數(shù)學(xué)同步優(yōu)化訓(xùn)練：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ）的圖象5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1。若函數(shù)f(x）=sin（ωx+φ）的部分圖象如圖1-圖1A.ω=1,φ=B。ω=1,φ=-C。ω=,φ=D。ω=，φ=—解析:由=-（—)=π，得T=4π，ω==，所以f(x)=sin(x+φ），把φ=代入解析式中驗(yàn)證，符合sin(×+）=1，故φ=。答案:C2。正弦函數(shù)f（x)=Asin(ωx+φ)+k的定義域?yàn)镽，周期為,初相為，值域?yàn)閇-1，3］，則f(x)=______________________.解析：根據(jù)正弦函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ)+k的最大值和最小值與A和k的關(guān)系,可求出A和k,從而可得出f(x)的表達(dá)式。答案：2sin(3x+）+13。已知函數(shù)y=3sin(x-)。（1）用“五點(diǎn)法"作函數(shù)的圖象;（2)求此函數(shù)的周期、振幅、初相.解：(1）(2)周期T===4π，振幅A=3,初相是-。10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1.要得到y(tǒng)=sin（2x-）的圖象，只要將y=sin2x的圖象()A.向左平移個(gè)單位B。向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位解析一:由于y=sin（2x—）=sin［2(x-)]，所以要得到r=sin(2x-)的圖象，需將y=sin2x的圖象向右平移。解析二:y=sin2x經(jīng)過點(diǎn)(0,0),y=sin（2x—）則經(jīng)過點(diǎn)(，0)，這是與x軸交點(diǎn)中在原點(diǎn)右邊最接近原點(diǎn)的交點(diǎn)，而在原點(diǎn)左邊與x軸交點(diǎn)中最接近原點(diǎn)的是（—，0）?！嘀灰獙=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位，就可得到y(tǒng)=sin(2x）的圖象.答案：D2.y=Asin（ωx+φ）+h的圖象如圖1-圖1A.y=sin（+）+B。y=sin（+）+C.y=3sin（12x+）+D。y=sin(+）+解：由圖象可以看出最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值為,∴=+=.∴T=.又∵T=，即=,｜ω|=,ω＞0，∴ω=.答案：B3。有下列四種變換方式：①向左平移,再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?；②橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向左平?③橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模傧蜃笃揭?④向左平移，再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?。其中能將正弦曲線y=sinx的圖象變?yōu)閥=sin(2x+）的圖象的是()A.①②B。①③C.②③D.②④解析：由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=sin(2x+)的圖象可知①②變換都可以.答案:A4。已知受噪聲干擾的正弦波信號(hào)的相關(guān)信號(hào)圖形如圖1—圖1此圖可以視為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0,｜φ|＜）圖象的一部分,試求出其解析式。解：已知信號(hào)最大、最小的波動(dòng)幅度為6和—6,∴A=6。又根據(jù)圖象上相鄰兩點(diǎn)的坐標(biāo)為和，間距相當(dāng)于y=Asin(ωx+φ)的圖象的半個(gè)周期，∴T=2（—）=π.∵T=,∴T==π，解得ω=2.觀察圖象，點(diǎn)(，0)是五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)中的第三個(gè)點(diǎn)，∴×2+φ=π，解得φ=.綜上所述，y=6sin（2x+)。5.單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置的距離s(cm)和時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系為s=6sin(2πt+）.(1)作出它的圖象；（2)單擺開始擺動(dòng)(t=0）時(shí)，離開平衡位置多少厘米？（3)單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí),離開平衡位置多少厘米？(4）單擺來回?cái)[動(dòng)一次需多少時(shí)間？解:（1）找出曲線上的五個(gè)特殊點(diǎn)，列表如下：t……2πt+…0π2π…s…060-60…用光滑曲線連接這些點(diǎn)，去掉(，0）區(qū)間的圖象再作出(,1)區(qū)間的圖象，得函數(shù)s=6sin(2πt+）在t∈［0，1]一個(gè)周期內(nèi)的圖象(如圖)。(2）當(dāng)t=0時(shí)，s=6sin=3（cm)，即單擺開始擺動(dòng)時(shí),離開平衡位置3cm。