（圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué)）題型01 不等式相關(guān)解題技巧（基本不等式鏈、權(quán)方和不等式、兩類糖水不等式）（含答案及解析）

題型01不等式相關(guān)解題技巧（基本不等式鏈、權(quán)方和不等式、兩類糖水不等式）技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧技法02權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧技法03普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧技法04對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧本題型通常考查基本不等式及其基本不等式鏈的應(yīng)用，掌握基本不等式鏈，可以較快速解決代數(shù)式的大小比較及其相關(guān)最值求解，常以小題形式考查.本題型通?？疾榛静坏仁郊捌浠静坏仁芥湹膽?yīng)用，掌握基本不等式鏈，可以較快速解決代數(shù)式的大小比較及其相關(guān)最值求解，常以小題形式考查.知識(shí)遷移知識(shí)遷移基本不等式鏈:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.其中分別為平方平均數(shù),算術(shù)平均數(shù),幾何平均數(shù),調(diào)和平均數(shù).可利用上述不等式鏈在各平均數(shù)間進(jìn)行放縮、轉(zhuǎn)化.例1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．由基本不等式鏈:,可得（R），對(duì)于AB由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C【法一】由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確【法二】由,得,又因?yàn)?所以,即.【法三】,又因?yàn)?所以.【答案】：BC．1．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）（多選）若，，，則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的，恒成立的有（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？既＃ǘ噙x）若，則下列不等式對(duì)一切滿足條件恒成立的是（

）A． B．C． D．3．（2023·江蘇模擬）（多選）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則（

）A． B． C． D．技法02權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧在條件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我們通常使用基本不等式（鏈）來求最值，解題中往往會(huì)遇到思路繁瑣，計(jì)算量大的情況，學(xué)生不易求解，而此時(shí)的權(quán)方和不等式優(yōu)勢(shì)極其明顯，可以做到快速求解，常在小題中使用.在條件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我們通常使用基本不等式（鏈）來求最值，解題中往往會(huì)遇到思路繁瑣，計(jì)算量大的情況，學(xué)生不易求解，而此時(shí)的權(quán)方和不等式優(yōu)勢(shì)極其明顯，可以做到快速求解，常在小題中使用.知識(shí)遷移知識(shí)遷移權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用:若則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)例2．（2023·浙江模擬）已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．因?yàn)?，所以由?quán)方和不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．【答案】C1．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值是.2．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┰O(shè)且，則的最小值是．3．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知正數(shù)x，y滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．技法03普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.知識(shí)遷移知識(shí)遷移1.糖水不等式定理:若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜;2.糖水不等式的倒數(shù)形式:設(shè),則有:例3-1．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？级＃┮阎獙?shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【法一】由糖水不等式的倒數(shù)形式，,則有:【法二】，故B正確；因?yàn)?，所以有，故A錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確．【答案】BCD例3-2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【法一】,又，用排除法,選A.【法二】，若,但,綜上所述，.【法三】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.【答案】A1．（2022·江蘇階段練習(xí)）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假設(shè)全部溶于水），糖水會(huì)更甜，于是得出一個(gè)不等式：，稱之為“糖水不等式”，則下列命題一定正確的是（

）A．若，，則與大小關(guān)系不隨m的變化而變化B．若，，則C．若，，則D．若，，則2.若等比數(shù)列前項(xiàng)和為,比較與的大小.3.證明:中,技法04對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)型糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)型糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.知識(shí)遷移知識(shí)遷移(1)設(shè),且,則有(2)設(shè),則有(3)上式的倒數(shù)形式：設(shè),則有例4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【法一】對(duì)數(shù)型糖水不等式因?yàn)?所以.在上述推論中取,可得,且.所以,即,選A.【法二】普通型糖水不等式由已知條件,可得.同公式(2)的證明過程,可以得到,即.所以,即.,即,所以,即.綜上,,選A.1.比較的大小？2.比較大小:與？3．（2022·安徽黃山·統(tǒng)考一模）下列不等式不正確的是（

