2023-2024學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市高二下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省新鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A.3 B.5 C. D.17〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，解得，所以，由，解得，所以，又，則，所以.故選：D3.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且點(diǎn)到直線的距離為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義得，.故選：D.4.若曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，當(dāng)時，由，得，曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則，得.故選：A.5.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形〖答案〗C〖解析〗由正弦定理得，，，為的外接圓半徑，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，即，所以為中最大的?nèi)角，則，所以為鈍角三角形.故選：C.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以是偶函?shù)，排除C，D;因?yàn)樵谏系牧泓c(diǎn)有共三個，排除B.故選:A.7.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿足條件的的個數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若，則，故不滿足條件；若或，則對有，或.所以，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，滿足條件；若，則，故不滿足條件；若，則由可知，存在正整數(shù)滿足.此時，，從而在上存在極值點(diǎn)，不可能單調(diào)遞減，不滿足條件.綜上，滿足條件的有和.故選：C.8.在正四棱錐中，，則正四棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗過頂點(diǎn)P向平面ABCD作垂線，垂足為O，則PO為正四棱錐的高，設(shè)為h.設(shè)底面邊長為x，則，則，則.所以正四棱錐的體積為：，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額及其增長速度如圖所示，則（）A.2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額穩(wěn)步上升B.2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額的極差為3501億元C.2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額增長速度的平均數(shù)為D.2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額增長速度的分位數(shù)為〖答案〗BC〖解析〗對于A，2020年河南省社會消費(fèi)品零售總額有所下降，A錯誤.對于B，2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額的極差為億元，B正確.對于C，2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額增長速度的平均數(shù)為，C正確.對于D，2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額增長速度從小到大依次為，，因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，D錯誤.故選：BC.10.已知正三棱臺的體積為，則（）A.B.正三棱臺的高為9C.直線與平面所成角的正切值為D.正三棱臺的外接球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)正三棱臺的高為，由，得，B正確.如圖，設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，設(shè)的外心分別為，連接，過作，垂足為.易知，，則，所以，直線與平面所成角的正切值為A正確，C錯誤.設(shè)正三棱臺的外接球的球心為，半徑為，連接，則，得，所以正三棱臺的外接球的表面積為，D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（）A.B.C.方程有唯一的實(shí)數(shù)解D.函數(shù)有極大值〖答案〗AB〖解析〗對于A，令，得.因?yàn)?，所以，即，A正確；對于B，令，得，由，得.又，所以.令，得，即，所以，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，所以，故B正確；對于C，由B項(xiàng)可知，等價于.設(shè)，因?yàn)椋栽谏媳刂辽儆幸粋€零點(diǎn)，又，所以的零點(diǎn)不唯一，從而方程的實(shí)數(shù)解不唯一，故C錯誤；對于D，因，故函數(shù)只有極小值，沒有極大值，故D錯誤.故選：AB.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，且，則__________.〖答案〗2〖解析〗由題意得，則，得.故〖答案〗為：2.13.已知雙曲線的離心率分別為和，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗，，由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：.14.將六個數(shù)字填入如圖所示的方格中，要求每個方格填個數(shù)字，且每個數(shù)字不重復(fù)，則在這三列數(shù)字中，第一列的數(shù)字之和最小的概率為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)事件表示“存在某兩列，使得這兩列各自的兩個數(shù)之和相等且同時為最小”，表示“第一列的數(shù)字之和最小”.若事件發(fā)生，由于所有數(shù)字之和不是的倍數(shù)，所以三列的各自兩個數(shù)之和不可能都相等.這就意味著當(dāng)事件發(fā)生時，存在且僅存在兩列各自兩個數(shù)之和相等且同最小，故根據(jù)對稱性有.列舉即知，這兩列各自的兩個數(shù)只可能是和，和，和三種可能.