第4章平行四邊形

第4章平行四邊形【單元提升卷】考生注意：1．本試卷含三個(gè)大題，共26題．答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無(wú)效．2．除第一、二大題外，其余各題如無(wú)特別說(shuō)明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟．一、單選題1．如圖，□ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，OE⊥AC交BC于E，已知△ABE的周長(zhǎng)為3cm，則□ABCD的周長(zhǎng)為（

）A．4cm B．6cm C．9cm D．12cm【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分得：OA=OC．又OE⊥AC，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得：AE=CE．故△ABE的周長(zhǎng)為AB+BC的長(zhǎng)．最后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等得：?ABCD的周長(zhǎng)為2×3=6．【詳解】四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC.∵OE⊥AC，∴AE=CE.故△ABE的周長(zhǎng)為AB+BC=3，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等得?ABCD的周長(zhǎng)為2×3=6.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，將△ABE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AB+BC是解題的關(guān)鍵.2．如圖，小麗的一塊四邊形玩具片破了一角，小麗想知道破掉的∠C的度數(shù)，她量了∠A，∠B，∠D的度數(shù)，就知道了∠C的度數(shù)，其原因是（

）A．四邊形外角和是360° B．四邊形外角和是180°C．四邊形內(nèi)角和是360° D．四邊形內(nèi)角和是180°【答案】C【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理,結(jié)合題意即可解答.【詳解】根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可知:只要知道四邊形任意三個(gè)角的度數(shù)即可求出另外一個(gè)角的度數(shù).故選C.【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.3．下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．平行四邊形【答案】D【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【詳解】A.等腰三角形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B.直角三角形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C.等邊三角形不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D.平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱圖形的概念，熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵.4．如圖，的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，則BD的長(zhǎng)是（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】通過(guò)平行四邊形性質(zhì)，可計(jì)算得；再結(jié)合AB⊥AC推導(dǎo)得為直角三角形，通過(guò)勾股定理計(jì)算得，再結(jié)合平行四邊形性質(zhì)，計(jì)算得到答案．【詳解】∵平行四邊形且AC=6∴∵AB⊥AC∴∴為直角三角形∴又∵平行四邊形∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形、勾股定理的知識(shí)；求解的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．5．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BED=150°，則∠A的大小為（）A．150° B．130° C．120° D．100°【答案】C【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABE，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，∵∠BED=150°，∴∠ABE=∠AEB=30°，∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．故選：C．6．若平行四邊形的一邊長(zhǎng)為2，面積為，則此邊上的高介于A．3與4之間 B．4與5之間 C．5與6之間 D．6與7之間【答案】B【分析】先根據(jù)四邊形的面積公式列出算式，求出高的值，再估算出無(wú)理數(shù)，即可得出答案；【詳解】根據(jù)四邊形的面積公式可得：此邊上的高=．∵，∴此邊上的高介于4與5之間．故選B．7．若以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）三點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】首先畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)找出其位置，然后再根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形找出D的位置，進(jìn)而可得答案．【詳解】如圖所示：第四個(gè)頂點(diǎn)不可能在第三象限．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．8．用反證法證明命題“在三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60°”時(shí)，第一步應(yīng)先假設(shè)（

）A．三角形中有一個(gè)內(nèi)角小于 B．三角形中有一個(gè)內(nèi)角大于C．三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于 D．三角形的三個(gè)內(nèi)角都大于【答案】C【分析】反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，可據(jù)此進(jìn)行判斷．【詳解】解：用反證法證明命題“三角形中至少有一個(gè)角大于或等于60°”時(shí)，第一步應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中三個(gè)內(nèi)角內(nèi)角都小于60°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法的應(yīng)用，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．9．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠ADB=∠CBD，添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（

）A．∠ABD=∠CDBB．∠DAB=∠BCDC．∠ABC=∠CDAD．∠DAC=∠BCA【答案】D【詳解】由∠ADB=∠CBD可得到AD∥BC，∴A、∠ABD=∠CDB能得到AB∥CD，所以能判定四邊形ABCD是平行四邊形；B、利用三角形的內(nèi)角和定理能進(jìn)一步得到∠ABD=∠CDB，從而能得到AB∥CD，所以能判定四邊形ABCD是平行四邊形；C、能進(jìn)一步得到∠CDB=∠ABD，從而能得到AB∥CD，所以能判定四邊形ABCD是平行四邊形；D、不能進(jìn)一步得到AB∥CD，所以不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選D．10．已知：四邊形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則線段MN的取值范圍是（

