專題08規(guī)律探究

08規(guī)律探究1．如圖是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)數(shù)陣排列的規(guī)律，第n（n是整數(shù)，且）行從左向右數(shù)第個數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵第的最后一個數(shù)是∴第n（且n是整數(shù)）行從左向右數(shù)第個數(shù)是故選B2．如圖，在矩形中，，，連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形，使矩形矩形；再連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此規(guī)律作下去．若矩形的面積記作，矩形的面積記作，矩形的面積記作，…，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵按逆時針方向作矩形的相似矩形，∴矩形的邊長和矩形的邊長的比為，∴矩形的面積和矩形的面積的比為，∵，，，…∴．故選：D．3．如圖，△ABC面積為1，第一次操作：分別延長AB，BC，CA至點A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，順次連接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分別延長A1B1，B1C1，C1A1至點A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，順次連接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此規(guī)律，第n次操作后，得到△AnBnCn，要使△AnBnCn的面積超過2022，則至少需要操作（

）次．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【詳解】解：連接，如圖所示：∵AB＝A1B，∴，∵CB1＝BC，∴∴，同理可得，，，∴同理可證：，第三次操作后的面積為：7×49＝343，第四次操作后的面積為7×343＝2401．故按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2022，最少經(jīng)過4次操作，故C正確．故選：C．4．在平面直角坐標系中，正方形的位置如圖所示，點A的坐標為，點D的坐標為，延長交x軸于點，作正方形；延長交x軸于點，作正方形…按這樣的規(guī)律進行下去，正方形的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵正方形ABCD的點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），∴OA＝1，OD＝2，AD，，延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C，∴△AA1B∽△DAO，∴，∵AD＝AB，∴A1B，∴第1個正方形的面積為：S1＝A1C2＝（）2＝5?（）2；同理可得，A2C2＝（）2第2個正方形的面積為：S2＝5?（）4…第n個正方形的面積為：S2＝5?（）2n∴第2021個正方形的面積為：S2021＝5?（）4042．故選：D．5．請先在草稿紙上計算下列四個式子的值:①；②；③；④觀察你計算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出的值為__________．【答案】325【詳解】解：①；②=3=1+2；③=6=1+2+3；④=10=1+2+3+4，…，∴=1+2+3+…+n，∴=1+2+3+…+25=325．故答案為：325．6．圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME7）的會徽圖案，它是由一串有公共頂點O的直角三角形演化而成的．若圖中的，按此規(guī)律繼續(xù)演化，則線段的長為___________

【答案】【詳解】解：，由勾股定理可得：，，，可知，，故答案為：．7．已知如下一元二次方程:第1個方程:；第2個方程:；第3個方程:；按照上述方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的排列規(guī)律，則第8個方程為________________；第n(n為正整數(shù))個方程為_____________________，其兩個實數(shù)根為____________________.【答案】

17x2+16x1=0

(2n+1)x2+2nx1=0

x1=1，x2=【詳解】試題分析：仔細分析所給方程的特征可知二次項系數(shù)是從3開始的連續(xù)奇數(shù)，一次項系數(shù)是從2開始的連續(xù)偶數(shù)，常數(shù)項均為1，根據(jù)這個規(guī)律求解即可.解：由題意得第8個方程為17x2+16x1=0，第(為正整數(shù))個方程為(2n+1)x2+2nx1=0，解得x1=1，.8．如圖，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次連接的三邊中點，得到，再依次連接的三邊中點，得到，，按這樣的規(guī)律下去，的周長為____．【答案】【詳解】解：探究規(guī)律：AB=8，BC=6，AC=7，分別為的中點，同理：總結(jié)規(guī)律：運用規(guī)律：當時，故答案為：9．已知一列數(shù)：，，，，，……，認真觀察發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，用含有（正整數(shù)）的代數(shù)式表示第個數(shù)是______．【答案】【詳解】解：第1個數(shù)為，第2個數(shù)為，第3個數(shù)為，第4個數(shù)為，第5個數(shù)為，……所以第n個數(shù)為．故答案為：．10．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC邊在直線a上，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到①位置可得到點，此時；將①位置的三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到②位置，可得到點，此時；將②位置的三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到③位置，可得到點P3，此時；…，按此規(guī)律旋轉(zhuǎn)，直至得到點為止，則=_______．【答案】【詳解】根據(jù)題意，得，，，，，，所以循環(huán)節(jié)為3，且規(guī)律如下：，，，因為2023÷3=674…1，所以=．故答案為：．11．如圖，在邊長為的菱形中，，連接對角線，以為邊作第二個菱形，使，連接，再以為邊作第三個菱形，使…則的長度是______；按此規(guī)律所作的第個菱形的邊長是______．【答案】

