專題08橢圓中最值范圍五種考法

專題08橢圓中最值范圍五種考法目錄TOC\o"13"\h\z\u解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 1類型一、線段最值……………………1類型二、面積最值 4類型三、一元參數(shù)范圍 8類型四、二元參數(shù)范圍 11類型五、與其他章節(jié)融合……………13壓軸能力測(cè)評(píng)（10題） 181.求最值及問(wèn)題常用的兩種方法：（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法：題中所給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值，求函數(shù)的最值常見(jiàn)的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等。2.求范圍及問(wèn)題常用的兩種方法：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．類型一、線段最值與范圍例．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與交于P，Q兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與圓相切，且與交于不同的兩點(diǎn)R，S，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由的周長(zhǎng)結(jié)合橢圓的定義得出，再由的關(guān)系求出，進(jìn)而得出橢圓的方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切，得，再聯(lián)立方程組，由弦長(zhǎng)公式求最值.【詳解】（1）因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為8，所以，解得，焦距為，，所以，所以橢圓E的方程為．（2）由（1）可知圓，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，為或，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，同理，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，則，設(shè)，聯(lián)立橢圓于直線方程，消元得，所以，由，得,,令，則，由，所以當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以.【變式訓(xùn)練1】現(xiàn)有一“v”型的擋板如圖所示，一橢圓形物件的短軸頂點(diǎn)被固定在A點(diǎn)．物件可繞A點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．AP間距離可調(diào)節(jié)且與兩側(cè)擋板的角度固定為60°．已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為2．

，在某個(gè)角度固定橢圓，則當(dāng)橢圓不超過(guò)擋板時(shí)AP間距離最短為多少；【答案】【詳解】由題意，如圖，該橢圓的方程為，，分別為橢圓的2條切線，切點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率分別為.設(shè)，當(dāng)時(shí)，其中1個(gè)不存在，另1個(gè)趨于；當(dāng)時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線為，，所以，整理，得，①由是方程①的2個(gè)實(shí)根，得，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在圓的外部，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在圓的內(nèi)部，則，此時(shí)，所以.又或，所以或，整理，得或.要求的最小值，只需考慮為鈍角的情況，即且，得.令，則且，即，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.故，得.綜上，的最小值為.類型二、面積最值與范圍例．是橢圓的右焦點(diǎn)，其中.點(diǎn)、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，圓過(guò)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，且的周長(zhǎng)小于.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)連接與圓交于點(diǎn)，若與交于點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得出，由橢圓的定義結(jié)合三點(diǎn)共線可得出的周長(zhǎng)小于，可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可求得，即可求得、的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，可得出，求出點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可得出關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)，.設(shè)的左焦點(diǎn)為，則的周長(zhǎng)，所以，，則，且，故，所以，，.因此，橢圓的坐標(biāo)方程為.（2）解：設(shè)，其中，其中，且，直線的斜率為，所以，直線的方程為，同理可知直線的方程為，又，所以，直線的方程為.聯(lián)立直線、的方程，可得，解得，聯(lián)立直線、的方程，可得，解得.所以，.【變式訓(xùn)練1】如圖，已知圓的左頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線軸時(shí)，.(1)求橢圓C的方程；(2)記的面積分別為，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)得，再由通徑長(zhǎng)得，從而得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程為，設(shè)，，直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，求出的范圍，解不等式得的范圍，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）由已知，當(dāng)直線軸時(shí)，是橢圓的通徑，所以，，橢圓方程為；（2）由（1）得，即，由題意直線斜率不可能為0，設(shè)直線方程為，設(shè)，由得，，，，時(shí)，，，時(shí)，，記，顯然，則，解得，，綜上，，所以【變式訓(xùn)練2】已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，以為直徑的圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，若三角形的面積為1，其內(nèi)切圓的半徑為．(1)求橢圓的方程；(2)已知A是橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，直線分別與軸交于，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)三角形的面積及內(nèi)切圓的半徑列出方程組求得得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，，寫出直線的方程求出的坐標(biāo)，并求出，，將表示為的函數(shù)，使用基本不等式求最大值.【詳解】（1）由題意知，則，又，則，又，解得，所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，可得，則，直線的方程：，所以，同理，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為4．類型三、一元參數(shù)范圍例．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．若橢圓C上存在點(diǎn)E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求m的取值范圍．【答案】【分析】設(shè)，，則，結(jié)合平行四邊形OAED，可得，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理可得，．進(jìn)而得到，從而求解.【詳解】設(shè)，，則．四邊形OAED為平行四邊形，，．