2024屆甘肅省蘭州市高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省蘭州市2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗，故.故選：D.2.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榧?，若，則，即集合，所以.故選：A.3.已知向量，設(shè)與的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)闉榕c的夾角，所以.故選：D.4.在展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B.280 C.560 D.〖答案〗B〖解析〗的二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，,令，可得，所以，故含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.5.已知雙曲線的實(shí)軸長等于虛軸長的2倍，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，解得，，故漸近線方程為.故選：C.6.已知a，b均為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗a，b均為正實(shí)數(shù)，，故，，充分性，，，故，充分性成立，必要性，，不妨設(shè)，滿足，但不滿足，必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.孫子定理是中國古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中一個重要定理，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，年英國來華傳教士偉烈亞力將其問題的解法傳至歐洲，年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個整除問題：將至這個整數(shù)中能被除余且被除余的數(shù)，按從小到大的順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列.設(shè)，則（）A.8 B.16 C.32 D.64〖答案〗A〖解析〗被除余且被除余數(shù)，按從小到大的順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列，則數(shù)列是一個以5為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列；所以，故；.故選：A.8.已知函數(shù)，對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，易知在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，又因?yàn)閷τ谌我獾模坏仁胶愠闪?，即對于任意的，不等式恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．由，知，，所以?dāng)，上式等價于恒成立．設(shè)，，，開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，而，所以，所以，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分-在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求-全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在圓O的內(nèi)接四邊形中，，，，則（）A. B.四邊形的面積為C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意，，故，在中，由余弦定理，在中，由余弦定理，故，解得，又，故故，解得，A正確；，B正確；在中，，在中，，，C錯誤；，又，故，D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖，則（）A. B.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)在有4個極值點(diǎn)〖答案〗BD〖解析〗A:由圖可知的周期為：，又，所以；由，，且，所以；由，所以，故A錯誤；B：由A的分析知，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故B正確；C：由，得，故在上單調(diào)遞增，故C錯誤；D：因?yàn)?，，，，故D正確.故選：BD.11.已知正方體的棱長為1，，分別為棱，上的動點(diǎn)，則（）A.四面體的體積為定值 B.四面體的體積為定值C.四面體的體積最大值為 D.四面體的體積最大值為〖答案〗BCD〖解析〗A：因?yàn)榈拿娣e為，到平面的距離不是定值，所以四面體的體積不是定值，故A錯誤；B：因?yàn)榈拿娣e為，P到矩形的距離為定值，所以到平面的距離為，則四面體的體積為，故B正確；C：當(dāng)Q與重合時，取得最大值，為，當(dāng)與重合時，到平面的距離d取得最大值，在正中，其外接圓的半徑為，則，故四面體的體積最大值為，故C正確；D：過點(diǎn)作，，，設(shè)，，則，，，，，，故四面體的體積為，其最大值為，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.一組樣本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位數(shù)是________．〖答案〗37.5〖解析〗從小到大排序?yàn)椋?0，12，14，16，20，24，30，35，40，43；，故第80百分位數(shù)是．13.已知拋物線的焦點(diǎn)，直線過與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為________，的面積為________（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)A，所以，解得，所以拋物線的方程為，則，得直線的方程為，與聯(lián)立整理得，設(shè)，故，，故的面積為．14.已知函數(shù)，當(dāng)時的最大值與最小值的和為________．〖答案〗〖解析〗，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減；，，，，故最大值與最小值的和為：．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，四棱錐的底面是矩形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）平面與直線交于點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?）證明：因?yàn)闉檎切?，是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，又在平面?nèi)且相交，故平面（2）解：分別為的中點(diǎn)，，又平面過且不過，平面．又平面交平面于，故，進(jìn)而，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)．以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面法向量為，則，即，取，得，則，因?yàn)?，所?16.某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動愛好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1（2）因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項(xiàng)分布，易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“運(yùn)動愛好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得17.已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對于任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，即，當(dāng)時，可得，兩式相減得，因?yàn)椋?，所以及均為公差?的等差數(shù)列：當(dāng)時，由及，解得，所以，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，可得，因?yàn)閷τ谌我獬闪?，所以恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，所以，故，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線為．（1）若直線與軸的交點(diǎn)為，求證：；（2）過點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：．解：（1）易知拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；設(shè)直線的方程為聯(lián)立得，可得，所以；不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，對于；可得的斜率為，所以的方程為，即為令得，直線的方程為，令得．又，所以，即得證．（2）方法1：由（1）中的斜率為可得過點(diǎn)的的垂線斜率為，所以過點(diǎn)的的垂線的方程為，即，如圖所示：聯(lián)立，解得的縱坐標(biāo)為，要證明，因四點(diǎn)共線，只需證明（*）．，．所以（*）成立，得證.方法2：由知與軸平行，①又的斜率為的斜率也為，所以與平行，②，由①②得，即得證.19.微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因?yàn)榍吿菪蔚拿娣e小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：．（1）請仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；（2）已知函數(shù)，其中．①證明：對任意兩個不相等的正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；②當(dāng)時，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）在曲線取一點(diǎn)．過點(diǎn)作的切線分別交于，因?yàn)?，可得，即．?）