第27章相似（中等卷）教師版

20232024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊章節(jié)真題匯編檢測卷（中等）第27章相似考試時間：120分鐘試卷滿分：100分難度：中等一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（本題2分）（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考二模）如圖，與是位似圖形，點O為位似中心，位似比為．若的面積為8，則的面積是（

）

A．15 B．16 C．9 D．18【答案】D【分析】根據(jù)位似比等于三角形的相似比，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)—面積之比等于相似比的平方計算即可．【詳解】解：解：∵與位似，點O為位似中心，相似比為，∴與的面積之比為，∵的面積為8，∴的面積是18，故選：D．【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握面積之比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．（本題2分）（2023·河南駐馬店·駐馬店市第二初級中學(xué)?？级＃┤鐖D，矩形的頂點A，B分別在x軸、y軸上，，，，將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作軸于點．首先證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出點的坐標(biāo)，再探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：如圖，過點作軸于點．，，，，，，，，，，，，，，，矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；

則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個循環(huán)，，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為．故選：C．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．3．（本題2分）（2021春·福建龍巖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，與相交于點．如果，那么等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，得到，，結(jié)合面積比等于相似比平方即可得到答案；【詳解】解：∵，，∴，，∴，故選：A．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比等于相似比的平方．4．（本題2分）（2020秋·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考期中）如圖，各正方形的邊長均為1，則四個陰影三角形中，一定相似的一對是：

A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出4個圖形中的每個三角形的邊長，通過三角形三邊的比是否相等就可以判斷出結(jié)論，從而得出正確答案．【詳解】解：①三邊長為：1，，；②三邊長為：，2，；③三邊長為：1，，；④三邊長為：2，，；則可得①和②三邊成比例，故一定相似的是①和②．故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解答本題需要我們熟練運用勾股定理，掌握相似三角形的判定定理，難度一般．5．（本題2分）（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，和是位似三角形，點是位似中心，且，,則（）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根據(jù)位似圖象的性質(zhì)得出位似比，進(jìn)而得出的長．【詳解】解：，,與位似，點是它們的位似中心，，，的長為2,故選：A．【點睛】本題考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（本題2分）（2023·海南儋州·海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點D，交于點E，分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，連接并延長交于點P，若，則線段的長為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先判斷出為的角平分線，再證明，問題即可得解．【詳解】由圖可知為的角平分線，∴．∵，∴．∴．又∵，∴．∴．設(shè)，∵，，∴．解得，即：．故選：D．【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．7．（本題2分）（2023春·天津和平·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，、、分別是邊、、上的點，連接，相交于點，若四邊形是平行四邊形，則下列說法不正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，根據(jù)相似三角形的判定得出，再根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：．四邊形是平行四邊形，，，，，，，故本選項錯誤；B．四邊形是平行四邊形，

，，，，，，故本選項錯誤；C．，，，故本選項正確；D．，，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，能靈活運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．8．（本題2分）（2023秋·重慶·九年級重慶實驗外國語學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點A在函數(shù)，，邊在y軸上，D為的中點，連接并延長交x軸于點E，連接，若，則k的值為（）

A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和對頂角相等得到，證明得到，再根據(jù)三角形的面積公式和反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義得到，進(jìn)而可求解．【詳解】解：∵為的斜邊上的中線，∴，則，又，∴，又，∴，∴，即．又∵，∴，即．∵反比例函數(shù)圖象在第一象限，．∴．故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識與運用，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到線段間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．9．（本題2分）（2023·河南洛陽·統(tǒng)考二模）如圖，中，，頂點在第一象限，點，分別在，軸上，，，．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)后點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是，則旋轉(zhuǎn)的次數(shù)可能是

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】過點作軸于點．首先利用相似三角形的性質(zhì)求出點的坐標(biāo)，再探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，連接．

，，，，，，，，，，即，，，，，矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為；發(fā)現(xiàn)規(guī)律：旋轉(zhuǎn)4次一個循環(huán)，，則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是，故選：C．方法二：點的坐標(biāo)是，點在第一象限，每次旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)4次一個循環(huán)，點的坐標(biāo)是，，則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是，故選：C．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．10．（本題2分）（2022·河北石家莊·校考模擬預(yù)測）如圖，矩形中，，對角線相交于，過點作交于點，為中點，連接交于點，交的延長線于點，下列個結(jié)論：；；≌；；．正確的有（）個．

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】解：根據(jù)斜邊的中線等于斜邊的一半即可判斷①正確；結(jié)合①以及角度互余的關(guān)系可判斷②正確；③連接，先證明，同理：，可得，根據(jù)對應(yīng)角不相等可判斷③錯誤；④設(shè)，即，證明，可得，分別求出，，可判斷④錯誤；⑤利用角的和差關(guān)系證明，結(jié)合矩形的性質(zhì)即有，可判斷⑤正確．【詳解】解：①在中，∵，H為中點，∴，又∵，∴，①正確；②由①可知，，∴，又∵，∴，②正確；③連接，

