＝5k，AC＝4k，即可求解＝．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE為等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，BC＝AC＝2，∵∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，∴∠ACN＝∠BMC，∴△ACN∽△BMC，∴＝，∵BC＝AC＝2，∴AN?BM＝AC?BC＝4，故答案為：4；（2）如圖，過點C作CG⊥AB于點G，∵MF⊥AC，∴∠CGN＝∠CFM＝90°，∵∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，∴∠NCG＝∠MCF，∴△GCN∽△FCM，∵＝，∴＝＝，設CG＝4k，則CF＝5k，AC＝4k，∴＝，故答案為：．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是利用圖形找到相似三角形，熟練運用相似三角形的性質．三．解答題（共6小題）7．（2021?瑤海區(qū)校級開學）已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．【分析】先利用△ABD∽△ACE得到，再利用比例性質得，加上∠DAE＝∠BAC，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得到結論．【解答】證明：∵△ABD∽△ACE，∴，∴，而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC．【點評】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；也考查了相似三角形的性質．8．如圖，已知：，求證：AB?CE＝AC?BD．【分析】根據(jù)相似三角形的判定由得到△ABC∽△ADE，則∠BAC＝∠DAE，于是有∠BAD＝∠CAE，由＝得到＝，于是可判斷△ABD∽△ACE，利用相似比即可得到結論．【解答】證明：∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵＝，即＝，∴△ABD∽△ACE，∴AB：AC＝BD：CE，即AB?CE＝AC?BD．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：如果兩個三角形的三條對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且它們所夾的角也相等，那么這兩個三角形相似；相似三角形對應角相等，對應邊的比相等．9．（2017秋?禹會區(qū)校級期中）如圖，已知△ABD∽△ACE，求證：△ABC∽△ADE．【分析】根據(jù)相似三角形對應角相等、對應邊相等的性質可得∠BAC＝∠DAE，＝，即可求證△ABC∽△ADE．即可解題．【解答】證明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，＝．∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵＝．∴△ABC∽△ADE．【點評】本題考查了相似三角形對應角相等、對應邊比值相等的性質，考查了相似三角形的判定，本題中求證∠BAC＝∠DAE是解題的關鍵．10．（2023?亳州二模）如圖1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求證：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，試判斷△ADE的形狀，并說明理由；（2）如圖2，旋轉△ADE，使點D落在邊BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求證：CE⊥BC．【分析】（1）①根據(jù)兩個角相等可得△ABD∽△ACE，得，再根據(jù)∠BAC＝∠DAE，可證明結論；②由①知，當AB＝AC時，AD＝AE，則△ADE是等腰三角形；（2）同理證明△BAD∽△CAE，得∠B＝∠ACE，再利用直角三角形的兩個銳角互余，即可證明結論．【解答】（1）①證明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE，∴，即，又∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；②解：△ADE是等腰三角形，理由如下：由①知，，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；（2）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∴，∴，又∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴CE⊥BC．【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，直角三角形的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．11．（2021秋?當涂縣校級期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內部一點，∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：AC＝PC．【分析】（1）先由三角形的內角和定理及等腰直角三角形的性質得到∠PAB＝∠PCB，再利用相似三角形的判定定理得結論；（2）由（1）△PAB∽△PBC，利用相似三角形的性質得到PA與PC的關系，再說明△PAC是直角三角形，最后由勾股定理得結論．【解答】證明：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，AB＝BC．∵∠APB＝135°，∠ABC＝45°，∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝45°，∠PBA+∠PBC＝45°，∴∠PAB＝∠PCB．又∵∠APB＝∠BPC，∴△PAB∽△PBC．（2）∵△PAB∽△PBC，∴＝＝＝．∴PB＝PC，PA＝PB．∴PA＝2PC．∵∠APB+∠BPC+∠APC＝360°，∠APB＝∠BPC＝135°，∴∠APC＝90°．∴AC＝＝＝PC．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理及三角形的內角和定理是解決本題的關鍵．12．（2020?蕪湖三模）（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點B，D，E在同一條直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關系為BD＝CE；②∠BEC＝60°．（2）（類比探究）如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，點B，D，E在同一條直線上，請判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關系及∠BEC的度數(shù)，并給出證明．（3）（解決問題）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E，AE＝3，將△ADE繞點A旋轉，當DE所在直線經(jīng)過點B時，CE的長是多少？（直接寫出答案）【分析】（1）首先根據(jù)△ACB和△DAE均為等邊三角形，可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，據(jù)此判斷出∠BAD＝∠CAE，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ABD≌△ACE，即可判斷出BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，進而判斷出∠BEC的度數(shù)為60°即可；（2）首先根據(jù)△ACB和△ADE均為等腰直角三角形，可得AC＝BC，DE＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，進而利用相似三角形的判定和性質解答即可；（3）