）A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤【答案】D【分析】當(dāng)AB∥CD時(shí)，MN最短，利用中位線定理可得MN的最長(zhǎng)值，作出輔助線，利用三角形中位線及三邊關(guān)系可得MN的其他取值范圍．【詳解】連接BD，過(guò)M作MG∥AB，連接NG．∵M(jìn)是邊AD的中點(diǎn)，AB=2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位線，BG=GD，MG=AB=×2=1；∵N是BC的中點(diǎn)，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位線，NG=CD=×3=，在△MNG中，由三角形三邊關(guān)系可知MGNG＜MN＜MG+NG，即1＜MN＜+1，∴＜MN＜，當(dāng)MN=MG+NG，即MN=時(shí)，四邊形ABCD是梯形，故線段MN長(zhǎng)的取值范圍是＜MN≤．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的中位線，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，利用三角形的中位線定理和三角形的三邊關(guān)系求解.二、填空題11．如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且EF∥BC，DE∥BF，則圖共有________個(gè)平行四邊形．【答案】3【分析】根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)進(jìn)行分析，從而可得到共有3個(gè)平行四邊形，分別是：?AEFD，?EFCB，?BEDF．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，AD∥BC．∵EF∥BC，∴四邊形AEFD是平行四邊形，四邊形EFCB是平行四邊形．又∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形．綜上所述，平行四邊形的個(gè)數(shù)共有3個(gè)（平行四邊形ABCD除外）．故答案是：3．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)的理解及運(yùn)用，注意運(yùn)用“有兩組對(duì)邊相互平行的四邊形是平行四邊形”的性質(zhì)．12．如圖，在周長(zhǎng)為20cm的平行四邊形ABCD中，AB≠AD，AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥BD交AD于E，則△ABE的周長(zhǎng)為_(kāi)________cm．【答案】10【詳解】解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得：OB=OD，∵EO⊥BD，∴EO為BD的垂直平分線，根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得：BE=DE，∴△ABE的周長(zhǎng)=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10cm．故答案為：1013．若正多邊形的一個(gè)外角是45°，則該正多邊形的邊數(shù)是_________.【答案】8【分析】根據(jù)多邊形外角和是360度，正多邊形的各個(gè)內(nèi)角相等，各個(gè)外角也相等，直接用可求得邊數(shù)．【詳解】解：多邊形外角和是360度，正多邊形的一個(gè)外角是，即該正多邊形的邊數(shù)是8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形外角和以及多邊形的邊數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的各個(gè)內(nèi)角相等，各個(gè)外角也相等．14．用三種不同的正多邊形地磚鋪滿地面，若其中有正三角形，正八邊形，則另一個(gè)為正_______邊形．【答案】24【分析】分別求出各個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，結(jié)合鑲嵌的條件即可求出答案．【詳解】∵正三角形的內(nèi)角是60°，正八邊形的內(nèi)角是135°，∴另一個(gè)正多邊形的內(nèi)角是165°，∴另一個(gè)正多邊形是24邊形；故答案為24．【點(diǎn)睛】本題考查了平面鑲嵌，幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．15．如圖，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，連接DC并延長(zhǎng)到E，使CE=CD，過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE，與AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．若AB=6，則BF的長(zhǎng)為_(kāi)______________．【答案】8.【詳解】試題解析：∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，AB=6，∴CD=AB=3．又∵CE=CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF∥DE，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴ED是△AFB的中位線，∴BF=2ED=8．