點(diǎn)A，B，E均在橢圓C上，，，．，．．由消去y，得．顯然．，．．，因?yàn)椋?，即，所以，即，【變式?xùn)練1】已知橢圓，傾斜角為的直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，且（其中A為右頂點(diǎn)）.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程組，即可求橢圓方程；（2）討論直線的斜率不存在和存在兩種情況，聯(lián)立方程，將向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，并利用韋達(dá)定理消元整理，并根據(jù)，求解.【詳解】（1）由題可知解得故橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，，由，，得，同理，當(dāng),時(shí)，得，所以，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，即時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去y得.因?yàn)橹本€l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P、Q，所以，即①.設(shè)，則②，則，由，得③，③代入②得，化簡(jiǎn)整理得④，將④代入①得，化簡(jiǎn)得，解得或.綜上，m的取值范圍為【變式訓(xùn)練2】已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的面積為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍.【答案】(1)(2)（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}【分析】（Ⅰ）根據(jù)題目條件，由橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱性計(jì)算的面積，建立等式關(guān)系，結(jié)合關(guān)系式，離心率計(jì)算公式，問(wèn)題可得解；（Ⅱ）由題意，可分直線是否過(guò)原點(diǎn)，對(duì)截距進(jìn)行分類討論，再利用橢圓對(duì)稱性、向量共線、直線與橢圓有交點(diǎn)等性質(zhì)、條件進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】（Ⅰ）根據(jù)已知橢圓的焦距為，當(dāng)時(shí)，，由題意的面積為，由已知得，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）若，則，由橢圓的對(duì)稱性得，即，∴能使成立．若，由，得，因?yàn)?，，共線，所以，解得．設(shè)，，由得，由已知得，即，且，，由，得，即，∴，∴，即．當(dāng)時(shí)，不成立，∴，∵，∴，即，∴，解得或．綜上所述，的取值范圍為．類型四、二元參數(shù)范圍例．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)位于軸上方），記直線的斜率分別為，求的最小值.【答案】(1);(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義直接求解即可；（2）設(shè)直線，，，將橢圓方程與直線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解即可.【詳解】（1）由于橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為橢圓上，且，所以根據(jù)橢圓定義可知，，則，所以橢圓的方程為：.（2）由題意可知直線斜率不為0，設(shè)直線，，，聯(lián)立可得，則得，，所以，由于點(diǎn)位于軸上方，所以均大于，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．【變式訓(xùn)練1】已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，M是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：由題意可得，，，設(shè).表示出，然后根據(jù)橢圓的范圍即可求出范圍；解法二：由題意可得，，，設(shè)，取線段AF的中點(diǎn)，可推得，然后根據(jù)橢圓的范圍即可求出范圍.【詳解】解法一：由題意知，，設(shè).則.因?yàn)椋?，所以，所以．解法二：由題意知，．設(shè)，取線段AF的中點(diǎn)N，則，連接MN.則.因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：D．類型五、與其他章節(jié)融合例．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，線段的中垂線與x軸的交點(diǎn)為N，則的正切值的最大值為.【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示，求得，利用到角公式可得答案.【詳解】由已知得直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為所以得，設(shè)，所以，，，則，，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，，不合題意故答案為：.【變式訓(xùn)練1】已知點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作垂直于x軸的直線l，若直線l上存在點(diǎn)P滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)，由求出，結(jié)合正切的差角公式及基本不等式求得，解不等式即可求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，其中，右頂點(diǎn)為，由，則，，又由，有，又由，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，整理為，可得，解得．故答案為：.【變式訓(xùn)練2】已知橢圓的離心率是雙曲線的離心率的倒數(shù)，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，且.(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)時(shí)，設(shè)，求的取值范圍.【答案】(1);(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積得到關(guān)系式，結(jié)合離心率以及求解出，則橢圓方程可求；（2）設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)向量共線表示出對(duì)應(yīng)坐標(biāo)關(guān)系，再利用點(diǎn)差法結(jié)合已知坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)從而得到關(guān)于的表示，根據(jù)橢圓的有界性可求的范圍.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，所以，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，則依據(jù)得，整理得，又，故，得，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即重合，顯然不成立，所以，所以，即，又，得，又，故，且，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式訓(xùn)練3】已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，Z的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)若，，過(guò)F的直線交C于，兩點(diǎn)，且平分，求直線的方程.【答案】(1);(2)【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)題意建立等式求解即可；（2）設(shè)直線，根據(jù)題意直線與曲線聯(lián)立方程求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，整理得，即C的方程為.（2）由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)，，，聯(lián)立得，，所以，；①由平分知，即，又，則，整理得，代入①式得，所以.所以直線的方程為.1．