湘潭市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題含解析

湘潭市重點(diǎn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知P是直線上的動點(diǎn)，PA，PB是圓的切線，A，B為切點(diǎn)，C為圓心，那么四邊形PACB的面積的最小值是（）A2 B.C.3 D.2．若，（），則，的大小關(guān)系是A. B.C. D.，的大小由的取值確定3．若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.4．方程表示的曲線為（）A.拋物線與一條直線 B.上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條直線C.拋物線與一條射線 D.上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條射線5．已知曲線與直線總有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）A.18 B.78C.6 D.507．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為A. B.C. D.8．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.9．曲線與曲線的（）A.實(shí)軸長相等 B.虛軸長相等C.焦距相等 D.漸進(jìn)線相同10．已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，則的值為（）A.3 B.6C.9 D.3611．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（）A. B.C. D.12．已知直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a為（）A. B.或C. D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_______.14．已知A，B為x，y正半軸上的動點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，現(xiàn)以為邊長在第一象限做正方形，則的最大值為___________.15．若函數(shù)解析式，則使得成立的的取值范圍是___________.16．?dāng)?shù)學(xué)中，多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難，甚至不可能.從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假設(shè)是方程的根，選取作為的初始近似值，在點(diǎn)處作曲線的切線，則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為的一次近似值，在點(diǎn)處作曲線的切線.則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為的二次近似值.重復(fù)上述過程，用逐步逼近.若給定方程，取，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，E為中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）證明：平面平面18．（12分）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與軸的正半軸重合，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）（1）求直線的直角坐標(biāo)方程及曲線的普通方程；（2）求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值19．（12分）為了解某校今年高一年級女生的身體素質(zhì)狀況，從該校高一年級女生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲鉛球”的項(xiàng)目測試，成績低于5米為不合格，成績在5至7米（含5米不含7米）的為及格，成績在7米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間(1)求實(shí)數(shù)的值及參加“擲鉛球”項(xiàng)目測試的人數(shù)；(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項(xiàng)目的測試，求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率20．（12分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取2021年的10個家庭，獲得第個家庭的月收入(單位：千元)與月儲蓄(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，計算得，，，（1）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（2）判斷變量與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）利用（1）中的回歸方程，分析2021年該地區(qū)居民月收入與月儲蓄之間的變化情況，并預(yù)測當(dāng)該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，該家庭的月儲蓄額．附：線性回歸方程系數(shù)公式中，，，其中，為樣本平均值21．（12分）如圖，已知橢圓的短軸端點(diǎn)為、，且，橢圓C的離心率，點(diǎn)，過點(diǎn)P的動直線l橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N與，均不重合），連接，，交于點(diǎn)T（1）求橢圓C的方程；（2）求證：當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動；（3）是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由22．（10分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，圓：過橢圓的三個頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）與橢圓交于兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為（1，1），半徑為1，根據(jù)切線的性質(zhì)可得四邊形PACB面積等于，，故求解最小時即可確定四邊形PACB面積的最小值.【詳解】圓C：x2+y2-2x-2y+1=0即，表示以C（1，1）為圓心，以1為半徑的圓，由于四邊形PACB面積等于2×××=，而，故當(dāng)最小時，四邊形PACB面積最小，又的最小值等于圓心C到直線l：的距離d，而，故四邊形PACB面積的最小值為，故選：D2、A【解析】∵且，∴，又，∴，故選A.3、A【解析】根據(jù)命題與它的否定命題一真一假，寫出該命題的否定命題，再求實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，時，不等式為，顯然成立；時，應(yīng)滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A4、B【解析】化簡得出或，由此可得出方程表示的曲線.【詳解】由可得或，所以，方程表示的曲線為上半拋物線（除去頂點(diǎn)）與一條直線，故選：B.5、D【解析】對曲線化簡可知曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對直線方程化簡可得直線過定點(diǎn)，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因?yàn)?，所以曲線表示以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過定點(diǎn)，如圖所示設(shè)曲線與軸的兩個交點(diǎn)分別為，直線過定點(diǎn)，為曲線上一動點(diǎn)，根據(jù)圖可知，若曲線與直線總有公共點(diǎn)，則，得，設(shè)直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D6、A【解析】根據(jù)框圖逐項(xiàng)計算后可得正確的選項(xiàng).【詳解】第一次循環(huán)前，；第二次循環(huán)前，；第三次循環(huán)前，；第四次循環(huán)前，；第五次循環(huán)前，此時滿足條件，循環(huán)結(jié)束，輸出S的值是18故選：A7、C【解析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記人數(shù)，進(jìn)而得解.