16．如果某多邊形的內(nèi)角和與外角和的度數(shù)比為3：2，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_(kāi)____．【答案】五【分析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和外角的關(guān)系，列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意得：180（n2）：360=3：2，解得n=5，故答案為：五．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角和與外角和定理，解題的關(guān)鍵是記住多邊形的多邊形內(nèi)角公式(n2)×180°和與外角和等于360°．17．如圖，BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)E、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需增加的一個(gè)條件是__________________（填一種情況即可）．【答案】BE=DF【分析】根據(jù)平行四邊形的判定添加條件即可．【詳解】解：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∴當(dāng)BE＝DF時(shí)，可得OE＝OF，則四邊形AECF為平行四邊形，∴可增加BE＝DF，故答案為：BE＝DF（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，是開(kāi)放題，答案不唯一，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在圖1中，A1，B1，C1分別是△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，在圖2中，A2，B2，C2分別是△A1B1C1的邊B1C1，C1A1，A1B1的中點(diǎn)，…，按此規(guī)律，則第n個(gè)圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)共有___個(gè)．【答案】3n【分析】在圖１中，有3個(gè)平行四邊形；在圖2中，有6個(gè)平行四邊形；.觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可完成解答．.【詳解】解：在圖1中，A1、B1、C1分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，∴A1C1//AC,A1B1∥AB,BC//B1C,A1C1=AC,A1B1=AB,BC=B1C，∴四邊形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是平行四邊形，共有3個(gè)；同理，第2個(gè)圖形有6個(gè)，第3個(gè)圖形有9個(gè)，以此類推可得，第n個(gè)圖形有3n個(gè)．故答案為3n．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.掌握由特殊到一般的方法是解題的關(guān)鍵．.三、解答題19．如圖，在?ABCD中，AC是對(duì)角線，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，求證：AE=CF．【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】由全等三角形的判定定理AAS證得△ABE≌△CDF，則對(duì)應(yīng)邊相等：AE=CF．【詳解】如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°．在△ABE與△CDF中，，∴得△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．20．如圖，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）判斷四邊形ACED的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若BD=8cm，求線段BE的長(zhǎng)．【答案】（1）四邊形ACED是平行四邊形．理由如下見(jiàn)解析（2）8cm．【分析】（1）根據(jù)正方形的對(duì)邊互相平行可得AD∥BC，即為AD∥CE，然后根據(jù)兩組對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形解答.（2）根據(jù)正方形的四條邊都相等，平行四邊形的對(duì)邊相等可得BC=AD=CE，再根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)等于對(duì)角線的倍求出BC，然后求出BE即可.【詳解】解：（1）四邊形ACED是平行四邊形.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，即AD∥CE.∵DE∥AC，∴四邊形ACED是平行四邊形.（2）由（1）知，BC=AD=CE=CD，∵BD=8cm，∴BC=BD=×8=4cm，∴BE=BC+CE=4+4=8cm．21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，CD．得平行四邊形ABDC（1）直接寫出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；

