專題14為什么我們喜歡手拉手-利用旋轉(zhuǎn)相似求軌跡類最值（瓜豆最值）原卷版-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊?？碱}專練（北師大版）

專題14為什么我們喜歡手拉手——利用旋轉(zhuǎn)相似求軌跡類最值（瓜豆最值）導(dǎo)語：隨著動點軌跡類問題在近幾年中考中反復(fù)出現(xiàn)，這類題型已經(jīng)不再神秘，動點軌跡問題又稱瓜豆原理,這是屬于較難的幾何軌跡問題,需要大家深入理解其中的解題思路。題型一構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似求線段的最小值1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，為直線上一動點，連接，以為斜邊向下作，，，連接，則的最小值為．2．如圖，正方形的邊長為4，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為．3．如圖，中，，，于，點是線段上的一個動點，以點為直角頂點向下作等腰直角，連接，則的最小值為．4．如圖，等邊的邊長為4，點是邊上的一動點，連接，以為斜邊向上作等腰，連接，則的最小值為A．1 B． C．2 D．5．如圖，在中，，，，的頂點在上運動，且，，為線段的中點，連接，在點運動過程中，線段長的最小值為．6．如圖，在矩形中，，，是對角線上的動點，連接，將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)使，且過作，連接，則最小值為．

7．如圖，在以為原點的直角坐標(biāo)系中，已知：點，點為直線上一動點，連接，以為一邊向下作等邊，連接，則的最小值．8．在中，，，于點，是線段上的一個動點，以點為直角的頂點，向上作等腰直角三角形，連接，若在點的運動過程中，的最小值為3，則的長為．9．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點，點為軸正半軸上一動點，連接，以為一邊向下作等邊，連接，則的最小值為．

10．如圖在中，，，．是上一動點，以為斜邊向右側(cè)作等腰，使，連接，則線段的最小值為．11．（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，正方形的兩邊分別在正方形的邊和上，連接．填空：①線段與的數(shù)量關(guān)系為；②直線與所夾銳角的度數(shù)為．（2）【拓展探究】如圖②，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖②進行說明．）【解決問題】如圖③，和都是等腰直角三角形，，，為的中點．若點在直線上運動，連接，則在點的運動過程中，線段長的最小值為（直接寫出結(jié)果）．

12．如圖，正方形中，，是邊的中點，點是正方形內(nèi)一動點，，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，．（1）求證：；（2）若，，三點共線，連接，求線段的長．（3）求線段長的最小值．二．利用旋轉(zhuǎn)相似求路徑問題（共4小題）13．如圖，在矩形中，，，點是對角線上的一個動點，連接，以為斜邊作的直角三角形，使點和點位于兩側(cè)，點從點到點的運動過程中，點的運動路徑長是．14．如圖，已知點，，，動點在線段上，點、、按逆時針順序排列，且，，當(dāng)點從點運動到點時，則點運動的路徑長為．15．在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學(xué)探究活動．（1）是邊長為3的等邊三角形，是邊上的一點，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1．求的長；（2）是邊長為3的等邊三角形，是邊上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2．在點從點到點的運動過程中，求點所經(jīng)過的路徑長；（3）是邊長為3的等邊三角形，是高上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3．在點從點到點的運動過程中，求點所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形的邊長為3，是邊上的一個動點，在點從點到點的運動過程中，小亮以為頂點作正方形，其中點、都在直線上，如圖4．當(dāng)點到達點時，點、、與點重合．則點所經(jīng)過的路徑長為，點所經(jīng)過的路徑長為．

16．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，和均為等邊三角形，直線和直線交于點．填空：①的度數(shù)是；②線段，之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）類比探究如圖2，和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點．請判斷的度數(shù)及線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點坐標(biāo)為，點為軸上任意一點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，請直接寫出的最小值．題型二利用旋轉(zhuǎn)相似求路徑問題13．如圖，在矩形中，，，點是對角線上的一個動點，連接，以為斜邊作的直角三角形，使點和點位于兩側(cè)，點從點到點的運動過程中，點的運動路徑長是．14．如圖，已知點，，，動點在線段上，點、、按逆時針順序排列，且，，當(dāng)點從點運動到點時，則點運動的路徑長為．15．在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學(xué)探究活動．（1）是邊長為3的等邊三角形，是邊上的一點，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1．求的長；（2）是邊長為3的等邊三角形，是邊上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2．在點從點到點的運動過程中，求點所經(jīng)過的路徑長；（3）是邊長為3的等邊三角形，是高上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3．在點從點到點的運動過程中，求點所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形的邊長為3，是邊上的一個動點，在點從點到點的運動過程中，小亮以為頂點作正方形，其中點、都在直線上，如圖4．當(dāng)點到達點時，點、、與點重合．則點所經(jīng)過的路徑長為，點所經(jīng)過的路徑長為．

16．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，和均為等邊三角形，直線和直線交于點．填空：①的度數(shù)是；②線段，之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）類比探究如圖2，和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點．請判斷的度數(shù)及線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點坐標(biāo)為，點為軸上任意一點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，請直接寫出的最小值．題型三旋轉(zhuǎn)相似求值17．如圖，在中，，，，的頂點在上運動，且，，為線段的中點，連接，當(dāng)時，線段的長為．

18．如圖，在和中，，，點在邊上，與相交于點，，則．19．（1）問題背景：如圖1，，，，求證：；（2）嘗試應(yīng)用：如圖2，為正方形外一點，，過點作，垂足為，連接．求的值；（3）拓展創(chuàng)新：如圖3，四邊形是正方形，點是線段上一點，以為對角線作正方形，連接，．當(dāng)，時，則的長為．

20．已知在中，為邊的中點，連