專(zhuān)題11幾何壓軸中的實(shí)踐與操作題型（原卷版）

專(zhuān)題11幾何壓軸中的實(shí)踐與操作題型對(duì)于實(shí)踐操作型問(wèn)題，在解題過(guò)程中學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情趣與價(jià)值，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”的過(guò)程，不斷提高自己的創(chuàng)新意識(shí)與綜合能力，這是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》的基本要求之一，因此，近年來(lái)實(shí)踐操作性試題受到命題者的重視，多次出現(xiàn).圖形的設(shè)計(jì)與操作問(wèn)題，主要分為如下一些類(lèi)型：1．已知設(shè)計(jì)好的圖案，求設(shè)計(jì)方案(如：在什么基本圖案的基礎(chǔ)上，進(jìn)行何種圖形變換等)．2．利用基本圖案設(shè)計(jì)符合要求的圖案(如：設(shè)計(jì)軸對(duì)稱(chēng)圖形，中心對(duì)稱(chēng)圖形，面積或形狀符合特定要求的圖形等)．3．圖形分割與重組(如：通過(guò)對(duì)原圖形進(jìn)行分割、重組，使形狀滿(mǎn)足特定要求)．4．動(dòng)手操作(通過(guò)折疊、裁剪等手段制作特定圖案)．解決這樣的問(wèn)題，除了需要運(yùn)用各種基本的圖形變換(平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、位似)外，還需要綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何知識(shí)對(duì)圖形進(jìn)行分析、計(jì)算、證明，以獲得重要的數(shù)據(jù)，輔助圖案設(shè)計(jì)．由于折疊操作相當(dāng)于構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)變換，因此折疊問(wèn)題中，要充分利用軸對(duì)稱(chēng)變換的特性，以獲得更多的圖形信息．必要時(shí)，實(shí)際動(dòng)手配合上理論分析比單純的理論分析更為快捷有效． （2022·寧夏·中考真題）綜合與實(shí)踐知識(shí)再現(xiàn)如圖，中，，分別以、、為邊向外作的正方形的面積為、、．當(dāng)，時(shí)，______．問(wèn)題探究如圖，中，．（1）如圖，分別以、、為邊向外作的等腰直角三角形的面積為、、，則、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖，分別以、、為邊向外作的等邊三角形的面積為、、，試猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．實(shí)踐應(yīng)用（1）如圖，將圖中的繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度至，、相交于點(diǎn)．求證：；（2）如圖，分別以圖中的邊、、為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱體，、、為直徑的半圓柱的體積分別為、、．若，柱體的高，直接寫(xiě)出的值．問(wèn)題探究：（1）；（2）；理由見(jiàn)解析；實(shí)踐應(yīng)用：（1）見(jiàn)解析；（2）．知識(shí)再現(xiàn)：利用勾股定理和正方形的面積公式可求解；問(wèn)題探究：(1)利用勾股定理和直角三角形的面積公式可求解；(2)過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC交于G，分別求出，，，由勾股定理可得，即可求S4+S5=S6；實(shí)踐應(yīng)用：(1)設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，則HN=a+bc，F(xiàn)G=ca，MF=cb，可證明△HNP是等邊三角形，四邊形MFGP是平行四邊形，則，，再由，可證明．(2)設(shè)AB=c，BC=a，AC=b，以AB為直徑的圓的面積為S3、以BC為直徑的圓的面積為S1、以AC為直徑的圓的面積為S2，可得S1+S2=S3，又由，即可求．【答案】知識(shí)再現(xiàn)；【詳解】知識(shí)再現(xiàn)：解：中，，，，，，，故答案為：；問(wèn)題探究：解：中，，，，，故答案為：；解：中，，，過(guò)點(diǎn)作交于，在等邊三角形中，，，，，同理可得，，，；實(shí)踐應(yīng)用：證明：設(shè)，，，，，，是等邊三角形，是等邊三角形，，，，是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，，，是直角三角形，，，；解：設(shè)，，，以為直徑的圓的面積為、以為直徑的圓的面積為、以為直徑的圓的面積為，是直角三角形，，，，，，，，，，，．本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握直角三角形的勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，圓柱的體積，平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：將足夠大的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處，并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長(zhǎng)為2）．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)與重合時(shí)，重疊部分的面積為_(kāi)_________；當(dāng)與垂直時(shí)，重疊部分的面積為_(kāi)_________；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，重疊部分的面積與S的關(guān)系為_(kāi)_________；(2)類(lèi)比探究：若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M，N．