【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C【點(diǎn)睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題8、C【解析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可【詳解】設(shè)，由，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，?dāng)，即時，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立故選：C【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值9、D【解析】將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程后即可求解.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于，則兩曲線實(shí)軸長、虛軸長、焦距均不相等，而漸近線方程同為.故選：10、C【解析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)有，結(jié)合已知求值即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)知：，，，所以，又，所以.故選：C11、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出【詳解】故選：C12、B【解析】由題可得，即得.【詳解】∵直線與直線垂直，∴，解得或.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)公式求解即可.【詳解】解：當(dāng)時，當(dāng)時，因?yàn)橐策m合此等式，所以.故答案為：14、32【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出角度和邊長，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出，利用三角函數(shù)換元，求出最大值.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，設(shè)，（），則由三角形全等可知，設(shè)，，則，則，，則，令，，則，當(dāng)時，取得最大值，最大值為32故答案為：3215、【解析】由題意先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再利用的導(dǎo)函數(shù)判斷在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性得上單調(diào)遞減.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【詳解】，，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減.要使成立，即.故答案為：.16、【解析】根據(jù)牛頓迭代法的知識求得.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，切線的方程為，與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.，所以切線的方程為，與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，連結(jié)，易證，再利用線面平行的判斷定理即可證得答案；（2）利用線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判斷定理即可.【小問1詳解】連接交于，連接因?yàn)榈酌媸钦叫危詾橹悬c(diǎn)，因?yàn)樵谥校堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面【小?詳解】側(cè)棱底面底面，所以，因?yàn)榈酌媸钦叫危?，因?yàn)榕c為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?18、（1）直線的直角坐標(biāo)方程是，曲線的普通方程是（2）【解析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式進(jìn)行求解，消去參數(shù)求出普通方程；（2）設(shè)曲線上任一點(diǎn)以，利用點(diǎn)到直線距離公式和輔助角公式進(jìn)行求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，將，代入，得直線的直角坐標(biāo)方程是由得曲線的普通方程是【小問2詳解】設(shè)曲線上任一點(diǎn)以，則點(diǎn)到直線的距離當(dāng)時，，故曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為19、（1）0.05，40；（2）【解析】（1）因?yàn)橛深l率分布直方圖可得共五組的頻率和為1所以可得一個關(guān)于的等式，即可求出的值.再根據(jù)已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間，可以求出本次參加“擲鉛球”項(xiàng)目測試的人數(shù).本小題要根據(jù)所給的圖表及直方圖作答，頻率的計算易漏乘以組距.（2）因?yàn)槿舸舜螠y試成績最好的共有4名同學(xué).成績最差的共有2名同學(xué).所以從6名同學(xué)中抽取2名同學(xué)共有15中情況，其中兩人在同組情況由8中.所以可以計算出所求的概率.試題解析：（Ⅰ）由題意可知解得所以此次測試總?cè)藬?shù)為答：此次參加“擲鉛球”的項(xiàng)目測試的人數(shù)為40人(Ⅱ)設(shè)從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生自不同組的事件為A：由已知，測試成績在有2人，記為；在有4人，記為.從這6人中隨機(jī)抽取2人有，共15種情況事件A包括共8種情況.所以答：隨機(jī)抽取的2名學(xué)生自不同組的概率為考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖.2.概率問題.3.列舉分類的思想.20、（1）＝0.3x－0.4（2）正相關(guān)（3）1.7千元【解析】（1）由題意得到n＝10，求得，進(jìn)而求得，寫出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝7代入回歸方程求解.【小問1詳解】由題意知n＝10，，則，所以所求回歸方程為＝0.3x－0.4.【小問2詳解】因?yàn)椋宰兞縴的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關(guān).【小問3詳解】將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).21、（1）（2）證明見解析；（3）不存在直線l，使得成立，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組求得，設(shè)，根據(jù)和在同一條直線上，列出方程求得的值，即可求解；（3）設(shè)直線的為，把轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組求得，代入列方程，求得，即可得到結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以所求橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題意，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，可得，因?yàn)橹本€與橢圓有兩個交點(diǎn)，所以，解得，設(shè)，因?yàn)樵谕粭l直線上，則，①又由在同一條直線上，則，②由①+②3所以，整理得，解得，所以點(diǎn)在直線，即當(dāng)直線l繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)T總在一條定直線上運(yùn)動.【小問3詳解】解：由（2）知，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，即，設(shè)直線的方程為，且，又由且，可得，即，聯(lián)立方程組，整理得，可得，代入可得，解得，即，此時直線的斜率不存在，不合題意，所以不存在直線l，使得成立.22、（1）；（2）見解析，定點(diǎn)【解析】（1）先判斷圓經(jīng)過橢圓的上、下頂點(diǎn)