【詳解】解：如圖，連接，交于點，四邊形是菱形，且邊長為，，，，，，是等邊三角形，，，，，同理可得：，，由此可知，第一個菱形的邊長為：，第二個菱形的邊長為：，第三個菱形的邊長為：，歸納類推得：第個菱形的邊長是，其中為正整數(shù)，故答案為：，．12．如圖，直線l的解析式是，點在直線l上，，交x軸于點，軸，交直線l于點，，交x軸于點，按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，若，則點的坐標為______．【答案】【詳解】解：設(shè)點的坐標為（x，），由勾股定理得，解得：或（舍去），∴，∵，∴＝60°，∵，，∴，∴，，依此計算可得：，，…，，∴，∴點的坐標為（，），故答案為：．13．觀察下列一組方程：①；②；③；④；…它們的根有一定的規(guī)律，都是兩個連續(xù)的自然數(shù)，我們稱這類一元二次方程為“連根一元二次方程”。若也是“連根一元二次方程”，則的值為________，第個方程為______________．【答案】

15

【詳解】第一個方程的根是0和1；第二個方程的根是1和2；第三個方程的根是2和3；第四個方程的根是3和4；…第n個方程的根是n1和n;且方程的形式是：x2+(p+q)x+pq=0，且n1和n是非負數(shù)；所以：若也是“連根一元二次方程”，則由（x7）（x8）=,可得的值為15；第n個方程是：14．如圖，在中，，，．分別是的中點，連接；分別是的中點，連接；……按此規(guī)律進行下去，則中最短邊的長度為_______．【答案】【詳解】解：在中，，，，是的中點，∴，中最短邊的邊長為，中最短邊的邊長為，中最短邊的邊長為，∴中最短邊的邊長為，則中最短邊的邊長為，，故答案為：．15．如圖，在矩形中，，，連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形的相似矩形，則矩形的面積為______；再連接，以對角線為邊作矩形的相似矩形，…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形的面積為________．【答案】

【詳解】解：矩形的面積，由勾股定理得：，則矩形和矩形的相似比為，矩形矩形，矩形的面積；同理，矩形的面積，矩形的面積，則的面積為；故答案為：，．16．如圖，是邊長為1的等邊三角形，取邊中點，作，，，分別交，于點，，得到四邊形，它的面積記作；取中點，作，，，分別交，于點，，得到四邊形，它的面積記作……照此規(guī)律作下去，則______．【答案】【詳解】解：∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，∴△ABC的高為：，，∵DE、EF分別是△ABC的中位線，∴，∴，同理可得；…，∴；故答案為：．17．如圖，在平面直角坐標系中，點，，，……在x軸上且，，，……按此規(guī)律，過點，，，……作x軸的垂線分別與直線交于點，，，……記，，，……的面積分別為，，，……，則______．【答案】【詳解】解：當x=1時，，∴點，∴，∴，∵根據(jù)題意得：，∴∽∽∽∽……∽，∴∶∶∶：……∶=OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2，∵，，，，……，∴，，，……，，∴∶∶∶∶……∶=，∴，∴．故答案為：．18．如圖，中，，，BC邊上的高，點、、分別在邊AD、AC、CD上，且四邊形為正方形，點、、分別在邊、、上，且四邊形為正方形，…按此規(guī)律操作下去，則線段的長度為______．【答案】【詳解】解：∵BC邊上的高AD=1，∠B=45°，∴BD=1，∴DC=BCBD=41=3，∵AD⊥DC，∴AC=，設(shè)P1D=x，則AP1=ADP1D=1x，P1Q1=H1Q1=H1D=P1D=x，∵四邊形P1Q1H1D為正方形，∴AD∥Q1H1，∴△ADC∽△CH1Q1，∴，∴，解得x=，∴P1Q1=H1Q1=H1D=P1D=，∴∴△ADC和△CH1Q1的相似比是，同理：△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，∴△ADC和△CH2Q2的相似比是（）2，依此類推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是∴∴Q2022C＝．故答案為：．19．如圖，在中，，，分別是，邊的中點，，分別是，的中點，，分別是，的中點……按這樣的規(guī)律下去，的長為_____（為正整數(shù)）．【答案】【詳解】解：在△ABC中，BC=1，點P1，M1分別是AB，AC邊的中點，∴P1M1是△ABC的中位線，∴P1M1=BC=，同理可求：P2M2=P1M1=×＝，P3M3=P2M2=×＝，…，∴PnMn=，故答案為：.20．如圖，在等腰直角三角形中，，，分別連接，，的中點，得到第1個等腰直角三角形；分別連接，，的中點，得到第2個等腰直角三角形……以此規(guī)律作下去，得到等腰直角三角形，則的長為______．【答案】【詳解】解：在等腰直角三角形中，，，∴，∵、、是中點，∴，∴，∴，∴；∴，∴；同理可求：；；……∴，∴；故答案為：．21．如圖，在平面直角坐標系中，正方形與正方形是以為位似中心的位似圖形，且位似比為，點，，在軸上，延長交射線與點，以為邊作正方形；延長交射線與點，以為邊作正方形；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，若，則正方形的面積為________．【答案】【詳解】解：∵正方形A1B1C1A2與正方形A2B2C2A3是以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為，∴，∵A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴A1B1∥A2B2，∴OA1B1∽△OA2B2，∴，∵OA1=1，∴OA2=2，∴A1A2=1，∴正方形A1B1C1A2的面積=1=40，∵OA1=A1A2=A1B1=1，∴∠B1OA1=45°，∴OA2=A2B2=2，∴正方形A2B2C2A3的面積=2×2=41，∵A3B3⊥x軸，∴OA3=A3B3=4，∴正方形A3B3C3A4的面積=4×4=16=42，……則正方形A2021B2021C2021A2022的面積為420211=42020=24040，故答案為：24040．22．在平面直角坐標系中，若干個邊長為1個單位長度的等邊三角形，按下圖中的規(guī)律擺放．點P從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊“……”的路線運動．設(shè)第n秒運動到點（n為正整數(shù)），則點的坐標是_______________．【答案】【詳解】解：如圖，過作軸于，則，而，∴，，∴每6秒的縱坐標規(guī)律：，0，，0，，0，∵余1，∴點的縱坐標為，由題意可知動點P每秒的橫坐標規(guī)律：，1，，2，