①如圖2，當(dāng)時(shí)，試判斷重疊部分的形狀，并說(shuō)明理由；②如圖3，當(dāng)時(shí)，求重疊部分四邊形的面積（結(jié)果保留根號(hào)）；(3)拓展應(yīng)用：若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心O處，該銳角記為（設(shè)），將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值與最大值（分別用含的式子表示），（參考數(shù)據(jù)：）（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，OE與OC重合，此時(shí)重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，OE⊥BC，重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；（2）①結(jié)論：△OMN是等邊三角形．證明OM=ON，可得結(jié)論；②如圖3中，連接OC，過(guò)點(diǎn)O作OJ⊥BC于點(diǎn)J．證明△OCM≌△OCN（SAS），推出∠COM=∠CON=30°，解直角三角形求出OJ，即可解決問(wèn)題；（3）如圖41中，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)Q，當(dāng)BM=CN時(shí)，△OMN的面積最小，即S2最小．如圖42中，當(dāng)CM=CN時(shí)，S2最大．分別求解即可．【答案】(1)1,1，(2)①是等邊三角形，理由見(jiàn)解析；②(3)【詳解】（1）如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)OF與OB重合時(shí)，OE與OC重合，此時(shí)重疊部分的面積=△OBC的面積=正方形ABCD的面積=1；當(dāng)OF與BC垂直時(shí)，OE⊥BC，重疊部分的面積=正方形ABCD的面積=1；一般地，若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為S1=S．理由：如圖1中，設(shè)OF交AB于點(diǎn)J，OE交BC于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四邊形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四邊形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ=S△ONK，∴S四邊形OKBJ=S正方形OMBN=S正方形ABCD，∴S1=S．故答案為：1，1，S1=S．（2）①如圖2中，結(jié)論：△OMN是等邊三角形．理由：過(guò)點(diǎn)O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT=CT，∵BM=CN，∴MT=TN，∵OT⊥MN，∴OM=ON，∵∠MON=60°，∴△MON是等邊三角形；②如圖3中，連接OC，過(guò)點(diǎn)O作OJ⊥BC于點(diǎn)J．∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM=∠CON=30°，∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM=90°75°=15°，∵BJ=JC=OJ=1，∴JM=OJ?tan15°=2，∴CM=CJMJ=1（2）=1，∴S四邊形OMCN=2××CM×OJ=1．（3）如圖4，將沿翻折得到，則，此時(shí)則當(dāng)在上時(shí)，比四邊形的面積小，

設(shè)，則當(dāng)最大時(shí)，最小，，即時(shí)，最大，此時(shí)垂直平分，即，則如圖5中，過(guò)點(diǎn)O作OQ⊥BC于點(diǎn)Q，，BM=CN當(dāng)BM=CN時(shí)，△OMN的面積最小，即S2最?。赗t△MOQ中，MQ=OQ?tan=tan，∴MN=2MQ=2tan，∴S2=S△OMN=×MN×OQ=tan．如圖6中，同理可得，當(dāng)CM=CN時(shí)，S2最大．則△COM≌△CON，∴∠COM=，∵∠COQ=45°，∴∠MOQ=45°，QM=OQ?tan（45°）=tan（45°），∴MC=CQMQ=1tan（45°），∴S2=2S△CMO=2××CM×OQ=1tan（45°）．本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．1．（2022·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測(cè)）綜合實(shí)踐問(wèn)題情境在圖所示的直角三角形紙片中，是斜邊的中點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)老師讓同學(xué)們將繞中點(diǎn)做圖形的旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，探究旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線(xiàn)段之間的關(guān)系．解決問(wèn)題（1）“實(shí)踐小組”的同學(xué)們將以點(diǎn)為中心按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與重合時(shí)，與它的對(duì)應(yīng)邊交于點(diǎn)．他們發(fā)現(xiàn)：．請(qǐng)你幫助他們寫(xiě)出證明過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)思考（2）在圖的基礎(chǔ)上，“實(shí)踐小組”的同學(xué)們繼續(xù)將以點(diǎn)為中心進(jìn)行逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)?shù)膶?duì)應(yīng)邊時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．他們認(rèn)為．他們的認(rèn)識(shí)是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．