(3）s=6sin（2πt+）的振幅為6,所以單擺擺動(dòng)到最右邊時(shí)，離開平衡位置6cm.(4）s=6sin(2πt+)的周期T==1，所以單擺來回?cái)[動(dòng)一次需要的時(shí)間為1s。30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后）1.函數(shù)y=sin(—3x+)的圖象作適當(dāng)變動(dòng)就可以得到y(tǒng)=sin（—3x)的圖象，這種變動(dòng)可以是(）A.沿x軸方向向右平移個(gè)單位B。沿x軸方向向左平移個(gè)單位C.沿x軸方向向右平移個(gè)單位D.沿x軸方向向左平移個(gè)單位解析：方法一（直接法):由函數(shù)y=sin（-3x+)=sin[-3（x—）]的圖象變換到函數(shù)y=sin(-3x）=sin［—3（x)］的圖象，按照“左加右減”的原則,只需沿x軸方向向左平移個(gè)單位即可.方法二（逆變換）:由函數(shù)y=sin(-3x）=sin［-3(x)］的圖象得到函數(shù)y=sin（—3x+)=sin［-3(x—)］的圖象，需將原圖沿x軸方向向右平移個(gè)單位。那反過來就是答案.答案：D2.把函數(shù)y=sin（2x+）的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)縮小到原來的一半,縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，則所得的圖象的解析式是（）A。y=4sin(4x—）B.y=4sin（4x+）C。y=4cos（2x+)D。y=4cos(4x+)解析:由y=sin（2x+)y=sin［2（x—)+］，即y=sin(2x—）y=sin(4x—）y=4sin(4x—)答案：A3.如果圖1—圖1-5A。sin（1+x)B.sin（—1—x）C.sin（x—1）D。sin(1-x）解析：“排除法”。根據(jù)所給圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0),排除選項(xiàng)A、B,又當(dāng)x=0時(shí)，y＞0，所以排除C項(xiàng)，選D項(xiàng)。“直接法”.下圖可以看作是由y=sin(—x)=-sinx的圖象向右平移1個(gè)單位得到，所以所求解析式為y=sin［—(x-1)］=sin（1—x）。選D項(xiàng)。答案：D4.為了得到函數(shù)y=sin(2x-）的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x的圖象…()A.向右平移個(gè)單位長度B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度D。向左平移個(gè)單位長度解析：y=cos2x=sin（2x+）=sin［2（x+)-］.答案：B5。方程sin2x=sinx在區(qū)間（0，2π）內(nèi)解的個(gè)數(shù)是（)A.1B。2C。3解析：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=sin2x和y=sinx的圖象如下圖所示。它們在(0,2π)內(nèi)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為所求方程解的個(gè)數(shù)，從而應(yīng)選C。答案：C6。給出下列命題:①存在實(shí)數(shù)x,使sinx+cosx=；②若α、β是第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ；③函數(shù)y=cos(+）是奇函數(shù)；④函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（2x+）的圖象；⑤在△ABC中，A＞BsinA＞sinB.其中正確的命題的序號(hào)是_________________。解析：③y=cos(+)=sin；⑤若A、B都是銳角,即A、B∈［0,］，根據(jù)正弦函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)，所以sinA＞sinB；若A是鈍角，B是銳角，則0＜B＜π—A＜,所以sin（π-A）＞sinB.所以sinA＞sinB。答案:③⑤7.函數(shù)y=sin（2x—），當(dāng)x=__________________時(shí)，取最小值.解析：函數(shù)y=sin(2x—)取最小值，則滿足2x-=2kπ—(k∈Z），解出x即可。答案：kπ—（k∈Z）8.如圖1—求：（1)這段時(shí)間的最大溫差是多少?(2)函數(shù)的解析式。圖1解：（1)由題中圖所示，可知這段時(shí)間的最大溫差是30-10=20(℃）。（2)圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin(ωx+φ）+b的半個(gè)周期的圖象，∴·=14—6，解得ω=.由圖示，A=（30-10）=10，b=(30+10)=20。這時(shí)，y=10sin(x+φ)+20.將x=6，y=10代入上式，可得φ=。綜上，所求解析式為y=10sin（x+)+20，x∈［6,14]。9。若函數(shù)y=f（x)的圖象上每點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再將整個(gè)圖象沿x軸向左平移個(gè)單位,沿y軸向下平移1個(gè)單位，得到的曲線與y=sinx的圖象相同,求y=f(x).解：y=sinxy=sinx+1y=sin（