，3，…，，∴點的橫坐標為，∴點的坐標，故答案為．23．如圖，中，，，邊上的高，點分別在邊上，且四邊形為矩形，，點分別在邊上，且四邊形為矩形，，…按此規(guī)律操作下去，則線段的長度為_____．【答案】【詳解】∵，∴設(shè)，則可得，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，即，∴，∵∴，∴；由勾股定理得，∵，∴∴；由于，且四邊形為矩形，，類似地得：,∴，，…，，∴．故答案為：．24．如圖，正方形的邊長為1，正方形的邊長為2，正方形的邊長為4，正方形的邊長為8…依次規(guī)律繼續(xù)作正方形，且點，，，，…，在同一條直線上，連接交，于點，連接，交于點，連接，交于點，…記四邊形的面積為，四邊形的面積為，四邊形的面積為，…，四邊形的面積為，則________．【答案】【詳解】∵正方形的邊長為1，正方形的邊長為2，正方形的邊長為4，正方形的邊長為8…依次規(guī)律繼續(xù)作正方形，且點，，，，…，在同一條直線上，四邊形的面積為，四邊形的面積為，四邊形的面積為，…，四邊形的面積為，∴，∴，∴，∴，∴=，同理可證，=，由此推測，=，當n=2022時，=．25．如圖，點在直線上，點的橫坐標為2，過點作，交x軸于點，以為邊，向右作正方形，延長交x軸于點；以為邊，向右作正方形，延長交x軸于點；以為邊，向右作正方形，延長的交x軸于點；…；按照這個規(guī)律進行下去，則第n個正方形的邊長為________（結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）．【答案】【詳解】解：點在直線上，點的橫坐標為2，點縱坐標為1．分別過，作軸的垂線，分別交于，下圖只顯示一條；,類似證明可得，圖上所有直角三角形都相似，有，不妨設(shè)第1個至第個正方形的邊長分別用：來表示，通過計算得：，，按照這個規(guī)律進行下去，則第n個正方形的邊長為，故答案是：．26．如圖，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，連接OA1，以O(shè)A1為邊，作矩形OA1A2B1使A1A2OA1，連接OA2交A1B于點C；以O(shè)A2為邊，作矩形OA2A3B2，使A2A3OA2，連接OA3交A2B1于點C1；以O(shè)A3為邊，作矩形OA3A4B3，使A3A4OA3，連接OA4交A3B2于點C2；…按照這個規(guī)律進行下去，則△C2019C2020A2022的面積為____．【答案】．【詳解】解：在矩形OAA1B中，∵OA=3，AA1=2，∴∠A=90°，∴，∵，∴，∵∠OA1A2=∠A=90°，∴△OA1A2∽△OAA1，∴∠A1OA2=∠AOA1，∵A1B//OA，∴∠CA1O=∠AOA1，∴∠COA1=∠CA1O，∴OC=CA1，∵∠A2OA1+∠OA2A1=90°，∠OA1C+∠A2A1C=90°，∴∠CA2A1=∠CA1A2，∴CA1=CA2=OC，同法可證OC1=A3C1，∴CC1∥A2A3，CC1=A2A3，∴S△CC1A3=S△CC1A2，∵，∴，∴，∴，∴，同法可證，由題意，，∵△C2A3C1∽△C1A2C，∴相似比為：，∴，…，由此規(guī)律可得，△C2019C2020A2022的面積為．故答案為．27．觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第4個等式：______；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)（n為正整數(shù)），證明見解析【詳解】（1）解：結(jié)合以上規(guī)律容易得出第四個等式為：，故答案為：；（2）結(jié)合規(guī)律猜想第n個等式：（n為正整數(shù)），證明：