）A． B． C． D．

題型01不等式相關(guān)解題技巧（基本不等式鏈、權(quán)方和不等式、兩類糖水不等式）技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧技法02權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧技法03普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧技法04對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧技法01基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧本題型通?？疾榛静坏仁郊捌浠静坏仁芥湹膽?yīng)用，掌握基本不等式鏈，可以較快速解決代數(shù)式的大小比較及其相關(guān)最值求解，常以小題形式考查.本題型通?？疾榛静坏仁郊捌浠静坏仁芥湹膽?yīng)用，掌握基本不等式鏈，可以較快速解決代數(shù)式的大小比較及其相關(guān)最值求解，常以小題形式考查.知識(shí)遷移知識(shí)遷移基本不等式鏈:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.其中分別為平方平均數(shù),算術(shù)平均數(shù),幾何平均數(shù),調(diào)和平均數(shù).可利用上述不等式鏈在各平均數(shù)間進(jìn)行放縮、轉(zhuǎn)化.例1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．由基本不等式鏈:,可得（R），對(duì)于AB由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C【法一】由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確【法二】由,得,又因?yàn)?所以,即.【法三】,又因?yàn)?所以.【答案】：BC．1．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）（多選）若，，，則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的，恒成立的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式及其變形公式和“1”的靈活運(yùn)用即可求解.【詳解】解：對(duì)A選項(xiàng)：，，，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)：，而成立，成立，故B選項(xiàng)正確；對(duì)C選項(xiàng)：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.2．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？既＃ǘ噙x）若，則下列不等式對(duì)一切滿足條件恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，B，D，利用基本不等式即可求得答案；對(duì)于C，利用，求出，結(jié)合的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.【詳解】對(duì)于A，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以A正確；對(duì)于B，，，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以，則，并且時(shí)等號(hào)成立.，所以C正確；對(duì)于D，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以D正確.故選：ACD.3．（2023·江蘇模擬）（多選）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)基本不等式可判斷ABC；將題設(shè)配方可得，結(jié)合進(jìn)行求解即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，故B正確；對(duì)于C，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，故C正確；對(duì)于D，由，得，即，即，故D正確.故選：BCD.

技法02權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧在條件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我們通常使用基本不等式（鏈）來求最值，解題中往往會(huì)遇到思路繁瑣，計(jì)算量大的情況，學(xué)生不易求解，而此時(shí)的權(quán)方和不等式優(yōu)勢(shì)極其明顯，可以做到快速求解，常在小題中使用.在條件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我們通常使用基本不等式（鏈）來求最值，解題中往往會(huì)遇到思路繁瑣，計(jì)算量大的情況，學(xué)生不易求解，而此時(shí)的權(quán)方和不等式優(yōu)勢(shì)極其明顯，可以做到快速求解，常在小題中使用.知識(shí)遷移知識(shí)遷移權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用:若則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級(jí)應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)例2．（2023·浙江模擬）已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．因?yàn)?，所以由?quán)方和不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．【答案】C1．（2023·四川·校聯(lián)考一模）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值是.【答案】【分析】將轉(zhuǎn)化為，然后利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.故答案為：.2．（2023·遼寧鞍山·鞍山一中校考二模）設(shè)且，則的最小值是．【答案】【分析】結(jié)合已知條件并由乘“1”法將變形為，再由基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)?，所以由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，綜上所述：的最小值是.故答案為：.3．（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)x，y滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】首先對(duì)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換,進(jìn)一步整理得,最后利用基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】已知正數(shù)滿足,所以,所以:則:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)；要使恒成立,只需滿足即可,故.故答案為:.

技法03普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.知識(shí)遷移知識(shí)遷移糖水不等式定理:若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜;2.糖水不等式的倒數(shù)形式:設(shè),則有:例3-1．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)?？级＃┮阎獙?shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【法一】由糖水不等式的倒數(shù)形式，,則有:【法二】，故B正確；因?yàn)椋杂?，故A錯(cuò)誤；，故C正確；，故D正確．【答案】BCD例3-2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【法一】,又，用排除法,選A?！痉ǘ?，若,但,綜上所述，.【法三】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.【答案】A1．（2022·江蘇階段練習(xí)）生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假設(shè)全部溶于水），糖水會(huì)更甜，于是得出一個(gè)不等式：，稱之為“糖水不等式”，則下列命題一定正確的是（

）A．若，，則與大小關(guān)系不隨m的變化而變化B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】ACD【分析】根據(jù)“糖水不等式”，即可判斷A；作差比較即可判斷B；若，則，再根據(jù)“糖水不等式”即可判斷C；利用不等式的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，根據(jù)“糖水不等式”，若，則，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)?，，所以，故，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，根據(jù)“糖水不等式”，，即，故C正確；對(duì)于D，若，則，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD若等比數(shù)列前項(xiàng)和為,比較與的大小【答案】【解析】;故。證明:中,【解析】在中,根據(jù)正弦定理可知:同理可得:,

技法04對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)型糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.在應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)式大小比較時(shí)，我們除了常規(guī)的不等式性質(zhì)，特值，還可以學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)型糖水不等式及其倒數(shù)形式，常在小題中使用，能做到快速求解.知識(shí)遷移知識(shí)遷移(1)設(shè),且,則有(2)設(shè),則有(3)上式的倒數(shù)形式：設(shè),則有例4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【法一】對(duì)數(shù)型糖水不等式因?yàn)?所以.在上述推論中取,可得,且.所以,即,選A.【法二