專題16二元一次方程的整數(shù)解及其應(yīng)用

專題16二元一次方程的整數(shù)解及其應(yīng)用【例題講解】閱讀下列材料，解答下面的問題：我們知道方程有無數(shù)個(gè)解，但在實(shí)際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．例：由，得：（、為正整數(shù)）．要使為正整數(shù)，則為正整數(shù)，可知：為3的倍數(shù)，從而，代入．所以的正整數(shù)解為．問題：(1)請(qǐng)你直接寫出方程的正整數(shù)解___________．(2)若為自然數(shù)，則求出滿足條件的正整數(shù)的值．(3)關(guān)于，的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)的值．【詳解】（1）解：∵，∴，解得：，∵、為正整數(shù)，∴是3的倍數(shù)，且，∴0＜y＜4，∴y=1，∴方程的正整數(shù)解為；故答案為：（2）解：∵為自然數(shù)，x為正整數(shù)，∴x2取6或3或2或1，∴x取8或5或4或3；（3）解：解方程組得：，∵方程組的解是正整數(shù)，∴8是的倍數(shù)，∴4k=8或4或2或1，∴k取4或0或2或3，當(dāng)k=4時(shí)，，符合題意；當(dāng)k=0時(shí)，，符合題意；當(dāng)k=2時(shí)，，符合題意；當(dāng)k=3時(shí)，，不符合題意；綜上所述，整數(shù)的值為4或0或2．【綜合解答】1．為安置50名培訓(xùn)人員入住，需要同時(shí)租用6人間和4人間兩種客房，若每個(gè)房間都住滿，則租房方案共有（）A．4種 B．5種 C．6種 D．7種【答案】A【分析】設(shè)租用x間6人間，租用y間4人間，根據(jù)參加培訓(xùn)的共50人，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，再結(jié)合x，y均為正整數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)租用x間6人間，租用y間4人間，依題意，得：，∴．又∵x，y均為正整數(shù)，∴或或或，∴共有4種租房方案．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．2．方程的正整數(shù)解有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】A【分析】先將方程化為，再根據(jù)均為正整數(shù)進(jìn)行分析即可得．【詳解】解：方程可化為，∵，均為正整數(shù)，∴，且是的倍數(shù)，，且為偶數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，即方程的正整數(shù)解為，共有1組，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，熟練掌握方程的解法是解題關(guān)鍵．3．在“雙減”政策下，王老師把班級(jí)里43名學(xué)生分成若干小組，每組只能是4人或5人，則分組方案有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】A【分析】設(shè)可以分成x組4人組，y組5人組，根據(jù)各組的人數(shù)之和為43人，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，結(jié)合x，y均為自然數(shù)，即可得出共有2種分組方案．【詳解】解：設(shè)可以分成x組4人組，y組5人組，依題意得：，∴．又∵x，y均為自然數(shù)，∴或，∴共有2種分組方案．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．4．嘉琪購買鉛筆和鋼筆兩種筆共用去18元，已知鋼筆4元/個(gè)，鉛筆2元/個(gè)，有（

）種購買方案．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用二元一次方程的解法進(jìn)而分別代入正整數(shù)求出即可．【詳解】解：設(shè)購買鋼筆x個(gè)，鉛筆y個(gè)，由題意可得：4x+2y=18，化簡(jiǎn)得：2x+y=9，當(dāng)x=1時(shí)，y=7，當(dāng)x=2時(shí)，y=5，當(dāng)x=3時(shí)，y=3，當(dāng)x=4時(shí)，y=1，故符合題意的有4種．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．某地突發(fā)地震，為了緊急安置名地震災(zāi)民，需要搭建可容納人或人的帳篷，若所搭建的帳篷恰好既不多也不少能容納這名災(zāi)民，則不同的搭建方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出滿足題意的方程，求方程的非負(fù)整數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)搭建可容納人的帳篷個(gè)，可容納人的帳篷個(gè)，依題意得：，又，均為自然數(shù)，或或或，不同的搭建方案有種．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程解個(gè)數(shù)的求解，熟練掌握二元一次方程解得定義是解題的關(guān)鍵．6．方程的非負(fù)整數(shù)解有（

