2024-2025學年高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.1.1變化率問題1.1.2導數(shù)的概念學案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1．1變更率與導數(shù)1.1.1變更率問題1.1.2導數(shù)的概念內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.了解導數(shù)概念的實際背景；2.會求函數(shù)在某一點旁邊的平均變更率；3.會利用導數(shù)的定義求函數(shù)在某點處的導數(shù).強化數(shù)學概念完善邏輯推理提升數(shù)學運算授課提示：對應學生用書第1頁[基礎(chǔ)相識]學問點一函數(shù)的平均變更率eq\a\vs4\al(預習教材P2－3，思索并完成以下問題)假設(shè)如圖是一座山的剖面示意圖，并建立如圖所示平面直角坐標系，A是動身點，H是山頂．爬山路途用函數(shù)y＝f(x)表示．自變量x表示某旅游者的水平位置，函數(shù)值y＝f(x)表示此時旅游者所在的高度．設(shè)點A的坐標為(x1，y1)，點B的坐標為(x2，y2)．(1)若旅游者從點A爬到點B，自變量x和函數(shù)值y的變更量分別是多少？提示：自變量x的變更量為x2－x1，記作Δx，函數(shù)的變更量為y2－y1，記作Δy.(2)怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度？提示：對山路AB來說，用eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(y2－y1,x2－x1)可近似地刻畫其陡峭程度．學問梳理函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變更率(1)定義式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)實質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比．(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變更的快慢．(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割線P1P2的斜率．學問點二瞬時速度eq\a\vs4\al(預習教材P4－6，思索并完成以下問題)1．物體的路程s與時間t的關(guān)系是s(t)＝5t2.試求物體在[1,1＋Δt]這段時間內(nèi)的平均速度．提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝10＋5Δt.2．當Δt趨近于0時，思索1中的平均速度趨近于多少？怎樣理解這一速度？提示：當Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)趨近于10，這時的平均速度即為當t＝1時的瞬時速度．學問梳理瞬時速度(1)物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．(2)一般地，設(shè)物體的運動規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).假如Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)的極限是v，這時v就是物體在時刻t＝t0時的瞬時速度，即瞬時速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).學問點三函數(shù)在某點處的導數(shù)學問梳理一般地，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變更率是eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).思索：1.函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變更率的大小與曲線y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的“陡峭”程度有什么關(guān)系？提示：平均變更率的肯定值越大，曲線y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然．2．函數(shù)的平均變更率是固定不變的嗎？提示：不肯定，在平均變更率中，當x1取定值后，Δx取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平均變更率不肯定相同；當Δx取定值后，x1取不同的數(shù)值時，函數(shù)的平圴變更率也不肯定相同．事實上，曲線上隨意不同兩點間連線的斜率一般不相等，依據(jù)平均變更率的幾何意義可知，函數(shù)的平均變更率一般狀況下是不相同的．3．瞬時速度與平均速度有什么區(qū)分和聯(lián)系？提示：區(qū)分：瞬時速度刻畫物體在某一時刻的運動狀態(tài)，而平均速度則是形容物體在一段時間內(nèi)的運動狀態(tài)，與該段時間內(nèi)的某一時刻無關(guān)．聯(lián)系：瞬時速度是平均速度的趨近值．4．如何理解Δx→0?提示：(1)“Δx→0”的意義：|Δx－0|可以小于給定的隨意小的正數(shù)，但始終有Δx≠0.(2)當Δx→0時，存在一個常數(shù)與eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)無限接近．[自我檢測]1．質(zhì)點運動規(guī)律s＝t2＋3，則在時間(3,3＋Δt)中，質(zhì)點的平均速度等于()A．6＋Δt B．6＋Δt＋eq\f(9,Δt)C．3＋Δt D．9＋Δt解析：平均速度為eq\x\to(v)＝eq\f(3＋Δt2＋3－32＋3,3＋Δt－3)＝6＋Δt.故選A.答案：A2．假如質(zhì)點M依據(jù)規(guī)律s＝3t2運動，則在t＝3時的瞬時速度為()A．6 B．18C．54 D．81解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(33＋Δt2－3×32,Δt)＝18＋3Δt，s′＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(18＋3Δt)＝18.故選B.答案：B3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(x))，則f′(1)＝________.解析：f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,\r(1＋Δx))－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)授課提示：對應學生用書第2頁探究一求函數(shù)的平均變更率[例1](1)已知函數(shù)y＝3x－x2在x0＝2處的增量為Δx＝0.1，則eq\f(Δy,Δx)的值為()A．－0.11 B．－1.1C．3.89 D．0.29(2)汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v1)，eq\x\to(v2)，eq\x\to(v3)，則三者的大小關(guān)系為________．(3)球的半徑從1增加到2時，球的體積平均膨脹率為________．[解析](1)∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝3×2.1－2.12－6＋4＝－0.11，∴eq\f(Δy,Δx)＝－1.1.(2)eq\x\to(v1)＝kOA，eq\x\to(v2)＝kAB，eq\x\to(v3)＝kBC，由圖象可知，kOA＜kAB＜kBC.(3)∵Δy＝eq\f(4,3)π×23－eq\f(4,3)π×13＝eq\f(28π,3)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(28π,3),2－1)＝eq\f(28π,3).