∵，，∴，同理：，∴，∴根據(jù)對應(yīng)角不相等可知不成立，③錯誤；④設(shè)，即，∴，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴④錯誤；⑤，又，，∴，∴，⑤正確．正確的有3個．故選：C．【點睛】考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定．解答該題的關(guān)鍵是證明等腰三角形，全等三角形．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（本題2分）（2020秋·福建漳州·九年級福建省漳州第一中學(xué)校考期中）如圖，在中，點D為AC上一點，且過點D作交于點E，連接，過點D作交于點F．若，則．.

【答案】/【分析】根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．【詳解】解：∵∴∵∴∵∴∵∴解得：∴故答案為：【點睛】本題考查平行線分線段成比例．找準(zhǔn)比例是解題關(guān)鍵．12．（本題2分）（2020秋·上海嘉定·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，點D、E分別在邊、上，且，如果，那么的長．

【答案】/【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，即，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．13．（本題2分）（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，點D、E分別是邊、上的點，且，，那么．

【答案】【分析】根據(jù)推出，根據(jù)推出，最后根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比等于相似比的平方．14．（本題2分）（2023春·陜西榆林·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為位似中心，將放大后得到．已知點，，則與的面積比是．【答案】【分析】根據(jù)題意求得位似比，根據(jù)相似比等于位似比，面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：∵將放大后得到．點，，∴與的相似比為，則與的面積比是，故答案為：．【點睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，求得位似比是解題的關(guān)鍵．15．（本題2分）（2023秋·陜西榆林·九年級?？计谀┮阎?，與是它們的對應(yīng)中線，如果與的面積比是1∶9，那么為．【答案】/【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵，與的面積比是1∶9，與是它們的對應(yīng)中線，∴∴．故答案為：．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．16．（本題2分）（2023·安徽滁州·?？家荒＃┰诘冗吶切沃?，，、是上的動點，是上的動點，且，連接，；【答案】【分析】證明，利用相似三角形的面積等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（本題2分）（2023春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，和是兩等高的路燈，相距，身高的小明站在兩路燈之間（D、B、F共線），被兩路燈同時照射留在地面的影長，則路燈高度為．

【答案】/6米【分析】證得，那么可得，同理可得，根據(jù)，可求出，再代入相關(guān)數(shù)值，計算可得路燈高度．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，∴，∴，同理可得，∵，∴，∴，∴，即,由得，∴，即路燈高．故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用；利用線段相等得到相關(guān)比例式是解決本題的突破點．18．（本題2分）（2020秋·上海青浦·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形，是的中點，，相交于點，若的面積為，則平行四邊形的面積為

【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可證明，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可求得的面積，又由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，即可求得的面積，繼而求得答案．【詳解】解：四邊形為平行四邊形，且，，，，是的中點，，，，，和為等高三角形，，，，，故答案為：．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．19．（本題2分）（2023秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，和分別為的角平分線和高線，已知，且，，則的長為．

【答案】【分析】在上截取，使，則，設(shè)，，則，．在中，由勾股定理，得，即，得．證明，可得，即，即有．聯(lián)立，解得，即可得，，．在中，．設(shè)點E到直線的距離為h，則，可得．根據(jù)是的角平分線，可得點E到直線的距離為．設(shè)，則．利用，可得，問題隨之得解．【詳解】如圖，在上截取，使，則，

∴．∵，∴．設(shè)，，則，．在中，由勾股定理，得，即，化簡，得．由是的高線，即有，有∵，∴，∴，即，∴．聯(lián)立，解得，∴，∴，，∴．在中，．設(shè)點E到直線的距離為h，則，∴．∵是的角平分線，∴點E到直線的距離為．設(shè)，則．∵，∴，解得或（舍去），∴．【點睛】本題是一道三角形的綜合題，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用等知識，構(gòu)造合理的輔助線，靈活利用三角形的面積，是解答本題的關(guān)鍵．20．（本題2分）（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，為矩形的對角線，平分交于點，為邊的中點，連接分別交，于點，．若，，則線段的長為．

【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)由勾股定理求出，的長，證明，求出，，過點作，于點，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后利用三角形的面積即可解決問題．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，為邊的中點，，，，，，，，，，，，如圖，過點作，于點，，

平分，，，，，，，，線段的長為．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（本題6分）（2022秋·福建莆田·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在網(wǎng)格圖中，每格是邊長為1的正方形，四邊形的頂點均在格點上．