已知橢圓：，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為5，則的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長(zhǎng)最短，可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．【詳解】由0＜b＜2可知，焦點(diǎn)在x軸上，∵過(guò)F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時(shí)|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選D．2．已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若直線l垂直于x軸，則 B．C．若，則直線l的斜率為 D．若，則【答案】B【分析】求出橢圓E的左焦點(diǎn)，設(shè)出直線l的方程并與橢圓方程聯(lián)立，逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，橢圓的左焦點(diǎn)為，設(shè)，對(duì)于A，軸，直線，由得：，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為，由消去y并整理得：，則，，，顯然，于是得，由選項(xiàng)A知，當(dāng)軸時(shí)，，因此，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)B得，解得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因，有，則，即，而，，同理，則有，即，于是得，因此，D錯(cuò)誤.故選：B3．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】(1)求出橢圓的a、b、c，設(shè)，利用平面數(shù)量積的坐標(biāo)表示和即可求解；(2)設(shè)直線的方程和，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)和為銳角可得，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由題意知，，所以，設(shè)，則，又，有，解得，所以；（2）顯然不滿足題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，，解得，①，則，又為銳角，則，即，，所以，解得，②由①②，解得或，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為故選：C4．（多選）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P、Q都在上，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．周長(zhǎng)的最小值為14B．四邊形可能是矩形C．直線，的斜率之積為定值D．的面積最大值為【答案】ACD【分析】對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一判斷：對(duì)于A：利用橢圓的對(duì)稱性，判斷出PQ為橢圓的短軸時(shí)，周長(zhǎng)最小.即可判斷；對(duì)于B：判斷出，從而四邊形不可能是矩形.即可判斷；對(duì)于C：設(shè)，直接計(jì)算出.即可判斷；對(duì)于D.由的面積為.即可判斷.【詳解】由，可知P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.對(duì)于A.根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，，當(dāng)PQ為橢圓的短軸時(shí)，有最小值6，所以周長(zhǎng)的最小值為14.故A正確；對(duì)于B.因?yàn)?，所以，則，故橢圓上不存在點(diǎn)，使得，又四邊形是平行四邊形，所以四邊形不可能是矩形.故B不正確.對(duì)于C.由題意得，設(shè)，則，所以.故C正確；對(duì)于D.設(shè)的面積為，所以當(dāng)PQ為橢圓的短軸時(shí)，最大，所以.故D正確.故選：ACD.5．（多選）已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為為上異于的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，交軸于點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)，使B．C．的最小值為D．周長(zhǎng)的最大值為8【答案】BCD【分析】對(duì)于A，判斷與的大小即即可；對(duì)于B,設(shè)，，，利用坐標(biāo)分別求出等式左右驗(yàn)證即可；對(duì)于C，求出，利用二次函數(shù)求最值即可；對(duì)于D，利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求的最大值，即可.【詳解】對(duì)于A,設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，則直角三角形中，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)，則，，且，即，又,則，又，故，則B正確；對(duì)于C，，，，則當(dāng)時(shí)，取最小值為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,的周長(zhǎng)為：,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，故D正確，故選：BCD.6．（多選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B是橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，則（

）A．△ABF2的周長(zhǎng)為定值 B．AB的長(zhǎng)度最小值為1C．若AB⊥AF2，則λ=3 D．λ的取值范圍是[1，5]【答案】AC【詳解】因?yàn)?，則三點(diǎn)共線，周長(zhǎng)是定值，A對(duì)．，B錯(cuò)．∵，則，A在上、下頂點(diǎn)處，不妨設(shè)，則解得或，，，，C對(duì)．令消x可得，時(shí)，時(shí)，∴，D錯(cuò)．故選：AC.7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi)，，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，在x軸上任取一點(diǎn)P，直線與直線相交于點(diǎn)Q，則的最大值為_(kāi)______________；【答案】3【詳解】由橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，因?yàn)?，可得，整理得，又因?yàn)?，?lián)立方程組，解得，，所以點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則可得Q點(diǎn)坐標(biāo)為，由，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為.故答案為：38．已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過(guò)點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求的最大值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達(dá)定理法及導(dǎo)數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點(diǎn)M，再由弦長(zhǎng)公式及兩點(diǎn)距離公式表示出，進(jìn)而討論最值.【詳解】（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，此時(shí)切線平行無(wú)交點(diǎn)．故設(shè)直線l：，由，得．，，.不妨設(shè)在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對(duì)應(yīng)方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因?yàn)椋栽O(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值是2．另解：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：，由得，所以，，，橢