再探發(fā)現(xiàn)（3）解決完上面兩個(gè)問(wèn)題后，“實(shí)踐小組”的同學(xué)們?cè)趫D中連接，他們認(rèn)為，與也具有一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)數(shù)量關(guān)系______．（不要求證明）2．（2022·山西·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}情境：在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)老師出示了一道思考題：如圖，在正方形中，是射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊在邊的右側(cè)作等腰直角三角形，使得，，且點(diǎn)恰好在射線(xiàn)上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上，點(diǎn)在邊上時(shí)，那么與之間的數(shù)量關(guān)系是_________；探索發(fā)現(xiàn)：(2)當(dāng)點(diǎn)在正方形外部時(shí)如圖2與圖3，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)利用圖2進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：(3)如圖4，在正方形中，，當(dāng)是對(duì)角線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，連接，若，求的面積．3．（2022·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）【操作與發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N，M分別在邊BC、CD上．連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而可得：DM+BN＝MN．(1)【實(shí)踐探究】在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是______．(2)如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求證：M是CD的中點(diǎn)．(3)【拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，則DM的長(zhǎng)是______．4．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）綜合與實(shí)踐如圖①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為Rt△ABC的斜邊上的中線(xiàn)，在證明CD=AD=BD的過(guò)程中，我們可以延長(zhǎng)CD到E，使得CD=DE，連接BE．很容易證明∠ACD≌△BED，進(jìn)而證明△ABC≌△ECB，所以AB=CE，所以CD=AD=BD．我們可以得到直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半．實(shí)踐操作：將兩個(gè)全等的Rt△ABD，Rt△ACE拼在一起，如圖②，△ABD不動(dòng)．問(wèn)題解決：（1）將△ACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB，MC，如圖③，求證：MB=MC；拓展延伸：（2）若將圖②中的CE向上平移，且∠CAE不變，連接DE，M是DE的中點(diǎn)，連接MB，MC，如圖④，則線(xiàn)段MB，MC的數(shù)量關(guān)系為；問(wèn)題再探：（3）在（2）的條件下，若∠CAE改變大小，如圖⑤，其他條件不變，請(qǐng)你判斷線(xiàn)段MB，MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考二模）綜合與實(shí)踐【動(dòng)手操作】如圖①，四邊形ABCD是一張矩形紙片，，．先將矩形ABCD對(duì)折，使BC與AD重合，折痕為MN，沿MN剪開(kāi)得到兩個(gè)矩形．矩形AMND保持不動(dòng)，將矩形MBCN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)D重合時(shí)，交AD于點(diǎn)E，BC交MN于點(diǎn)F，此時(shí)兩個(gè)矩形重疊部分四邊形MEDF的形狀是______，面積是______；（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)N'落在AD邊上時(shí)，BC恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，與DN交于點(diǎn)G，求兩個(gè)矩形重疊部分四邊形的面積；【引申探究】（3）當(dāng)點(diǎn)落在矩形的對(duì)角線(xiàn)MD所在的直線(xiàn)上時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)DN交于點(diǎn)G，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段DG的長(zhǎng)．6．（2022·山西大同·統(tǒng)考二模）綜合與實(shí)踐在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)王老師給每位同學(xué)各發(fā)了一張正方形紙片，要求同學(xué)們僅通過(guò)折紙的方法來(lái)確定該正方形一邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)．“啟航”小組的同學(xué)在經(jīng)過(guò)一番思考和討論交流后，進(jìn)行了如下的操作：第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD的一條邊AD對(duì)折，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，得到AD的中點(diǎn)E，然后展開(kāi)鋪平；第二步：如圖2，將CD邊沿CE翻折到CF的位置；第三步：如圖3，再將BC沿過(guò)點(diǎn)C的直