(1)請以點為位似中心，在網(wǎng)格圖中作出四邊形，使四邊形與四邊形位似，且；(2)填空：線段的長為，的面積為．【答案】(1)見解析；(2)；的面積為．【分析】（1）利用位似變換的性質(zhì)分別作出的對應(yīng)點即可；（2）利用勾股定理求得的長，用矩形的面積減去周圍三個直角三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，四邊形即為所求，

（2）線段的長；的面積．【點睛】本題考查了位似變換（作圖），勾股定理以及三角形面積的求解，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)，正確作出圖形．22．（本題6分）（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，在邊長為的正方形網(wǎng)格中，四邊形的四個頂點都落在格點上，小明發(fā)現(xiàn)：兩條分割線，將四邊形分割成的三個三角形都彼此相似含全等請在圖和圖中，各畫一個四邊形，滿足有兩條分割線且將四邊形分割成三個彼此相似的三角形含全等，并在圖中畫出分割線的位置所畫的兩個四邊形不全等．

【答案】見解析【分析】根據(jù)相似三角形的定義作圖即可．【詳解】解：如圖2、3所示．

【點睛】本題主要考查作圖相似變換，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的概念，注意全等三角形是相似三角形的特殊情形．23．（本題8分）（2023秋·陜西西安·九年級?？奸_學(xué)考試）尺規(guī)作圖：如圖，已知，，請用尺規(guī)作圖的方法在上確定一點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）．

【答案】作圖見詳解【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，作的角平分線即可．【詳解】解：如圖所示，作的角平分線交于點，

①以點為圓心，以任意長為半徑畫弧交于點，連接；②分別以點為圓心，以大于為半徑畫弧交于點，連接交于點，則即為的角平分線；∵，平分，∴，且，∴，即．【點睛】本題主要考查角平分線的作圖方法，相似三角形的判定方法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．24．（本題8分）（2022秋·福建福州·九年級?？计谀┤鐖D，已知，，是直角坐標(biāo)系平面上三點．

(1)以原點為位似中心，在第四象限內(nèi)畫出將縮小為原來的一半后的；(2)畫出繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的，并求出線段所掃過的圖形面積．【答案】(1)見解析(2)見解析，線段所掃過的面積為【分析】（1）根據(jù)位似的性質(zhì)，得到各點在第四象限內(nèi)的對應(yīng)點、、，依次連接即可得到；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到各點的對應(yīng)點、、，依次連接即可得到，根據(jù)坐標(biāo)兩點的距離公式，求得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，再利用扇形面積公式，即可求出線段所掃過的圖形面積．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，則線段所掃過的圖形是圓心角為，半徑為的扇形，所以，線段所掃過的面積為：，即線段所掃過的面積為．

【點睛】本題考查了作圖——位似變換以及旋轉(zhuǎn)的變換，坐標(biāo)兩點的距離公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形面積公式，靈活運用相關(guān)知識解決問題是解題關(guān)鍵．25．（本題8分）（2022秋·福建莆田·九年級?？奸_學(xué)考試）若繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后，與構(gòu)成位似圖形，則我們稱與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．

(1)知識理解：如圖①，與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．①若，，，則；②若，，，則；(2)知識運用：如圖②，在四邊形中，，于點，，求證：與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；(3)拓展提高：如圖③，為等邊三角形，點為的中點，點是邊上的一點，點為延長線上的一點，點在線段上，，且與互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”．若，，求．【答案】(1)①27°；②(2)見解析(3)【分析】（1）①依據(jù)和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，可得，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，即可得到；②依據(jù)，可得，根據(jù)，，，即可得出；（2）依據(jù)，即可得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)，，即可得到，進(jìn)而得出和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】（1）①和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”，，，又，，；②，，，，，，，故答案為：；；（2），，，，即，又，，，又，，，，，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)后與構(gòu)成位似圖形，和互為“旋轉(zhuǎn)位似圖形”；（3）點為的中點，，由題意得：，，，，，由勾股定理可得，，．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理的綜合運用．在解答時添加輔助線等腰直角三角形，利用相似形的對應(yīng)邊成比例是關(guān)鍵．26．（本題8分）（2022秋·福建莆田·九年級?？奸_學(xué)考試）小明對某塔進(jìn)行了測量，測量方法如下，如圖所示，先在點處放一平面鏡，從處沿方向后退1米到點處，恰好在平面鏡中看到塔的頂部點，再將平面鏡沿方向繼續(xù)向后移動15米放在處（即米），從點處向后退1.6米，到達(dá)點處，恰好再次在平面鏡中看到塔的頂部點、已知小明眼睛到地面的距離米，請根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出小雁塔的高度（平面鏡大小忽略不計）

【答案】43.5米【分析】利用相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，即①；，，，，即②，由①②得，解得，，解得，答：小雁塔的高度為43.5米．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后