廣西壯族自治區(qū)貴百河聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

2023級(jí)“貴百河—武鳴高中”10月高二年級(jí)新高考月考測(cè)試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A． B． C． D．2．若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的傾斜角為（）A． B． C． D．3．定義運(yùn)算：．已知，則（）A． B． C． D．4．已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，求的值（）A． B． C．或 D．或5．從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會(huì)到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會(huì)，我國(guó)獲得的夏季奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個(gè)數(shù)據(jù)的60％分位數(shù)是（）A．16 B．30 C．32 D．516．關(guān)于的方程有一根為1，則一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形7．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則有（）A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。（答案有兩個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對(duì)得3分，錯(cuò)選不得分；答案有三個(gè)選項(xiàng)只選一個(gè)對(duì)得2分，只選兩個(gè)都對(duì)得4分，錯(cuò)選不得分）9．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，下列結(jié)論正確的有（）A． B．向量與的夾角的余弦值為C．點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為 D．向量在上的投影向量為10．從今年起年內(nèi)，小李的年薪（萬元）與年數(shù)的關(guān)系是，小馬的年薪（萬元）與年數(shù)的關(guān)系是，則下列判斷正確的有（）A．5年后小馬的年薪超過小李 B．6年后小馬的年薪超過小李C．小馬的年薪比小李的增長(zhǎng)快 D．小馬的年薪比小李的增長(zhǎng)慢11．已知內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，，則（）A． B．的最小值為3C．若為銳角三角形，則 D．若，，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是__________．13．已知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，滿足，則__________．14．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為3，在棱上有一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，當(dāng)時(shí)，則此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離__________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）已知直線．（1）若直線不經(jīng)過第二象限，求的取值范圍；（2）若直線與軸、軸正半軸分別交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求此時(shí)相應(yīng)的直線的方程．16．（15分）已知函數(shù)．（1）若，解不等式；（2）若關(guān)于的方程有解，求的取值范圍．17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，，底面，是線段的中點(diǎn)，在線段上，．（1）證明：平面；（2）在線段上，與所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值．18．（17分）在神舟十五號(hào)載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功的背景下，某學(xué)校高一年級(jí)利用高考放假期間組織1200名學(xué)生參加線上航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問題：（1）若從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人，求10人中成績(jī)不高于50分的人數(shù)；（2）求的值，并以樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)以及中位數(shù)；（3）由首輪競(jìng)賽成績(jī)確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級(jí)互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率．19．（17分）在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且．（1）求角的大?。唬?）點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，且，求周長(zhǎng)的最小值．2023級(jí)“貴百河-武鳴高中”10月高二年級(jí)新高考月考測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案1．D【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的實(shí)部為，故選：D．2．A【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，若向量是直線的一個(gè)方向向量，則直線的斜率為，因?yàn)?，所以．故選：A．3．D【詳解】依題意，，則，故．故選：D．4．C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，到直線的距離相等，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得或．故選：C．5．C【詳解】把11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因?yàn)?，這11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列第7個(gè)是32．故選：C．6．A【詳解】因?yàn)?是的根，所以，又，所以有，，整理可得，，即．因?yàn)椋?，，所以．則由可得，，所以．所以一定是等腰三角形．故選：A．7．D【詳解】把直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)底面為菱形的直四棱柱，如圖所示：因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，所以為等邊三角形，所以，，所以，因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，又因?yàn)?，所以在中，由余弦定理可得，故異面直線與所成角的余弦值為．故選：D．8．B【詳解】解：，令，，，任取且，則，，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，故．故選：B．9．BD【詳解】記，，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，設(shè)與的夾角為，則，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，D正確．故選：BD10．BC【詳解】易知指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度更快，故C正確，D錯(cuò)誤；畫出函數(shù)和的圖象，從圖象中觀察，可知在這8年內(nèi)先是小馬的年薪低，后來超過了小李，令，則，，所以存在，當(dāng)時(shí)，，由于，所以至少經(jīng)過6年，小馬的年薪超過小李的年薪，即A錯(cuò)誤，B正確；故選：BC．11．ABC【詳解】對(duì)于A，由，得，由正弦定理得，由余弦定理得，則，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，又，則，，，于是，因此，A正確；對(duì)于B，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，由正弦定理得，由為銳角三角形，，得，則，，因此，C正確；對(duì)于D，由，，，得，D錯(cuò)誤．故選：ABC12．【詳解】聯(lián)立，解得，故直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)與直線垂直的直線方程是．將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入該方程，得，解得．所以所求直線方程為．故答案為：13．【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，可得，解得，即，又因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為6的等邊三角形，所以．14．【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．如圖所示，則，，，，設(shè)，得，則；設(shè)平面的法向量為，又，，于是有，不妨令，可得，，所以；因?yàn)?，且，則，化簡(jiǎn)得，解得，或（舍去）．即，從而得．15．（1）（2）或【詳解】（1）由題意可知直線，易知直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過第二象限．（2）由題意可知，直線與軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別是，，，當(dāng)時(shí)，由得：，即：，或，即：直線的方程為或．16．（1）（2）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，則，，，，故不等式的解集為（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故的取值范圍是．17．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌妫业酌?，所以，又因?yàn)闉檎叫?，可得，因?yàn)?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，且，，平面，所以平面．?）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，可得，可得，，，，，，則，，，因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，其中，則，因?yàn)榕c所成的角為，可得，解得，所以，所以，可得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，，所以，因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的二面角為，其中，可得，即平面與平面所成的二面角為．18．（1）4（2）；平均數(shù)為71；中位數(shù)為（3）【詳解】（1）從圖中可知組距為10，則，的頻率分別為0.1，0.15，從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人時(shí)，成績(jī)不高于50分的人數(shù)為（人）（2）由圖