專(zhuān)題02平行線中的拐點(diǎn)模型之鉛筆頭模型（原卷版）2

專(zhuān)題02平行線中的拐點(diǎn)模型之鉛筆頭模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類(lèi)問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專(zhuān)題就平行線中的拐點(diǎn)模型（鉛筆頭模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來(lái)，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型2：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型證明】在圖1中，過(guò)P作AM的平行線PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在圖2中，過(guò)P1作AM的平行線P1C，過(guò)點(diǎn)P2作AM的平行線P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在圖3中，過(guò)各角的頂點(diǎn)依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2023·江蘇南通·校考二模）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）A．80°B．120°C．100°D．140°例2．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是路政工程車(chē)的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺(tái)平行若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．例3．（2023下·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AB//ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，則β與α的數(shù)量關(guān)系是（

）A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α例4．（2023下·廣西南寧·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，如果，那么（）

A． B． C． D．例5．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)期末）如圖，，，，已知，則的度數(shù)為．

例6．（2023下·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線和之間，連接和的平分線交于點(diǎn)Q，下列等式正確的是（）

A． B． C． D．例7．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學(xué)研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索問(wèn)題的解．

(1)如圖1，，點(diǎn)E為、之間的一點(diǎn)．求證：．(2)如圖2，，點(diǎn)E、F、G、H為、之間的四點(diǎn)．則______．(3)如圖3，，則______．例8．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)?？计谥校┊?dāng)光線經(jīng)過(guò)鏡面反射時(shí)，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等例如：在圖①、圖中②，都有，，設(shè)鏡子與的夾角．(1)如圖①，若，判斷入射光線與反射光線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖②，若，入射光線與反射光線的夾角，探索與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖③，若，設(shè)鏡子與的夾角，入射光線與鏡面的夾角，已知入射光線從鏡面開(kāi)始反射，經(jīng)過(guò)為正整數(shù)，且次反射，當(dāng)?shù)诖畏瓷涔饩€與入射光線平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)可用含有的代數(shù)式表示．

例9．（2023下·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知直線，點(diǎn)P在直線之間，連接．(1)如圖1，若，直接寫(xiě)出的大小；(2)如圖2，點(diǎn)Q在之間，，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，的角平分線交CD于點(diǎn)M，且，點(diǎn)N在直線之間，連接，，直接寫(xiě)出的值（用含n的式子表示，題中的角均指大于且小于的角）．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023下·江蘇蘇州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在五邊形中，，則（

）

A． B． C． D．2．（2023上·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡，反射后，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為（）

A．55° B．70° C．60° D．35°3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，，則（

）A．150° B．180° C．210° D．240°4．（2023下·河北邯鄲·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，將直線m按箭頭所指方向平移至直線n，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．5．（2023·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若，則（

）

A． B． C． D．6．（2023下·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，按虛線剪去長(zhǎng)方形紙片的相鄰兩個(gè)角，并使，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．7．（2023下·廣東中山·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知：，則（

）

A． B． C． D．8．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在五邊形中，,，則的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°9．（2023下·黑龍江綏化·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知，則．

10．（2022上·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為．（用含n的式子表示）11．（2023下·吉林·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，，平分，若，，則．

12．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是某小區(qū)大門(mén)的道閘欄桿示意圖，立柱垂直于地面于點(diǎn)A，當(dāng)欄桿達(dá)到最高高度時(shí)，橫欄，此時(shí)則，．

13．（2023上·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知，若，，則α與β之間的數(shù)量關(guān)系為．

14．（2023下·貴州安順·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根據(jù)以上的規(guī)律求∠1+∠2+∠3+…+∠n=°．15．（2023下·湖北襄陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，平分，平分，若，則度．16．（2023下·江西南昌·七年級(jí)南昌二中?？计谥校┤鐖D已知：，，平分，，有以下結(jié)論：①；②；③；④，其中，正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）17．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在六邊形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=140，∠C=165．（1）求∠B的度數(shù)；（2）當(dāng)∠D=°時(shí)，AB∥DE？為什么？18．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期末）珠江某河段兩岸安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈A，B．如圖1，2所示，假如河道兩岸是平行的，，且，燈A射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視，且燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．(1)填空：°；(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖3，若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)之前，若兩燈發(fā)出的射線與交于點(diǎn)C，過(guò)C作交PQ于點(diǎn)D，且，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

19．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知．

(1)如圖①，點(diǎn)C是夾在和之間的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，垂足為C，你知道是多少度嗎？(2)如圖②，點(diǎn)，是夾在和之間的兩點(diǎn)，請(qǐng)想一想：的度數(shù)為；(3)如圖③，隨著與之間點(diǎn)的增加，那么的度數(shù)為．（不必說(shuō)明理由）20．（2023下·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，連接A，C兩點(diǎn)．(1)如圖1，與的平分線交于點(diǎn)E，則等于度；(2)如圖2，點(diǎn)M在射線反向延長(zhǎng)線上，點(diǎn)N在射線上．與的平分線交于點(diǎn)E．若，求的度數(shù)；(3)如圖3，圖4，M，N分別為射線，射線上的點(diǎn)，與的平分線交于點(diǎn)E．設(shè)，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．21．（2022下·江蘇常州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）問(wèn)題情境：如圖①，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．(1)猜想：若，，試猜想______°；(2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．22．（2023下·安徽滁州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，，過(guò)點(diǎn)作，可得．利用平行線的性質(zhì)，可得：與，之間的數(shù)量關(guān)系是________________．利用上面的發(fā)現(xiàn)，解決下列問(wèn)題：（1）如圖2，，點(diǎn)是和平分線的交點(diǎn)，，求的度數(shù)；（2）如圖3，，平分，，平分，若比大，則的度數(shù)是________．

23．（2023下·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：，點(diǎn)E、F分別在直線、上，點(diǎn)O在直線、之間，且．(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)如圖2，射線平分，連接，若，與相等嗎？若相等，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，在內(nèi)，，在內(nèi)，，點(diǎn)M、N分別為射線、上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M、N在直線、之間，其中，，若，求n的取值范圍．

24．（2023下·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，