同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)上課件二重積分的計(jì)算

同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)上課件二重積分的計(jì)算當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論得累次積分法仍然有效、由于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:(1)若積分區(qū)域既就是X–型區(qū)域又就是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序、則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將她分成若干X-型域或Y-型域,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1、計(jì)算其中D就是直線y＝1,x＝2,及y＝x所圍得閉區(qū)域、解法1、將D看作X–型區(qū)域,則解法2、將D看作Y–型區(qū)域,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2、計(jì)算其中D就是拋物線所圍成得閉區(qū)域、解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,及直線則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3、計(jì)算其中D就是直線所圍成得閉區(qū)域、解:由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對(duì)x積分不行,說(shuō)明:有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序、機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4、交換下列積分順序解:積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5、計(jì)算其中D由所圍成、解:令(如圖所示)顯然,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束對(duì)應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)得小區(qū)域外,小區(qū)域得面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束10大家應(yīng)該也有點(diǎn)累了，稍作休息大家有疑問(wèn)的，可以詢(xún)問(wèn)和交流即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)則特別,對(duì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若f≡1則可求得D得面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問(wèn)

得變化范圍就是什么?(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6、計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式得原函數(shù)不就是初等函數(shù),故本題無(wú)法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算、機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注:利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用得反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例6得結(jié)果,得①故①式成立、機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7、求球體被圓柱面所截得得(含在柱面內(nèi)得)立體得體積、解:設(shè)由對(duì)稱(chēng)性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定積分換元法*三、二重積分換元法

滿(mǎn)足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:就是一一對(duì)應(yīng)得,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆、

用平行于坐標(biāo)軸得直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過(guò)變換T,在xoy面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束同理得當(dāng)h,k充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此面積元素得關(guān)系為從而得二重積分得換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8、計(jì)算其中D就是x軸y軸和直線所圍成得閉域、解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9、計(jì)算由所圍成得閉區(qū)域D得面積S、解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10、試計(jì)算橢球體解:由對(duì)稱(chēng)性令則D得原象為得體積V、機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分得方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?畫(huà)出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫(xiě)出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)