所以.若事件不發(fā)生，則兩數(shù)之和最小的一列是唯一的，故根據(jù)對稱性有.所以.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，將沿對折至，使得.（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值.解：（1）由題設(shè)，易知即.又，即.平面.平面.（2）（方法一）如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則取，則，得.易得平面的一個法向量為，由圖可知二面角為鈍角，則二面角的余弦值為.故二面角的正切值為.（方法二）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，連接.由平面，面，則，又平面，則平面，又平面，則，則為二面角的平面角.由由勾股定理可得，.二面角與二面角互補(bǔ)，二面角的正切值為.16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求在上的最小值與最大值.解：（1）.令，得；令，得；令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，.由（1）知，在處取得極大值，且極大值為.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時，，若，則，因?yàn)?，所?17.在某張?jiān)嚲淼亩囗?xiàng)選擇題中，每道題有4個選項(xiàng)，其中僅有2個或3個選項(xiàng)正確.（1）已知多項(xiàng)選擇題第9題僅有2個選項(xiàng)正確，甲從4個選項(xiàng)中隨機(jī)選2個，求甲第9題得滿分的概率；（2）在有3個選項(xiàng)正確的多項(xiàng)選擇題中，選1個選項(xiàng)且選對得2分，選2個選項(xiàng)且都選對得4分，選3個選項(xiàng)且都選對得6分，有選錯的得0分.已知多項(xiàng)選擇題第10題僅有3個選項(xiàng)正確，以第10題得分的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)隨機(jī)選多少個選項(xiàng)？解：（1）甲第9題得滿分的概率為.（2）若甲隨機(jī)選1個選項(xiàng)，則甲得2分的概率為，得0分的概率為，甲隨機(jī)選1個選項(xiàng)的得分的期望為；若甲隨機(jī)選2個選項(xiàng)，則甲得4分的概率為，得0分的概率為，甲隨機(jī)選2個選項(xiàng)的得分的期望為；若甲隨機(jī)選3個選項(xiàng)，則甲得6分的概率為，得0分的概率為，甲隨機(jī)選3個選項(xiàng)的得分的期望為；甲選4個選項(xiàng)必定得0分.因?yàn)榧纂S機(jī)選2個選項(xiàng)的得分的期望最大，所以甲應(yīng)隨機(jī)選2個選項(xiàng).18.最大公因數(shù)，也稱最大公約數(shù)，指兩個或多個正整數(shù)公有約數(shù)中最大的一個，a，b的最大公約數(shù)記為，a，b，c的最大公約數(shù)記為.與最大公約數(shù)相對應(yīng)的概念是最小公倍數(shù)，幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個自然數(shù)叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，a，b的最小公倍數(shù)記為，a，b，c的最小公倍數(shù)記為.例如，.（1）求的值；（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若公差為整數(shù)的等差數(shù)列滿足，，證明：.解：（1）.（2）因?yàn)?，，?與3互質(zhì)，所以，所以，，兩式相減得，所以.（3）設(shè)的公差為d.因?yàn)?，，所以，則，因?yàn)楣頳為整數(shù)，所以，.當(dāng)時，因與互質(zhì)，所以，所以，所以.19.在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段為垂足，平面內(nèi)一動點(diǎn)滿足，記的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）已知為的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值.解：（1）設(shè)，則，由，得.因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以.把代入方程，得，所以的方程為.（2）設(shè)的傾斜角為，由題意得，則，設(shè)的傾斜角為，由題意得，因?yàn)?，所以，?綜上，.由題意得，設(shè)，聯(lián)立得，則所以同理可得..令，由，得，則.由，得，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故四邊形面積的最大值為.河南省新鄉(xiāng)市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A.3 B.5 C. D.17〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，即，解得，所以，由，解得，所以，又，則，所以.故選：D3.已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且點(diǎn)到直線的距離為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義得，.故選：D.4.若曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則（）A.3 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，當(dāng)時，由，得，曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線平行，則，得.故選：A.5.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形〖答案〗C〖解析〗由正弦定理得，，，為的外接圓半徑，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋?，所以為中最大的?nèi)角，則，所以為鈍角三角形.故選：C.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以是偶函?shù)，排除C，D;因?yàn)樵谏系牧泓c(diǎn)有共三個，排除B.故選:A.7.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿足條件的的個數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若，則，故不滿足條件；若或，則對有，或.