）A．無數(shù)個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】B【分析】把y看做已知數(shù)表示出x，確定出方程的非負(fù)整數(shù)解即可．【詳解】解：方程x+2y=5，解得：x=2y+5，當(dāng)y=0時(shí)，x=5；y=1時(shí)，x=3；y=2時(shí)，x=1，則方程的非負(fù)整數(shù)解有3個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將一個(gè)未知數(shù)看做已知數(shù)表示出另一個(gè)未知數(shù)．7．關(guān)于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整數(shù)解有（

）組．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】將y看作已知數(shù)，求出x，即可確定出方程的正整數(shù)解．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則方程的正整數(shù)解有3對(duì)．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將y看作已知數(shù)，表示出x．8．班級(jí)要用40元錢買A、B兩種型號(hào)的口罩，兩種型號(hào)口罩必須都買，已知A型口罩每個(gè)6元，B型口罩每個(gè)4元，在錢全部用盡的情況下，購買方案有(

)A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】B【分析】設(shè)可以買個(gè)型口罩，個(gè)型口罩，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為正整數(shù)，即可得出購買方案的個(gè)數(shù)．【詳解】解：設(shè)可以買個(gè)型口罩，個(gè)型口罩，依題意得：，∴，又，均為正整數(shù)，∴或或.∴共有種購買方案．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用二元一次方程解決實(shí)際問題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．9．為迎接2022年北京冬奧會(huì)，清華附中初二級(jí)部開展了以“綠色冬奧，人文冬奧，科技冬奧”為主題的演講比賽，計(jì)劃拿出240元錢全部用于購買獎(jiǎng)品，獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)勝者，已知一等獎(jiǎng)品每件15元，二等獎(jiǎng)品每件10元，則兩種獎(jiǎng)項(xiàng)齊全的購買方案有（

）A．6種 B．7種 C．8種 D．9種【答案】B【分析】設(shè)購買x件一等獎(jiǎng)品，y件二等獎(jiǎng)品，由題意：現(xiàn)計(jì)劃拿出240元錢全部用于購買獎(jiǎng)品，已知一等獎(jiǎng)品每件15元，二等獎(jiǎng)品每件10元，列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)購買x件一等獎(jiǎng)品，y件二等獎(jiǎng)品，由題意得：15x+10y=240，∴，又∵x，y均為正整數(shù)，∴或或或或或或，∴購買方案有7種，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．10．二元一次方程的正整數(shù)解有（