（2）若在y軸上存在點(diǎn)M，連接MA，MB，使S△MAB=S平行四邊形ABDC，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)P在直線BD上運(yùn)動(dòng)，連接PC，PO．請(qǐng)畫(huà)出圖形，直接寫出∠CPO、∠DCP、∠BOP的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）C（0，2），D（4，2）；（2）（0，4）或（0，﹣4）；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在BD上，∠CPO=∠DCP+∠BOP，②當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPO=∠BOP﹣∠DCP，③當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠CPO=∠DCP﹣∠BOP【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的平移法則得出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）設(shè)M坐標(biāo)為（0，m），然后求出平行四邊形的性質(zhì)的面積，根據(jù)面積相等得出m的值，從而得出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）分當(dāng)點(diǎn)P在BD上、當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí)三種情況分別畫(huà)出圖形，然后得出答案．【詳解】解：（1）∵將A（﹣1，0），B（3，0）分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，∴C（0，2），D（4，2）；（2）∵AB=4，CO=2，

∴S平行四邊形ABDC=AB?CO=4×2=8，設(shè)M坐標(biāo)為（0，m），∴×4×|m|=8，解得m=±4，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）或（0，﹣4）；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在BD上，如圖1，由平移的性質(zhì)得，AB∥CD，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，則PE∥CD，∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，②當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，由平移的性質(zhì)得，AB∥CD，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，則PE∥CD，∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，∴∠CPO=∠OPE﹣∠CPE=∠BOP﹣∠DCP，③當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，同（2）的方法得出∠CPO=∠DCP﹣∠BOP．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．解決第三問(wèn)時(shí)一定要注意進(jìn)行分類討論．22．如圖，在平行四邊形ABCD中，BD=2AB，AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F、G分別是OC、OB、AD的中點(diǎn)．(1)求證：DE⊥OC；(2)求證：EG=EF．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得BD=2OD，AB=CD，AD=BC，又由BD=2AB，可得△ODC是等腰三角形，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，即可證得DE⊥OC；（2）由DE⊥OC，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得EG=AD，又由三角形中位線的性質(zhì)，求得EF=BC，則可證得EG=EF．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC與BD相交于點(diǎn)O，∴BD=2OD，AB=CD，AD=BC．∵BD=2AB，∴OD=AB=CD．∵點(diǎn)E是OC的中點(diǎn)，∴DE⊥OC（2）∵DE⊥OC，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，∴EG=AD；∵點(diǎn)E、F分別是OC、OB的中點(diǎn)．∴EF=BC．∵AD=BC，∴EG=EF．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．23．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高．（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）求證：∠DHF=∠DEF．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EF∥AB，DE∥AC，再根據(jù)平行四邊形的定義證明即可.（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線相等可得∠DEF=∠BAC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DH=AD，F(xiàn)H=AF，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代換即可得到∠DHF=∠DEF．試題解析：證明：（1）∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，∴DE、EF都是△ABC的中位線.∴EF∥AB，DE∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形.（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠BAC.∵D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高，∴DH=AD，F(xiàn)H=AF.∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA.∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC.∴∠DHF=∠DEF．考點(diǎn)：1.三角形中位線定理；2.直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；3.平行四邊形的判定．24．如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是AD、BC的中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于M、N，且OM=ON．求證：AC=BD．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】分析：取AB和CD的中點(diǎn)分別為G、H，連接EG、GF、FH、EH，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出OM=ON，從而得出∠4=∠EFH，即EH=HF，得出答案．詳解：證明：取AB和CD的中點(diǎn)分別為G、H，連接EG、GF、FH、EH，則EH∥AC，EH=AC，HF∥BD，F(xiàn)H=BD，∴∠3=∠2，∠1=∠4，∵OM=ON，∴∠1=∠2，∴∠4=∠3=∠1=∠2，同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，∴∠4=∠EFH，∴EH=HF，∵EH=AC，F(xiàn)H=BD，∴AC=BD．

點(diǎn)睛：本題主要考查的是三角形中位線的性質(zhì)，屬于中等難度的題型．解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是根據(jù)中位線的性質(zhì)作出輔助線．25．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在△ABC中，DE∥BC，分別交AB、AC于D、E，且CD⊥BE，CD=3，BE=5，試求BC+DE的值．小明發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥DC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，構(gòu)造△BEF，經(jīng)過(guò)推理得到?DCFE，再計(jì)算就能夠使問(wèn)題得到解決（如圖②）．(1)請(qǐng)你幫小明回答：BC+DE的值為_(kāi)_______，并寫出推理和計(jì)算過(guò)程．(2)參考小明思考問(wèn)題的方法，請(qǐng)你解決如下問(wèn)題：如圖③，已知?ABCD和矩形ABEF，AC與DF交于點(diǎn)G，AC=BF=DF，求∠AGF的度數(shù)．【答案】(1)，見(jiàn)解析(2)60°【分析】（1）由DE∥BC，EF∥DC，可證得四邊形DCFE是平行四邊形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；（2）首先連接AE，CE，由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，易證得四邊形DCEF是平行四邊形，繼而證得△ACE是等邊三角形，則可求得答案．【詳解】（1）解：∵DE∥BC，EF∥DC，∴四邊形DCFE是平行四邊形，∴EF=CD=3，CF=DE，∵CD⊥BE，∴EF⊥BE，∴BC+DE=BC+CF=BF=，故答案為：；（2）解：連接AE，CE，如圖．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC．∵四邊形ABEF是矩形，∴AB∥FE，BF=AE．∴DC∥FE．∴四邊形DCEF是平行四邊形．∴CE∥DF．∵AC=BF=DF，∴AC=AE=CE．∴△ACE是等邊三角形．∴∠ACE=60°．∵CE∥DF，∴∠AGF=∠ACE=60°．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意掌握輔助線的作法．26．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的點(diǎn)，AF=AD+FC，平行四邊形ABCD的面積為S，由A、E、F三點(diǎn)確定的圓的周長(zhǎng)為t．（1）