[答案](1)B(2)eq\x\to(v1)＜eq\x\to(v2)＜eq\x\to(v3)(3)eq\f(28π,3)方法技巧求函數(shù)y＝f(x)從x0到x的平均變更率的步驟(1)求自變量的增量Δx＝x－x0.(2)求函數(shù)的增量Δy＝y(tǒng)－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(3)求平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).提示：Δx，Δy的值可正，可負，但Δx≠0，Δy可為零，若函數(shù)f(x)為常值函數(shù)，則Δy＝0.跟蹤探究1.一運動物體的運動路程s(x)與時間x的函數(shù)關(guān)系為s(x)＝－x2＋2x.(1)求運動物體從2到2＋Δx這段時間內(nèi)的平均速度eq\x\to(v)；(2)若eq\x\to(v)＝－3，求Δx；(3)若eq\x\to(v)＞－5，求Δx的范圍．解析：(1)因為s(2)＝－22＋2×2＝0，s(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)＝－2Δx－(Δx)2，所以eq\x\to(v)＝eq\f(s2＋Δx－s2,2＋Δx－2)＝－2－Δx.(2)由(1)，令－2－Δx＝－3，解得Δx＝1.(3)由(1)，令－2－Δx＞－5，解得Δx＜3.即Δx的范圍為(－∞，3)．探究二求瞬時速度[例2]假如某物體的運動路程s與時間t滿意函數(shù)s＝2(1＋t2)(s的單位為m，t的單位為s)，求此物體在1.2s末的瞬時速度．[解析]Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt＋2(Δt)2，eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4.8＋2Δt)＝4.8，即s′|t＝1.2＝4.8.故物體在1.2s末的瞬時速度為4.8m/s.延長探究1.試求該物體在t0時的瞬時速度．解析：∵Δs＝2[1＋(t0＋Δt)2]－2(1＋teq\o\al(2,0))＝4Δt·t0＋2(Δt)2，∴s′|t＝t0＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4t0＋2Δt)＝4t0.∴此物體在t0時的瞬時速度為4t0m/s.2．物體在哪一時刻的瞬時速度為12m/s?解析：∵s′|t＝t0＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4t0＋2Δt)＝4t0，∴由4t0＝12得t0＝3，∴此物體在3s時的瞬時速度為12m/s.方法技巧1.求運動物體瞬時速度的三個步驟(1)求時間變更量Δt和位移變更量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求瞬時速度，當Δt無限趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)無限趨近于常數(shù)v，即為瞬時速度．2．求eq\f(Δy,Δx)(當Δx無限趨近于0時)的極限的方法(1)在極限表達式中，可把Δx作為一個數(shù)來參加運算．(2)求出eq\f(Δy,Δx)的表達式后，Δx無限趨近于0，可令Δx＝0，求出結(jié)果即可．跟蹤探究2.已知自由下落物體的運動方程是s＝eq\f(1,2)gt2(s的單位是m，t的單位是s)，求：(1)物體在t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)的平均速度；(2)物體在t0時的瞬時速度；(3)物體在t0＝2s到t1＝2.1s這段時間內(nèi)的平均速度；(4)物體在t＝2s時的瞬時速度．解析：(1)平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(\f(1,2)gt0＋Δt2－\f(1,2)gt\o\al(2,0),Δt)＝gt0＋eq\f(1,2)gΔt.(2)瞬時速度為eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(gt0＋\f(1,2)gΔt))＝gt0.(3)由(1)得物體在t0＝2s到t1＝2.1s這段時間內(nèi)的平均速度為g×2＋eq\f(1,2)g×0.1＝eq\f(41,20)g.(4)由(2)得物體在t＝2s時的瞬時速度為g×2＝2g探究三求函數(shù)在某點處的導數(shù)[例3]依據(jù)導數(shù)定義求函數(shù)y＝x2＋eq\f(1,x)＋5在x＝2處的導數(shù)．[解析]當x＝2時，Δy＝(2＋Δx)2＋eq\f(1,2＋Δx)＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22＋\f(1,2)＋5))＝4Δx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,22＋Δx).所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx－eq\f(1,4＋2Δx).所以y′|x＝2＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δx－\f(1,4＋2Δx)))＝4＋0－eq\f(1,4＋2×0)＝eq\f(15,4).延長探究本例中若已知該函數(shù)在x＝a處的導數(shù)為0，試求a的值．解析：當x＝a時，Δy＝(a＋Δx)2＋eq\f(1,a＋Δx)＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a)＋5))＝2aΔx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,aa＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝2a＋Δx－eq\f(1,a2＋aΔx)，所以eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋Δx－\f(1,a2＋aΔx)))＝2a－eq\f(1,a2)，所以2a－eq\f(1,a2)＝0，a＝eq\f(\r(3,4),2).方法技巧用導數(shù)定義求函數(shù)在某一點處導數(shù)的三個步驟(1)求函數(shù)值的變更量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(2)求平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(3)取極限，得導數(shù)f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).簡記為一差、二比、三極限．跟蹤探究3.已知函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋4x.(1)求函數(shù)在x＝3處的導數(shù)；(2)若函數(shù)在x0處的導數(shù)是12，求x0的值．解析：(1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx.所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2＋16Δx,Δx)＝2Δx＋16，所以y′|x＝3＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2Δx＋16)＝16.(2)依據(jù)導數(shù)的定義f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))＝eq\f(2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x\o\al(2,0)＋4x0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(4x0＋2Δx＋4)＝4x0＋4，所以f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得x0＝2.授課提示：對應學生用書第3頁[課后小結(jié)](1)理