）A．一個(gè) B．二個(gè) C．三個(gè) D．無數(shù)多個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)題意，可求0＜y＜2，即可求解．【詳解】解：2x+5y＝11中，∵方程的解為正整數(shù)，∴0＜y＜2，∴y＝1，x＝3，是方程的唯一正整數(shù)解，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解，熟練掌握二元一次方程的解與二元一次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．二元一次方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】把x看作已知數(shù)求出y，即可確定出方程的正整數(shù)解．【詳解】解：方程2x＋y＝7，解得：y＝?2x＋7，若x＝1時(shí)，y＝5；x＝2時(shí)，y＝3；x＝3時(shí)，y＝1，則方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將x看作已知數(shù)求出y．12．二元一次方程的整數(shù)解有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)二元一次方程的解的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵對(duì)于任意一個(gè)整數(shù)y，都有一個(gè)整數(shù)x與之對(duì)應(yīng)，∴方程的解有無數(shù)個(gè)，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．13．二元一次方程3x+y＝8的非負(fù)整數(shù)解共有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)【答案】B【分析】由題意，令x＝0，x＝1，x＝2分別求出y＝8，y＝5，y＝2，即可求解．【詳解】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝8，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝5，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2，∴方程的非負(fù)整數(shù)解為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解，根據(jù)題意，對(duì)x的取值進(jìn)行討論，從而確定二元一次方程的解是解題關(guān)鍵．三、填空題14．鳳翔中學(xué)準(zhǔn)備了270元活動(dòng)經(jīng)費(fèi)用于購買即將到來的校園歌手大賽獎(jiǎng)品，現(xiàn)有兩種筆袋可選，甲每個(gè)24元，乙每個(gè)30元，現(xiàn)經(jīng)費(fèi)正好全部用完，那么有_____種購買方案．【答案】2##兩【分析】設(shè)購買甲x個(gè)，購買乙y個(gè)，根據(jù)題意有：，且x、y為正整數(shù)，即有，根據(jù)x、y為正整數(shù)即可求解．【詳解】設(shè)購買甲x個(gè)，購買乙y個(gè)，根據(jù)題意有：，且x、y為正整數(shù)，則有，且x、y為正整數(shù)，當(dāng)x=5時(shí)，y=5，當(dāng)x=10時(shí)，y=1，即第一種方案：購買甲5個(gè)，購買乙5個(gè)；第二種方案：購買甲10個(gè)，購買乙1個(gè)；即有兩種購買方案，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了求解二元一次方程的正整數(shù)的解的應(yīng)用，明確題意列出二元一次方程，并變形得到是解答本題的關(guān)鍵．15．二元一次方程3x+y=9的所有正整數(shù)解有______組．【答案】2【分析】把y看作已知數(shù)求出x，即可確定出正整數(shù)解．【詳解】解：方程3x+y=9，解得：x=3，當(dāng)y=3時(shí)，x=2；y=9時(shí)，x=1；則方程的正整數(shù)解為2組，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程和二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是將y看作已知數(shù)求出x．16．寫出方程x=3y的一個(gè)整數(shù)解______．【答案】（答案不唯一）【分析】先給y一個(gè)整數(shù)值，再確定x的值即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，有，∴是方程的一個(gè)整數(shù)解；故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解，先給出未知數(shù)的一個(gè)整數(shù)值，再確定另一個(gè)的值是解題的關(guān)鍵．17．小穎在我國(guó)數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》看到一道題：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾??？”她依據(jù)本題編寫了一道新題目：“大、小和尚分一百個(gè)饅頭，大和尚每人吃三個(gè)，小和尚三人吃一個(gè)，問大、小和尚各多少人？”寫出一組能夠按照新題目要求分完一百個(gè)饅頭的和尚人數(shù)：大和尚______人，小和尚______人．【答案】

