2020高考真題匯編8：數(shù)列(文)

第頁(yè)2020高考真題匯編8：數(shù)列一、選擇題1．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)】設(shè)是等比數(shù)列，且，，則()A．12B．24C．30D．322．【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=()A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–13．【2020年高考北京】在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列()A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)4．【2020年高考浙江】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是()A．B．C．D．二、填空題5．【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)】數(shù)列滿(mǎn)足，前16項(xiàng)和為540，則.6．【2020年高考全國(guó)Ⅱ卷文數(shù)】記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1=?2，a2+a6=2，則S10=__________．7．【2020年高考浙江】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝，朱世杰等研究過(guò)高階等差數(shù)列的求和問(wèn)題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列．?dāng)?shù)列的前3項(xiàng)和是_______．8．【2020年高考江蘇】設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是________．9．【2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷】將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______．三、解答題10．【2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷】已知公比大于的等比數(shù)列滿(mǎn)足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．11．【2020年高考全國(guó)Ⅲ卷文數(shù)】設(shè)等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．12．【2020年高考浙江】已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿(mǎn)足．（Ⅰ）若{bn}為等比數(shù)列，公比，且，求q的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若{bn}為等差數(shù)列，公差，證明：．13．【2020年高考天津】已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．14．【2020年高考北京】已知是無(wú)窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿(mǎn)足性質(zhì)①，說(shuō)明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說(shuō)明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.15．【2020年高考江蘇】已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有成立，則稱(chēng)此數(shù)列為“λ～k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ～1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ～3”數(shù)列，且？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

參考答案1．答案：D解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.2．答案：B解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.3．答案：B解析：由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項(xiàng)公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項(xiàng)，由于，故數(shù)列中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：，.故數(shù)列中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為.故選：B．4．答案：D解析：對(duì)于A，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，，A正確；對(duì)于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，由可得，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，，，．當(dāng)時(shí)，，∴即；當(dāng)時(shí)，，∴即，所以，D不正確．故選：D.5．答案：解析：，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.故答案為：.6．答案：解析：是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案為：.7．答案：解析：因?yàn)?，所以．即．故答案為?8．答案：解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過(guò)對(duì)比系數(shù)可知，故.故答案為：.9．答案：解析：因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項(xiàng)和為，故答案為：.10．解析：（1）設(shè)的公比為．由題設(shè)得，．解得（舍去），．由題設(shè)得．所以的通項(xiàng)公式為．（2）由題設(shè)及（1）知，且當(dāng)時(shí)，．所以．11．解析：（1）設(shè)的公比為，則.由已知得，解得.所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知故由得，即.解得（舍去），.12．解析：（Ⅰ）由得，解得．由得．由得．（Ⅱ）由得，所以，由，得，因此．13．解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．由，，可得，從而的通項(xiàng)公式為．由，又，可得，解得，從而的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得，故，，從而，所以．（Ⅲ）解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．對(duì)任意的正整數(shù)，有，和．①由①得．②由①②得，從而得．因此，．所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為．14．解析：(Ⅰ)不具有性質(zhì)①；(Ⅱ)具有性質(zhì)①；具有性質(zhì)②；(Ⅲ)【解法一】首先，證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào)，不妨設(shè)恒為正數(shù)：顯然，假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng)，設(shè)，第一種情況：若，即，由①可知：存在，滿(mǎn)足，存在，滿(mǎn)足，由可知，從而，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾，假設(shè)不成立.第二種情況：若，由①知存在實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，由的定義可知：，另一方面，，由數(shù)列單調(diào)性可知：，這與的定義矛盾，假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).綜上可得，數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號(hào).其次，證明：利用性質(zhì)②：取，此時(shí)，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時(shí)必有，即，最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列：假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)成等比數(shù)列，不妨設(shè)，其中，（情況類(lèi)似）由①可得：存在整數(shù)，滿(mǎn)足，且（*）由②得：存在，滿(mǎn)足：，由數(shù)列的單調(diào)性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有：，注意到均為整數(shù)，故，代入（**）式，從而.總上可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.即數(shù)列為等比數(shù)列.【解法二】假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)：首先利用性質(zhì)②：取，此時(shí)，由數(shù)列的單調(diào)性可知，而，故，此時(shí)必有，即，即成等比數(shù)列，不妨設(shè)，然后利用性質(zhì)①：取，則，即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為，下面我們來(lái)證明，否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知，在性質(zhì)②中，取，則，從而，與前面類(lèi)似的可知?jiǎng)t存在，滿(mǎn)足，若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與假設(shè)矛盾；若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾；即不存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù)，可見(jiàn)不成立，從而，同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列，同理，當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過(guò)程易知數(shù)列中的項(xiàng)要么恒正要么恒負(fù)，不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列.15．解析：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列是“λ～1”數(shù)列，則，即，也即，此式對(duì)一切正整數(shù)n均成立．若，則恒成立，故，而，這與是等差數(shù)列矛盾．所以．（此時(shí)，任意首項(xiàng)為1的等差數(shù)列都是“1～1”數(shù)列）（2）因?yàn)閿?shù)列是“”數(shù)列，所以，即．因?yàn)?，所以，則．令，則，即．解得，即，也即，所以數(shù)列是公比為4的等比數(shù)列．因?yàn)?，所以．則（3）設(shè)各項(xiàng)非負(fù)的數(shù)列為“”數(shù)列，則，即．因?yàn)?，而，所以，則．令，則，即．（*）①若或，則（*）只有一解為，即符合條件的數(shù)列只有一個(gè)．（此數(shù)列為1，0，0，0，…）②若，則（*）化為，因?yàn)椋?，則（*）只有一