所以，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，滿足條件；若，則，故不滿足條件；若，則由可知，存在正整數(shù)滿足.此時，，從而在上存在極值點(diǎn)，不可能單調(diào)遞減，不滿足條件.綜上，滿足條件的有和.故選：C.8.在正四棱錐中，，則正四棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗過頂點(diǎn)P向平面ABCD作垂線，垂足為O，則PO為正四棱錐的高，設(shè)為h.設(shè)底面邊長為x，則，則，則.所以正四棱錐的體積為：，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額及其增長速度如圖所示，則（）A.2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額穩(wěn)步上升B.2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額的極差為3501億元C.2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額增長速度的平均數(shù)為D.2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額增長速度的分位數(shù)為〖答案〗BC〖解析〗對于A，2020年河南省社會消費(fèi)品零售總額有所下降，A錯誤.對于B，2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額的極差為億元，B正確.對于C，2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額增長速度的平均數(shù)為，C正確.對于D，2019年至2023年河南省社會消費(fèi)品零售總額增長速度從小到大依次為，，因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，D錯誤.故選：BC.10.已知正三棱臺的體積為，則（）A.B.正三棱臺的高為9C.直線與平面所成角的正切值為D.正三棱臺的外接球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)正三棱臺的高為，由，得，B正確.如圖，設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，設(shè)的外心分別為，連接，過作，垂足為.易知，，則，所以，直線與平面所成角的正切值為A正確，C錯誤.設(shè)正三棱臺的外接球的球心為，半徑為，連接，則，得，所以正三棱臺的外接球的表面積為，D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若，則（）A.B.C.方程有唯一的實(shí)數(shù)解D.函數(shù)有極大值〖答案〗AB〖解析〗對于A，令，得.因?yàn)椋?，即，A正確；對于B，令，得，由，得.又，所以.令，得，即，所以，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，所以，故B正確；對于C，由B項(xiàng)可知，等價于.設(shè)，因?yàn)?，所以在上必至少有一個零點(diǎn)，又，所以的零點(diǎn)不唯一，從而方程的實(shí)數(shù)解不唯一，故C錯誤；對于D，因，故函數(shù)只有極小值，沒有極大值，故D錯誤.故選：AB.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，且，則__________.〖答案〗2〖解析〗由題意得，則，得.故〖答案〗為：2.13.已知雙曲線的離心率分別為和，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗，，由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.故〖答案〗為：.14.將六個數(shù)字填入如圖所示的方格中，要求每個方格填個數(shù)字，且每個數(shù)字不重復(fù)，則在這三列數(shù)字中，第一列的數(shù)字之和最小的概率為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)事件表示“存在某兩列，使得這兩列各自的兩個數(shù)之和相等且同時為最小”，表示“第一列的數(shù)字之和最小”.若事件發(fā)生，由于所有數(shù)字之和不是的倍數(shù)，所以三列的各自兩個數(shù)之和不可能都相等.這就意味著當(dāng)事件發(fā)生時，存在且僅存在兩列各自兩個數(shù)之和相等且同最小，故根據(jù)對稱性有.列舉即知，這兩列各自的兩個數(shù)只可能是和，和，和三種可能.所以.若事件不發(fā)生，則兩數(shù)之和最小的一列是唯一的，故根據(jù)對稱性有.所以.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在平面四邊形中，為的中點(diǎn)，，將沿對折至，使得.（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值.解：（1）由題設(shè)，易知即.又，即.平面.平面.（2）（方法一）如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)平面的法向量為，則取，則，得.易得平面的一個法向量為，由圖可知二面角為鈍角，則二面角的余弦值為.故二面角的正切值為.（方法二）如圖，過點(diǎn)作，垂足為，連接.由平面，面，則，又平面，則平面，又平面，則，則為二面角的平面角.由由勾股定理可得，.二面角與二面角互補(bǔ)，二面角的正切值為.16.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求在上的最小值與最大值.解：（1）.令，得；令，得；令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，.由（1）知，在處取得極大值，且極大值為.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時，，若，則，因?yàn)?，所?17.在某張?jiān)嚲淼亩囗?xiàng)選擇題中，每道題有4個選項(xiàng)，其中僅有2個或3個選項(xiàng)正確.（1）已知多項(xiàng)選擇題第9題僅有2個選項(xiàng)正確，甲從4個選項(xiàng)中隨機(jī)選2個，求甲第9題得滿分的概率；（2）在有3個選項(xiàng)正確的多項(xiàng)選擇題中，選1個選項(xiàng)且選對得2分，選2個選項(xiàng)且都選對得4分，選3個選項(xiàng)且都選對得6分，有選錯的得0分.已知多項(xiàng)選擇題第10題僅有3個