20

120【分析】設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，根據(jù)“大、小和尚分一百個(gè)饅頭，大和尚每人吃三個(gè)，小和尚三人吃一個(gè)”列出方程，求得正整數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)大和尚有x人，小和尚有y人，依題意，得3xy＝100．因?yàn)閤、y都是正整數(shù)，所以x＝20，y＝120符合題意．或x＝25，y＝75也符合題意．故答案是：20，120（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系，找出對(duì)應(yīng)量，列方程解答即可．18．方程x+2y=3的非負(fù)整數(shù)解是_________________．【答案】，【分析】先用y表示x，再取非負(fù)整數(shù)解即可．【詳解】解：x＋2y＝3，x＝3?2y，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3；當(dāng)y＝1時(shí)，x＝1，y取其它的非負(fù)整數(shù)得到的x不為非負(fù)整數(shù)，即方程有兩個(gè)非負(fù)整數(shù)解：，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解和等式的性質(zhì)的應(yīng)用，能理解二元一次方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵．19．請(qǐng)寫出滿足方程3y－x＝5的一組整數(shù)解：________．【答案】【分析】假定x的值，代入方程即可解得．【詳解】解：當(dāng)x=2時(shí)，y=1．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的解．20．二元一次方程的正整數(shù)解為________．【答案】【分析】由于要求二元一次方程3x+y=5的正整數(shù)解，則令x=1、2等，然后求出對(duì)應(yīng)的y的值，從而確定方程的正整數(shù)解．【詳解】解：當(dāng)x=1時(shí)，則3×1+y=5，解得y=2；當(dāng)x=2，則3×2+y=5，解得y=1，所以方程3x+y=5的正整數(shù)解為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程：二元一次方程有無數(shù)組解；有些二元一次方程可確定它的特殊解，如正整數(shù)解等．21．關(guān)于x，y的二元一次方程2x＋3y＝12的非負(fù)整數(shù)解有______組．【答案】3【分析】把x看做已知數(shù)表示出y，確定出非負(fù)整數(shù)x與y的值即．【詳解】解：方程2x+3y=12，解得：y=x+4，當(dāng)x=0時(shí)，方程變形為3y=12，解得y=4；當(dāng)x=3時(shí)，方程變形為6+3y=12，解得y=2；當(dāng)x=6時(shí)，方程變形為12+3y=12，解得y=0；∴關(guān)于x，y的二元一次方程2x+3y=12的非負(fù)整數(shù)解有3組：、和．故答案為3【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的解，用x表示出y是解本題的關(guān)鍵．四、解答題22．某校七年級(jí)為了開展球類興趣小組，需要購買一批足球和籃球，若購買2個(gè)足球和3個(gè)籃球需220元；若購買4個(gè)足球和2個(gè)籃球需280元．(1)求出足球和籃球的單價(jià)分別是多少？(2)已知該年級(jí)決定用800元購進(jìn)兩種球，若兩種球都要有，請(qǐng)問有幾種購買方案，并請(qǐng)加以說明．【答案】(1)足球的單價(jià)為50元，籃球的單價(jià)為40元；(2)有三種購買方案，方案1：購進(jìn)4個(gè)足球，15個(gè)籃球；方案2：購進(jìn)8個(gè)足球，10個(gè)籃球；方案3：購進(jìn)12個(gè)足球，5個(gè)籃球．【分析】（1）設(shè)足球的單價(jià)為x元，籃球的單價(jià)為y元，根據(jù)“若購買2個(gè)足球和3個(gè)籃球需220元；若購買4個(gè)足球和2個(gè)籃球需280元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買m個(gè)足球，n個(gè)籃球，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，再結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．（1）解：設(shè)足球的單價(jià)為x元，籃球的單價(jià)為y元，依題意，得：，解得：，答：足球的單價(jià)為50元，籃球的單價(jià)為40元；（2）設(shè)購買m個(gè)足球，n個(gè)籃球，依題意，得：50m＋40n＝800，解得：n∵m，n均為正整數(shù)，∴當(dāng)m＝4時(shí)，n＝15；當(dāng)m＝8時(shí)，n＝10；當(dāng)m＝12時(shí)，n＝5；∴有三種購買方案，方案1：購進(jìn)4個(gè)足球，15個(gè)籃球；方案2：購進(jìn)8個(gè)足球，10個(gè)籃球；方案3：購進(jìn)12個(gè)足球，5個(gè)籃球．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．23．綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}情境：我們知道：任何一個(gè)二元一次方程都有無數(shù)個(gè)解，但在實(shí)際問題中，我們常常只需要知道二元一次方程的正整數(shù)解即可，數(shù)學(xué)課上，王老師給出如下問題：有12個(gè)同學(xué)去公園劃船，共有兩種型號(hào)的船只，小船一只可乘2人，大船一只可乘3人，若同時(shí)租用兩種船只，問應(yīng)租用幾只小船，幾只大船？思路引導(dǎo)：設(shè)需要x只小船，y只大船，由題意可得：2x+3y＝12，只要找到這個(gè)二元一次方程的正整數(shù)解即可．解法示范：設(shè)需要x只小船，y只大船，由題意可得：2x+3y＝12，∴，∵x，y均為正整數(shù)，∴，解得：0＜y＜4，又∵為正整數(shù)，∴y只能為2的倍數(shù)，∴y＝2，代入得x＝3，∴方程2x