①由函數(shù)，可得，不妨設(shè)，曲線在處的切線方程為，即同理曲線在處的切線方程為，假設(shè)與重合，則，代入化簡可得，兩式消去，可得，整理得，由（1）的結(jié)論知，與上式矛盾即對任意實(shí)數(shù)及任意不相等的正數(shù)與均不重合．②當(dāng)時，不等式恒成立，所以在恒成立，所以，下證：當(dāng)時，恒成立．因?yàn)?，所以，設(shè).（i）當(dāng)時，由知恒成立，即在為增函數(shù)，所以成立；（ii）當(dāng)時，設(shè)，可得，由知恒成立，即在為增函數(shù)．所以，即在為減函數(shù)，所以成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是甘肅省蘭州市2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗，故.故選：D.2.設(shè)集合，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榧?，若，則，即集合，所以.故選：A.3.已知向量，設(shè)與的夾角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)闉榕c的夾角，所以.故選：D.4.在展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B.280 C.560 D.〖答案〗B〖解析〗的二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，,令，可得，所以，故含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.5.已知雙曲線的實(shí)軸長等于虛軸長的2倍，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，解得，，故漸近線方程為.故選：C.6.已知a，b均為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗a，b均為正實(shí)數(shù)，，故，，充分性，，，故，充分性成立，必要性，，不妨設(shè)，滿足，但不滿足，必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.7.孫子定理是中國古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中一個重要定理，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，年英國來華傳教士偉烈亞力將其問題的解法傳至歐洲，年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個整除問題：將至這個整數(shù)中能被除余且被除余的數(shù)，按從小到大的順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列.設(shè)，則（）A.8 B.16 C.32 D.64〖答案〗A〖解析〗被除余且被除余數(shù)，按從小到大的順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列，則數(shù)列是一個以5為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列；所以，故；.故選：A.8.已知函數(shù)，對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，易知在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，又因?yàn)閷τ谌我獾?，不等式恒成立，即對于任意的，不等式恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立．由，知，，所以?dāng)，上式等價于恒成立．設(shè)，，，開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，而，所以，所以，即．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分-在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求-全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在圓O的內(nèi)接四邊形中，，，，則（）A. B.四邊形的面積為C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意，，故，在中，由余弦定理，在中，由余弦定理，故，解得，又，故故，解得，A正確；，B正確；在中，，在中，，，C錯誤；，又，故，D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖，則（）A. B.函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)在有4個極值點(diǎn)〖答案〗BD〖解析〗A:由圖可知的周期為：，又，所以；由，，且，所以；由，所以，故A錯誤；B：由A的分析知，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故B正確；C：由，得，故在上單調(diào)遞增，故C錯誤；D：因?yàn)?，，，，故D正確.故選：BD.11.已知正方體的棱長為1，，分別為棱，上的動點(diǎn)，則（）A.四面體的體積為定值 B.四面體的體積為定值C.四面體的體積最大值為 D.四面體的體積最大值為〖答案〗BCD〖解析〗A：因?yàn)榈拿娣e為，到平面的距離不是定值，所以四面體的體積不是定值，故A錯誤；B：因?yàn)榈拿娣e為，P到矩形的距離為定值，所以到平面的距離為，則四面體的體積為，故B正確；C：當(dāng)Q與重合時，取得最大值，為，當(dāng)與重合時，到平面的距離d取得最大值，在正中，其外接圓的半徑為，則，故四面體的體積最大值為，故C正確；D：過點(diǎn)作，，，設(shè)，，則，，，，，，故四面體的體積為，其最大值為，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.一組樣本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位數(shù)是________．〖答案〗37.5〖解析〗從小到大排序?yàn)椋?0，12，14，16，20，24，30，35，40，43；，故第80百分位數(shù)是．13.已知拋物線的焦點(diǎn)，直線過與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為________，的面積為________（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．〖答案〗〖解析〗因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)A，所以，解得，所以拋物線的方程為，則，得直線的方程為，與聯(lián)立整理得，設(shè)，故，，故的面積為．14.已知函數(shù)，當(dāng)時的最大值與最小值的和為________．〖答案〗〖解析〗，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減；，，，，故最大值與最小值的和為：．四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，四棱錐的底面是矩形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）平面與直線交于點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。?）證明：因?yàn)闉檎切?，是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，又在平面?nèi)且相交，故平面（2）解：分別為的中點(diǎn)，，又平面過且不過，平面．又平面交平面于，故，進(jìn)而，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)．以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面法向量為，則，即，取，得，則，因?yàn)?，所?16.某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計579111086460（1）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”．請完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計（2）若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會導(dǎo)致肥胖等諸多健康問題．以樣本頻率估計概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；（3）若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動愛好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動愛好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）根據(jù)統(tǒng)計表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計算可得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯誤的概率不超過0.1（2）因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項(xiàng)分布，易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，．（3）易知10名“運(yùn)動愛好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得17.已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若對于任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，即，當(dāng)時，可得，兩式相減得，因?yàn)?，故，所以及均為公差?的等差數(shù)列：當(dāng)時，由及，解得，所以，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，可得，因?yàn)閷τ谌我獬闪ⅲ院愠闪?，設(shè)，則，當(dāng)，即時，當(dāng)，即時，所以，故，所